第七节方向导数与梯度

第七节方向导数与梯度第一页，共四十页，2022年，8月28日问题的提出考虑二元函数z=f(x,y)的偏导数仅反映函数在水平方向（横轴方向）上的变化率。同理，偏导数仅反映函数在垂直方向上的变化率。在实际问题中，还需要考虑函数在斜方向上的变化率问题，如冷热空气的流动，温度场的变化等。第二页，共四十页，2022年，8月28日实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？答案：应沿由热变冷变化最剧烈的方向爬行．问题：如何确定上述变化最剧烈的方向？问题的实质：要研究温度在各个方向上的变化率。第三页，共四十页，2022年，8月28日一、方向导数的定义函数在某一方向上的变化率，称为函数在该方向上的方向导数。与l同方向的单位向量为则射线l

的参数方程为动点从沿方向l

运动到点P时，函数产生的增量第四页，共四十页，2022年，8月28日称之为函数在l方向上的增量。称之为函数在l方向上的平均变化率。如果极限存在l的参数方程为则称它为

f(x,y)在点处沿方向

l

的方向导数。第五页，共四十页，2022年，8月28日记为问题1：方向导数与偏导数的关系？问题2：函数沿任意方向的方向导数均存在的条件是什么？如何计算方向导数？如果极限存在，则称它为

f(x,y)在点处沿方向

l

的方向导数。方向导数就是函数在点处沿方向l的变化率。第六页，共四十页，2022年，8月28日（1）在

x

轴的正方向上，假设

z=f(x,y)在点偏导数存在问题1：方向导数与偏导数的关系？第七页，共四十页，2022年，8月28日假设

z=f(x,y)在点偏导数存在（2）在

x

轴的负方向上，问题1：方向导数与偏导数的关系？第八页，共四十页，2022年，8月28日（3）同理，在

y

轴的两个方向上正方向：负方向：则函数在该点处沿水平和垂直方向的方向导数均存在.偏导数均存在，结论1：如果函数

z=f(x,y)在点的两个即：偏导数是一种特殊的方向导数。结论2：偏导数存在不能保证斜方向的方向导数存在。第九页，共四十页，2022年，8月28日思考：若函数沿任意方向的方向导数均存在，是否保证偏导数一定存在？例1：解：不存在。第十页，共四十页，2022年，8月28日定理如果函数f(x,y)在点可微分，那么函数在该点沿任一方向l的方向导数存在，且有其中是方向l的方向余弦.问题2：函数沿任意方向的方向导数均存在的条件是什么？如何计算方向导数？结论3：即使函数沿任意方向的方向导数均存在，也不能保证偏导数一定存在。第十一页，共四十页，2022年，8月28日考虑函数在方向l上的增量令证明：设其中第十二页，共四十页，2022年，8月28日计算可微函数方向导数的步骤：（1）确定给定方向l的方向余弦：即与l同方向的单位向量。（2）计算偏导数（3）利用公式计算或第十三页，共四十页，2022年，8月28日例1求函数在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点Q(2,−1)的方向的方向导数.解:这里方向l即向量的方向，与l同向的单位向量为所求方向导数为第十四页，共四十页，2022年，8月28日例2.

求函数在点P(2,3)沿曲线朝x增大方向的方向导数.解:将已知曲线用参数方程表示为它在点P的切向量为第十五页，共四十页，2022年，8月28日解由方向导数的计算公式知故例3求函数在点（1，1）沿与

x轴方向夹角为的方向射线l的方向导数,

并问在怎样的方向上此方向导数有（1）最大值；（2）最小值；（3）等于零？第十六页，共四十页，2022年，8月28日对于三元函数u=f(x,y,

z),它在点处沿方向的方向导数定义为如果u=f(x,y,

z)在点处可微，则第十七页，共四十页，2022年，8月28日定理:则函数在该点沿任意方向

l

的方向导数存在,且有例4.求函数

在点P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.解:向量l的方向余弦为第十八页，共四十页，2022年，8月28日例5

设是曲面在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解:

方向的方向导数.在点P处沿求函数对于封闭的曲面，上述两个法向量中，一个指向曲面的外侧，另一个则指向曲面的内侧。令则曲面上任意一点

P(x,y,z)处的法向量可取为

指向外侧，则指向内侧，第十九页，共四十页，2022年，8月28日令故又解：的方向余弦，即与同方向的单位向量为故第二十页，共四十页，2022年，8月28日定义：设函数f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数,则对于每一点都可定出一个向量这向量称为函数f(x,y)在点的梯度，记作，即二、梯度

问题：引进梯度概念的意义是什么？并称为z=f(x,y)在D内的梯度场。第二十一页，共四十页，2022年，8月28日（1）梯度与方向导数的关系是l的方向余弦，为最大值。第二十二页，共四十页，2022年，8月28日为最大值。

即：函数在梯度方向上的方向导数最大，或者说函数在梯度方向上的增加速度（变化率）最快（最大）；而沿梯度的反方向函数减少最快。

结论：函数在某点的梯度是一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值．第二十三页，共四十页，2022年，8月28日设函数f(x,y,z)在空间区域G具有一阶连续偏导数，则对于每一点，都可定出一个向量这向量称为函数f(x,y,z)在点的梯度，将它记作，即梯度的概念可以推广到三元函数

类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.第二十四页，共四十页，2022年，8月28日解：由梯度计算公式得故第二十五页，共四十页，2022年，8月28日例7.证:试证处矢径r的模,第二十六页，共四十页，2022年，8月28日解:故例8.设在xoy平面上，各点的温度与点的位置关系为第二十七页，共四十页，2022年，8月28日解:解:

沿梯度方向温度变化率最大，最大值为沿负梯度方向最小，最小值为第二十八页，共四十页，2022年，8月28日梯度的基本运算公式第二十九页，共四十页，2022年，8月28日函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线),称为函数f的等值线.则L*上点P处的法向量为同样,对应函数有等值面(等量面)当各偏导数不同时为零时,其上点P处的法向量为指向函数增大的方向.第三十页，共四十页，2022年，8月28日等值线与梯度为z=f(x,y)的一条等值线当平面

z=c

上下移动时，得到一簇互不相交的等值线。第三十一页，共四十页，2022年，8月28日第三十二页，共四十页，2022年，8月28日内容小结1.方向导数•三元函数在点沿方向l(方向角的方向导数为•二元函数在点的方向导数为沿方向l(方向角为第三十三页，共四十页，2022年，8月28日2.梯度•三元函数在点处的梯度为•二元函数在点处的梯度为3.关系方向导数存在偏导数存在••可微梯度在方向l上的投影.第三十四页，共四十页，2022年，8月28日思考与练习设函数(1)求函数在点M(1,1,1)处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在M(1,1,1)处的梯度与(1)中切线方向

的夹角

.第三十五页，共四十页，2022年，8月28日曲线(1)在点解答提示:函数沿l的方向导数M(1,1,1)处切线的方向向量第三十六页，共四十页，2022年，8月28日第三十七页，共四十页，2022年，8月28日备用题1.函数在点处的梯度解:则