平面向量应用举例(教学案)

.2.5平面向量应用举例一、教材解析向量看法有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量看法是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正由于这样，运用向量可以解决一些物理和几何问题，比方利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面两条直线平行、垂直地址关系的判断等问题。二、教课方案目标1.经过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实责问题2.经过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的研究意识，培养创新精神。三、教课方案重点难点重点：理解并能灵便运用向量加减法与向量数量积的法规解决几何和物理问题.难点：选择合适的方法，将几何问题也许物理问题转变成向量问题加以解决.四、学情解析在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力解析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，特别熟悉的容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。五、教课方案方法例题教课方案，要让学生领悟思路的形成过程，领悟数学思想方法的应用。教课方案导学：见后边的教课方案新授课教课方案基本环节：预习检查、总结诱惑→情境导入、显现目标→合作研究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导教课方案、部署预习六、课前准备学生的学习准备：预习本节课本上的基本容，初步理解向量在平面几何和物理中的应用教师的教课方案准备：课前预习教课方案，课研究教课方案，课后延伸拓展教课方案。七、课时安排：1课时八、教课方案过程(一)预习检查、总结诱惑检查落实了学生的预习情况并认识了学生的诱惑，使教课方案拥有了针对性。(二）情况导入、显现目标教师第一提问：（1）若O为ABC重心,则OA+OB+OC=0（2）水渠横断面是四边形ABCD,DC=1AB,且|AD|=|BC|,则这个四边形2为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经部署学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的诱惑说出来。（设计妄图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标。）（三）合作研究、精讲点拨。研究一：（１）向量运算与几何中的结论＂若ab，则|a||b|，且a,b所在直线平行或重合＂相类比，你有什么领悟？（２）由学生举出几个拥有线性运算的几何实例．..教师：平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来：比方，向量数量积对应着几何中的长度.如图：平行四边行ABCD中，设AB＝a,AD＝b，则ACABBCab（平移），DBABADab，22ADb|AD|2（长度）．向量AD，AB的夹角为DAB.因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题。经过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等．把运算结果＂翻译＂成几何关系．本节课，我们就经过几个详尽实例，来说明向量方法在平面几何中的运用例1．证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．已知：平行四边形ABCD．求证：AC2BD2AB2BC2CD2DA2．解析：用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，我们常常要考虑向量的数量积．注意到ACABAD，DBABAD，我们计算|AC|2和|BD|2．证明：不如设ABa，ADb，则ACa+b，DBa-b，|AB|2|a|2，|AD|2|b|2．得|AC|2ACAC(a+b)·(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=|a|2+2a·b+|b|2．①同理|DB|2|a|2-2a·b+|b|2．②①+②得|AC|2|DB|22(|a|2+|b|2)=2(|AB|2|AD|2)．因此，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．师：你能用几何方法解决这个问题吗？让学生领悟几何方法与向量方法的差异与难易情况。师：由于向量可以运算，因此它在解决某些几何问题时拥有优越性，他把一个思辨过程变成了一个算法过程，可以依照必然的程序进行运算操作，从而降低了思虑问题的难度.用向量方法解决平面几何问题，主若是下面三个步骤，⑴建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；⑵经过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；⑶把运算结果“翻译”成几何关系．变式训练：ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，BF与CD交于点O，设ABa,ACb.（1）证明A、O、E三点共线；（2）用a,b表示向量AO。例2，如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？解析：由于R、T是对角线AC上两点，因此要判断AR、RT、TC之间的关系，只要要分别判断AR、RT、TC与AC之间的关系即可．..解：设ABa，ADb，则ACa+b．由AR与AC共线，因此。存在实数m，使得AR=m(a+b)．又由BR与BE共线因此存在实数n，使得1BR=nBE=n(b-a)．2由ARABBR=ABnBE，得m(a+b)=a+n(1b-a)．2整理得(mn1)a＋(m1n)b＝0．2由于向量a、b不共线，因此有

