2019届高考数学专题十七圆锥曲线几何性质精准培优专练理

培长处十七圆锥曲线的几何性质1．椭圆的几何性质例1：如图，椭圆x2y2b0B、A、F，中2+21a的上极点、左极点、左焦点分别为ab心为O，其离心率为3，则△ABF:△BFO（）2A．23:3B．233:3C．23:2D．233:2【答案】B【分析】由S△S△S△，得S△:△S△S△S:△abbccb:ABFABOBFOOBAFBAFBOOFBOFB而c3△△233:3，应选B．a22．抛物线的几何性质例2：已知抛物线C:y22pxp0的焦点为F，准线l:x1，点M在抛物线C上，点M在直线l:x1上的射影为A，且直线AF的斜率为3，则△MAF的面积为（）A．3B．23C．43D．83【答案】C【分析】设准线l与x轴交于点N，因此FN2，由于直线AF的斜率为3，因此AFN60，1因此AF4，由抛物线定义知，MAMF，且MAFAFN60，因此△MAF是以4为边长的正三角形，其面积为343．应选C．4243．双曲线的几何性质22例3：已知点P是双曲线xy1的右支上一点，M，N分别是圆x1024和y23664x1021PMPNy2的最大值为_________．上的点，则【答案】15【分析】在双曲线x2y21中，a6，b8，c10，3664F110,0，F210,0，PF1PF22a12，MPPF1MF1，PNPF2NF2，PMPNPF1MF1PF2NF215．对点增分集训一、单项选择题1．抛物线y22pxp0上的动点Q到其焦点的距离的最小值为1，则p（）A．1B．1C．2D．42【答案】C【分析】抛物线y22pxp0上的动点Q到其焦点的距离的最小值即到准线的最小值，很显然知足最小值的点为抛物线的极点，据此可知：p2．此题选择C选项．1，p22．设点F1，F2是双曲线x2y21的两个焦点，点P是双曲线上一点，若3PF14PF2，3则△PF1F2的面积等于（）A．53B．315C．45D．2102【答案】B【分析】据题意，PF14PF2，且PF1PF22，解得PF18，PF26．322F1F22又F1F24，在△PF1F2中由余弦定理，得cosF1PF2PF1PF272PF1PF2．8进而sinF1PF21cos2F1PF215，因此S△PFF216815315，应选B．81283．经过椭圆x22y22的一个焦点作倾斜角为45的直线l，交椭圆于M，N两点，设O为坐标原点，则OMON等于（）A．3B．1C．1D．1332【答案】C【分析】椭圆方程为x2y21，a2，b1，c1，取一个焦点F1,0，则直线方程2为yx1，代入椭圆方程得3x24x0，M0,1，N4,1，因此OMON1，应选C．3334．过抛物线y2mxm0的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，PQ5m，则m（）4A．4B．6C．8D．10【答案】B【分析】设PQ的坐标分别为x1,y1，x2,y2，线段PQ中点的横坐标为3，则x1x23，2PQxxp6m5m，由此解得m6．应选B．12445．已知双曲线x2y21a0,b0的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是a2b2边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）A．x2y21B．x2y2133x2y2x2y21C．1D．4412123【答案】Bx2y2【分析】双曲线a2b21a0,b0的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），可得c2，b3，即b23，c2a22a23，解得a1，b3，aa双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线的方程为x2y21，应选B．36．以下图，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球邻近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞翔，以后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞翔，最后卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞翔．已知椭圆轨道I和Ⅱ的中心与F在同向来线上，设椭圆轨道I和Ⅱ的长半轴长分别为a1，a2，半焦距分别为c1，c2，则有（）A．c1c2B．a1c1a2c2C．c1c2D．