高数多元函数的偏导数与全微分

高数多元函数的偏导数与全微分第一页，共四十六页，2022年，8月28日（1）邻域一、多元函数的概念第二页，共四十六页，2022年，8月28日（2）区域例如，即为开集．第三页，共四十六页，2022年，8月28日第四页，共四十六页，2022年，8月28日（5）二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数．第五页，共四十六页，2022年，8月28日例1求的定义域．解所求定义域为第六页，共四十六页，2022年，8月28日（6）二元函数的图形（如下页图）第七页，共四十六页，2022年，8月28日二元函数的图形通常是一张曲面.第八页，共四十六页，2022年，8月28日二、多元函数的极限第九页，共四十六页，2022年，8月28日说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．第十页，共四十六页，2022年，8月28日例2求证证当时，原结论成立．第十一页，共四十六页，2022年，8月28日例3求极限解其中第十二页，共四十六页，2022年，8月28日例4证明不存在．证取其值随k的不同而变化，故极限不存在．第十三页，共四十六页，2022年，8月28日确定极限不存在的方法：第十四页，共四十六页，2022年，8月28日三、多元函数的连续性定义3第十五页，共四十六页，2022年，8月28日例5讨论函数在(0,0)的连续性．解取其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．第十六页，共四十六页，2022年，8月28日例７解第十七页，共四十六页，2022年，8月28日多元函数极限的概念多元函数连续的概念（注意趋近方式的任意性）四、小结多元函数的定义第十八页，共四十六页，2022年，8月28日2、偏导数的定义及其计算法第十九页，共四十六页，2022年，8月28日第二十页，共四十六页，2022年，8月28日第二十一页，共四十六页，2022年，8月28日偏导数的概念可以推广到二元以上函数如在处第二十二页，共四十六页，2022年，8月28日习惯上，记全微分为全微分的定义可推广到三元及三元以上函数通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理．叠加原理也适用于二元以上函数的情况．第二十三页，共四十六页，2022年，8月28日多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导第二十四页，共四十六页，2022年，8月28日解第二十五页，共四十六页，2022年，8月28日证原结论成立．第二十六页，共四十六页，2022年，8月28日有关偏导数的几点说明：１、２、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；解第二十七页，共四十六页，2022年，8月28日３、偏导数存在与连续的关系？但函数在该点处并不连续.偏导数存在连续.一元函数中在某点可导

连续，多元函数中在某点偏导数存在

连续，第二十八页，共四十六页，2022年，8月28日纯偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.4、高阶偏导数第二十九页，共四十六页，2022年，8月28日解第三十页，共四十六页，2022年，8月28日解第三十一页，共四十六页，2022年，8月28日问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？第三十二页，共四十六页，2022年，8月28日解第三十三页，共四十六页，2022年，8月28日偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数（偏增量比的极限）纯偏导混合偏导（相等的条件）三、小结第三十四页，共四十六页，2022年，8月28日思考题第三十五页，共四十六页，2022年，8月28日思考题解答不能.例如,第三十六页，共四十六页，2022年，8月28日3、复合函数链式法则第三十七页，共四十六页，2022年，8月28日上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如以上公式中的导数称为全导数.第三十八页，共四十六页，2022年，8月28日上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：第三十九页，共四十六页，2022年，8月28日链式法则如图示第四十页，共四十六页，2022年，8月28日第四十一页，共四十六页，2022年，8月28日解第四十二页，共四十六页，2022年，8月28日解第四十三页，共四十六页，2022年，8月28日1、链式法则（分三种情况）2、全微分形