mn101m1n，解得3．m022n3因此同理于是

AR1AC3TC1AC3RT1AC3

．．．因此AR＝RT＝TC．说明：本例经过向量之间的关系阐述了平面几何中的方法，待定系数法使用向量方法证明平面几何问题的常用方法．研究二：（1）两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.2）在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力.这些问题是为什么？师：向量在物理中的应用，实质上就是把物理问题转变成向量问题，尔后经过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果讲解物理现象．例3．在平常生活中，你可否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度讲解这种现象吗？解析：上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型．只要解析清楚F、G、三者之间的关系（其中F为F1、F2的合力）,就获得了问题的数学讲解．解：不如设|F1|=|F2|，由向量加法的平行四边形法规，理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以获得|F1|=|G|．2cos2经过上面的式子我们发现，当由0~180逐渐变大时，由0~90逐渐变大，2..cos的值由大逐渐变小，因此，|F1|有小逐渐变大，即F1、F2之间的夹角越大越费力，2夹角越小越省力．师：请同学们结合刚刚这个问题，思虑下面的问题：⑴为什么值时，|F1|最小，最小值是多少？⑵|F1吗？为什么？|能等于|G|例4如图，一条河的两岸平行，河的宽度d500m，一艘船从A处出发到河对岸．已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min)？解析：若是水是静止的，则船只要取垂直于对岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短．考虑到水的流速，要使船的行驶航程最短，那么船的速度与水流速度的合速度v必定垂直于对岸．（用《几何画板》演示水流速度对船的实质航行的影响）解：|v|=|v1|2|v2|296(km/h)，因此，td0.53.1(min)．|v|6096答：行驶航程最短时，所用的时间是3.1min．本例重点在于对“行驶最短航程”的意义的讲解，即“解析”中给出的穿必定垂直于河岸行驶，这是船的速度与水流速度的合速度应当垂直于河岸，解析清楚这种关系侯，本例就简单解决了。变式训练：两个粒子A、B从同一源发射出来，在某一时辰，它们的位移分别为sA(4,3),sB(2,10)，（1）写出此时粒子B相对粒子A的位移s。(2)计算s在sA方向上的投影。九、板书设计§2.5平面向量应用举例例⒈用向量法解平面几何例2变式训练问题的“三步曲”例3.例4变式训练十、教课方案反思本小节主若是例题教课方案，要让学生领悟思路的形成过程，领悟数学思想方法的应用。教课方案中，教师创立问题情境，引导学生发现解题方法，显现思路的形成过程，总结解题规律。指导学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合应用知识解析和解决问题的能力.十一、教课方案设计（见下页）..2.5平面向量应用举例课前预习教课方案一、预习目标预习《平面向量应用举例》，领悟向量是一种办理几何问题、物理问题等的工具，建立实责问题与向量的联系。二、预习容阅读课本容，整理例题，结合向量的运算，解决实质的几何问题、物理问题。别的，在思虑一下几个问题：例1若是不用向量的方法，还有其他证明方法吗？利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是什么？3．例3中，⑴为什么值时，|F1|最小，最小值是多少？|F1|能等于|G|吗？为什么？三、提出诱惑同学们，经过你的自主学习，你还有哪些诱惑，请把它填在下面的表格中诱惑点诱惑容课研究教课方案一、学习容1.运用向量的相关知识（向量加减法与向量数量积的运算法规等）解决平面几何和解读几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题.2.运用向量的相关知识解决简单的物理问题.二、学习过程研究一：（１）向量运算与几何中的结论＂若ab，则|a||b|，且a,b所在直线平行或重合＂相类比，你有什么领悟？（２）举出几个拥有线性运算的几何实例．例1．证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．已知：平行四边形ABCD．求证：AC2BD2AB2BC2CD2DA2．试用几何方法解决这个问题..利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”？1）建立平面几何与向量的联系，2）经过向量运算，研究几何元素之间的关系，3）把运算结果“翻译”成几何关系。变式训练：ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，BF与CD交于点O，设ABa,ACb.1）证明A、O、E三点共线；2）用a,b.表示向量AO。例2，如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？研究二：两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力.这些力的问题是怎么回事？例3．在平常生活中，你可否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度讲解这种现象吗？请同学们结合刚刚这个问题，思虑下面的问题：..⑴为什么值时，|F1|最小，最小值是多少？⑵|F1|能等于|G|吗？为什么？例4如图，一条河的两岸平行，河的宽度d500m，一艘船从A处出发到河对岸．已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min)？变式训练：两个粒子A、B从同一源发射出来，在某一时辰，它们的位移分别为sA(4,3),sB(2,10)，（1）写出此时粒子B相对粒子A的位移s。(2)计算s在sA方向上的投影。三、反思总结结合图形特点，选定正交基底，用坐标表示向量进行运算解决几何问题，表现几何问题代数化的特点，数形结合的数学思想表现的淋漓尽致。向量作为桥梁工具使得运算精练标致，又表现了数学的美。相关长方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等问题常用此法。本节主要研究了用向量知识解决平面几何问题和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决实责问题的步骤。四、当堂检测1.已知ABC中，a2,b3,C600，求边长c。2.在平行四边形ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC的长。..在平面上的三个力F1,F2,F3作用于一点且处于平衡状态，F11N,F262N,F1与F2的夹角为45o，求：（1）F3的大小；（2）F1与F3夹角2的大小。课后练习与提高一、选择题给出下面四个结论：①若线段AC=AB+BC，则向量ACABBC；②若向量ACABBC，则线段AC=AB+BC；③若向量AB与BC共线，则线段AC=AB+BC。④若向量AB与BC反向共