a1c1a2c2a1a2a1a2【答案】C【分析】设圆形轨道Ⅲ的半径为R，aca2c2R，c1a1R1R，a1a1a1c2a2RR，a21a2a2由a1a2知c1c2，应选C．a1a2x21，双曲线C2:x2y27．已知双曲线C1:y21ab0的左、右焦点分别为F1，F2，4a2b2M是双曲线C2的一条渐近线上的点，且OMMF2，O为坐标原点，若S△OMF216，且双曲线C1，C2的离心率同样，则双曲线C2的实轴长是（）4A．32B．4C．8D．16【答案】D【分析】双曲线C1:x2y21的离心率为5，设F2c,0，双曲线C2一条渐近线方程为42byx，a可得F2Mbcb2b，即有OMc2b2a，a2由△，可得1ab16，即ab32222c52a2解得a8，b4，c45，即有双曲线的实轴长为16．应选D．8．已知F是抛物线C:y2x2的焦点，N是x轴上一点，线段FN与抛物线C订交于点M，若2FMMN，则FN（）A．1B．1C．5D．5228【答案】D【分析】由题意得点F的坐标为0,1，设点M的坐标x0,y0，点N的坐标a,0，8因此向量：FMx,y01，MNax,y，0800由向量线性关系可得：3x0a，2y1y，解得：y01，04012代入抛物线方程可得：x06a6，则4，12由两点之间的距离公式可得：FN5．应选D．8x2y2x229．已知椭圆C1:1a1b10与双曲线C2:y1a20,b20有同样的焦点a2b2a2b22112F1，F2，点P是曲线C1与C2的一个公共点，e1，e2分别是C1和C2的离心率，若PF1PF2，则4e12e22的最小值为（）5A．9B．4C．5D．922【答案】A【分析】由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义PF1PF22a2，①由椭圆定义PF1PF22a1，②224c2，③又∵PF1PF2，∴PF1PF2①2②2，得PF12224a22，④PF24a1将④代入③，得a2a22c2，12224c2c252a2a259∴4e1e22，应选A．a222a122a22a122210．已知F为抛物线C:y24x的焦点，A，B，C为抛物线C上三点，当FAFBFC0时，称△ABC为“和睦三角形”，则“和睦三角形”有（）A．0个B．1个C．3个D．无数个【答案】D【分析】抛物线方程为y24x，A，B，C为曲线C上三点，当FAFBFC0时，F为△ABC的重心，用以下方法结构1，△ABC，连结AF并延伸至D，使FDAF2当D在抛物线内部时，设Dx0,y0，若存在以D为中点的弦BC，设Bm1,n1，Cm2,n2，则m1m22x0，n1n22y0，n1n2kBC，m2m1n124m1，两式相减化为nnn1n24，则m1m2n24m12226n1n22D为中点的弦BC，因此这样的三角形有无数个，应选kBCm2，因此总存在以m1y0D．11．已知双曲线x2y21a0,b0的左右焦点分别为F1，F2，椭圆x2y21:b22:1a234的离心率为e，直线MN过点F2与双曲线交于M，N两点，若cosF1MNcosF1F2M，F1Me，则双曲线1的两条渐近线的倾斜角分别为（）且F1NA．30，150B．45，135C．60，120D．15，165【答案】C【分析】由题cosF1MNcosF1F2M，F1MNF1F2M，MF1F1F22c，由双曲线的定义可得|MF2MF1|2a2c2a，∵椭圆2:x2y21的离心率为：e431，∴F1M＝e1，NF14c，3422F1N2NF24c2a，4c22c2a24c2ca，在△MFF中，由余弦定理的cosFFM121222c2c2a2c4c24c2a2222在△NF1F2中，由余弦定理可得：cosF1F2N16cac4ac，22c4c2a2c2ca∵F1F2MF1F2Nπ，cosF1F2McosF1F2N0caa2c24ac，即2c2ca0，2c7整理得，设双曲线的离心率为e1，3e127e120，解得e12或1（舍）．3∴a2b24，3a2b2，即b3．∴双曲线的渐近线方程为y3x，a2a∴渐近线的倾斜角为60，120．应选C．x2y2P作圆2y21的两条切线，切点分12．已知P为椭圆1上一个动点，过点x143别是A，B，则PAPB的取值范围为（）A．3,B．3,56C．223,56D．223,2299【答案】C【分析】如图，由题意设APB2，则PAPB1，tan∴PAPBPAPBcos211cos2cos2，cos2cos2tan21设cos2t1t12321t2，t，则PAPBtt322311t1t当且仅当1t2，即t12时等号建立，此时cos212．1t又当点P在椭圆的右极点时，sin1，∴cos212sin27，3971756此时PAPB最大，且最大值979．