2023年高考数学热点专题解析几何模型通关圆锥曲线中的定点问题（原卷版）

圆锥曲线中的定点问题思路引导思路引导处理圆锥曲线中定点问题的方法：(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．母题呈现母题呈现考法1参数法求证定点【例1】(2022·临沂、枣庄二模联考)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，其左、右焦点分别为F1，F2，点P为坐标平面内的一点，且|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\f(3,2)，eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝－eq\f(3,4)，O为坐标原点．(1)求椭圆C的方程；(2)设M为椭圆C的左顶点，A，B是椭圆C上两个不同的点，直线MA，MB的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝eq\f(π,2).证明：直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标．【解题指导】【例2】（2022·福建·漳州三模）已知抛物线的准线为，为上一动点，过点作抛物线的切线，切点分别为.（1）求证：是直角三角形；（2）轴上是否存在一定点，使三点共线.【解题指导】【解题技法】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.【跟踪训练】（2020·新课标Ⅰ卷理科）已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.考法2先求后证法求证定点【例3】（2022·合肥一中模拟预测）已知椭圆的离心率为，其上焦点到直线的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于，两点.试探究以线段为直径的圆是否过定点？若过，求出定点坐标，若不过，请说明理由.【解题指导】（1）椭圆离心率→焦点到直线的距离→→列方程组求a,b的值→椭圆方程;（2）当直线l斜率不存在时→为直径的圆的方程→当直线l斜率为0时→为直径的圆的方程→两圆的交点Q→当直线的斜率存在且不为0时为直径的圆恒过点Q即可.【例4】（2022·全国乙T21）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．（1）求E的方程；（2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．【解题指导】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）斜率不存在时探究定点→设出直线方程→与椭圆C的方程联立→求HN的方程→是否过定点.【解题技法】(1)定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平位置、竖直位置，即k＝0或k不存在时.(2)以曲线上的点为参数，设点P(x1，y1)，利用点在曲线f(x，y)＝0上，即f(x1，y1)＝0消参.【跟踪训练】（2022·江苏淮安·模拟预测）平面直角坐标系xOy中，点（－，0），（，0），点M满足，点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)已知A（1，0），过点A的直线AP，AQ与曲线C分别交于点P和Q（点P和Q都异于点A），若满足AP⊥AQ，求证：直线PQ过定点.模拟训练模拟训练1．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于，两点，且.(1)求抛物线的方程；(2)若点，直线，分别交准线于，两点，证明：以线段为直径的圆过定点.2．（2023·山西晋中·统考二模）已知双曲线C：的离心率为，点在双曲线上．(1)求双曲线C的方程；(2)若A，B为双曲线的左、右顶点，，若MA与C的另一交点为P，MB与C的另一交点为Q（P与A，Q与B均不重合）求证：直线PQ过定点，并求出定点坐标．3．（2023·贵州毕节·统考一模）设抛物线的焦点为，点，过的直线交于，两点．当直线垂直于轴时，．(1)求的方程；(2)在轴上是否存在一定点，使得_________？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．从①点关于轴的对称点与，三点共线；②轴平分这两个条件中选一个，补充在题目中“__________”处并作答．注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．4．（2023·江苏泰州·统考一模）已知双曲线的左顶点为，过左焦点的直线与交于两点.当轴时，，的面积为3.(1)求的方程；(2)证明：以为直径的圆经过定点.5．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的左顶点为A，点E为直线与的一个交点（异于点A），当时，点E在y轴上.(1)求的标准方程；(2)若点F为过点A且斜率为的直线与的一个交点（异于点A），求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.6．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，椭圆上的点与点的距离的最大值为4.(1)求椭圆的标准方程；(2)点在直线上，点关于轴的对称点为，直线分别交椭圆于两点（不同于点）.求证：直线过定点.7．（2023·浙江·模拟预测）已知双曲线的焦距为10，且经过点．A，B为双曲线E的左、右顶点，P为直线上的动点，连接PA，PB交双曲线E于点C，D（不同于A，B）．(1)求双曲线E的标准方程．(2)直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．8．（2023·山东威海·统考一模）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，P为C上任意一点（异于A，B），直线AP，BP分别交直线于M，N两点.(1)求证：；(2)设直线BM交椭圆C于另一点Q，求证：直线PQ恒过定点.9．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）已知椭圆过点，且的焦距是椭圆的焦距的3倍．(1)求的标准方程；(2)设M，N是上异于点P的两个动点，且，试问直线是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说