辽宁省部分高中2023届高三下学期普通高考模拟考试（一）数学试卷+答案

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2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷（一）数学答案一、选择题1．B2．D3．C4．B5．D6．C7．D8．A二、选择题9．AC10．AD11．ABC12．ACD三、填空题13．甲14．2515．416.【解析】1．B【详解】因为，所以，解得，所以1.故选：B.2．D【详解】因为在∆中，若，所以点为中点，所以，故选：D3．C【详解】设（且），代入原方程可得．所以，解得，因为，所以．故选：C.4．B【详解】设为正四棱锥底面中心，连接，则，，，取的中点，连接，过作于，则．在直角∆中．过作交于连接．则，所求体积故选：B5．D【详解】由题意可得，在的展开式中，由．令解得，即的展开式中的项的系数为，在的展开式中，由，令无解，即的展开式中没有项；又的系数为80，所以，解得.故选：D6．【详解】不妨设点为曲线与在轴上的交点，如图，设点为的中点，连接，．则，．因为是等腰直角三角形，所以，所以故选：．7．D【详解】设，，，∴，，相减整理得，即，．∵，∴，故选：D8．A【详解】，令，则，在上单调递增，，，即又∵令，，则，，，在上单调递减，当时，，，∵，∴当时，，∴在区间上单调递增，∴当时，，∴在区间上单调递增，∴，即，∴，综上．有.故选：A.二、多项选择题（共4小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9．AC【详解】对于A选项，，，，平均数不变，所以A选项正确；，，所以，故B错误，C正确；对于D选项，由于原数据的中位数与平均数的大小关系不确定，所以不能比较新数据与原数据的中位数的大小，故D错误.故选：AC10．【详解】点到平面的距离为为定值，又，所以，即三棱锥的体积为定值，故正确；设中点为，连接,则即为异面直线与所成的角在中，所以异面直线与所成的最小角为45°,故不正确；若为中点，则，所以，又，，所以平面，平面，所以，故不正确；取的中点，的中点，的中点，连接、、、、，所以过、、三点的平面截正方体所得截面为正六边形，面积为，故正确．故选：．11．ABC【详解】对于A，由抛物线的定义的，,所以，故A正确.因为，则，，点处的切线斜率，而，所以，从而，又是线段中点，所以是线段的中点，又，所以，所以是等腰三角形，故B正确.因为，所以，所以平分，故选项C正确；直线的方程为，令，得，所以，当且仅当时，最小值为1，故D错误．故选：ABC.12．ACD【详解】因为定义在上，且满足恒成立，令，解得，故正确；再令，则，故，故是奇函数，故错误；任取，，且，则．因为，所以，所以．因为，，所以，，即在区间上单调递增．故C正确；对于，因为，．令，则．令，则，所以．因为，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以，故正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．甲【详解】根据题意，因为线性相关系数的绝对值越大，线性相关性越强．甲、乙、丙、丁四组数据的线性相关系数分别为，，0.76，0.92，所以甲组数据的线性相关性最强．故答案为：甲．14．25【详解】当时，，，，，，，，，，则数列从第6项开始，数列为周期为3的周期数列，一个周期三项的和为7．因为；所以，由，，得，所以，所以．故答案为：25．15．【详解】设直线与曲线相切的切点的坐标为，，由题意可得，解得，所以直线方程为：因为直线与圆相切，所以，所以或（舍）．故答案为：．16．【详解】因为平面平面，平面平面，面，又因为，所以平面，所以为直线与平面所成的角，同理为直线与平面所成的角，所以，所以，即．在平面内，以为坐标原点，以为轴正方向，建立平面直角坐标系，设，则有，化简得．即点的轨迹方程为．要使三棱锥的体积最大，只要点的纵坐标的绝对值最大即可，令，则，当三棱锥的体积最大时，可取，此时到平面的距离为2．三棱锥外接球的球心在过三角形外接圆圆心且垂直平面的直线上．在三棱锥中，设点即为等边三角形外接圆的圆心，设三棱锥外接球的球心为，半径为，设，则有，解得，所以，所以三棱锥外接球的表面积．故答案为：．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.【详解】（1），，计划生产：个零件最为合理；……4分（2）改进前，零件尺寸符合条件的有1200个，不符合的有50个，改进后，零件尺寸符合条件的有1200个，不符合的有25个．其列联表如下：合格不合格总计改进前1200501250改进后1200251225总计2400752475，有的把握认为生产工艺改进与生产零件的尺寸误差有关．……10分18．【详解】证明：（1），则，即，，，，即，由正弦定理可得，．……4分（2）解：假设存在正整数，，使得和同时成立．，即，化简整理可得，，，，，即……10分，均为正整数，，．故存在，使得和同时成立……12分19．【详解】（1）因为，所以，因为，数列为常数列，所以.即所求数列的通项公式为：.……4分（2）由（1）及题设得，，……8分所以，所以.……12分20．【详解】（1）连接与相交于点，连接，如图所示：∵四边形为菱形，∴为的中点，则．为等边三角形，有，平面，，∴平面．……4分平面，∴，又，平面，，∴平面．∵平面，∴．……6分（2）分别取的中点，连接，则，∴平面，为等边三角形，，以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，设，则，∴，设平面的一个法向量，则有令，则，，即又∵平面的法向量为，∴平面与平面的夹角的余弦值为∴，∴或（舍），……10分此时，又∴点到平面的距离为：.……12分21．【详解】（1）设直线：，由题意得，，∴，故双曲线的标准方程为．……4分显然直线的斜率存在，设的方程为，联立，消去得，由，得．设，，，，，．……6分方程为，令，得，方程为，令得，因为……10分所以，即是的中点．……12分22．【详解】（1）函数恒成立．即，在上恒成立令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时取得最大值，即，即，故的取值范围是；……4分（2）因为时，存在正实数成