9198∴PAPB的取值范围是223,56，应选C．9二、填空题13．已知过抛物线y22x的焦点F，且斜率为3的直线与抛物线交于A、B两点，则AFBF__________．AB【答案】12【分析】由y22x知p1，由焦点弦性质1+122，AFBFp而AFBFAFBF11p1．ABAF+BF122AF+BF14．已知椭圆x2y21的左、右焦点为F1、F2，点F1对于直线yx的对称点P仍在椭a2圆上，则△PF1F2的周长为__________．【答案】222【分析】设F1c,0，F2c,0c0，F1对于直线yx的对称点P坐标为0,c，点P在椭圆上，则：021，则cb22c22，2c1，ab2，则aa故△PF1F2的周长为：PF1PF2F1F22a2c222．15．P为双曲线x2y2右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，且PF1PF20，419直线PF2交y轴于点A，则△AF1P的内切圆半径为__________．【答案】2【分析】∵PFPF，△APF的内切圆半径为r，1219∴PF1PAAF12r，∴PF22aPAAF12r，AF2AF12r4，∵由图形的对称性知：AF2AF1，∴r2．故答案为2．16．已知直线l与椭圆x2y21a0,b0相切于第一象限的点Px0,y0，且直线l与xa2b2轴、y轴分别交于点A、B，当△AOB(O为坐标原点)的面积最小时，F1PF260(F1、F2是椭圆的两个焦点)，若此时在△PF1F2中，F1PF2的均分线的长度为3a，则实数m的值m是__________．【答案】52【分析】由题意，切线方程为x0y0y1，a2x2b直线l与x轴分别订交于点A，B，a2，Bb2S△AOB122A,00,，ab，x0y02x0y0x02y0212x0y0，12S△AOBab，当且仅当x0y02a2b2ab，ab时，x0y0ab2△AOB（O为坐标原点）的面积最小，设PF1x，PF2y，由余弦定理可得4c2x2y2xy4a23xy，xy4b2，3S△PFF1xysin603b2，12cy03b2，122323y03b22c6b，a15b，3cb，33210F1PF2的内角均分线长度为3a，1x3a11y3a13b2，m2m22m2313a32，13a2a3152322xy3b22m2m9b3b，2m5，故答案为5．22三、解答题17．设常数t2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F2,0，直线l：xt，曲线：y28x0xt,y0．l与x轴交于点A、与交于点B．P、Q分别是曲线与线段AB上的动点．（1）用t表示点B到点F距离；（2）设t3，FQ2，线段OQ的中点在直线FP，求△AQP的面积；（3）设t8，能否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在上？若存在，求点的坐标；若不存在，说明原因．【答案】（1）t2；（2）73；（3）存在，P2,45．655【分析】（1）方法一：由题意可知：设Bt,22t，则BFt222，∴BFt2；8tt方法二：由题意可知：设Bt,22t，11由抛物线的性质可知：BFp2，∴BFt2；tt2（2）F2,0，FQ2，t3，则FA1，∴AQ3，∴Q3,2，设OQ的中点D，D32，,223kQF203，则直线PF方程：y3x2，322联立y3x220x120，y28x，整理得：3x2解得：x2，x6（舍去），∴△AQP的面积S13773；3236（3）存在，设Py2m2,m，则kPFy8y，kFQ16y2,y，E8y2y216，828y8直线QF方程为y16y22，∴yQ16y282483y2483y2x8y4y，Q8，，8y4y依据FPFQy26,48y2，FE，则E4y8∴48y22y216，86，解得：y24y85∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在上，且P2,45．5518．与椭圆订交于A、B两点，F2对于直线l1的对称点E在椭圆上．斜率为1的直线l2与线段AB订交于点P，与椭圆订交于C、D两点．121）求椭圆的标准方程；2）求四边形ACBD面积的取值范围．【答案】（1）x2y21；（2）32,32．8493【分析】（1）由椭圆焦距为4，设F12,0，F22,0，连结EF1，设EF1F2，则tanb，又a2b2c2，得sinb，cosc，caa2cF1F2sin901ac，eEF1||EF2sinsin90bcbca2aaa解得a2bcc2bc28，因此椭圆