考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷32(题后含答案及解析)

考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷32(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．设事件A与B相互独立，且则()．A．C与D相互独立B．C与D不独立C．C与D互不相容D．C与D可能独立，也可能不独立正确答案：D解析：令C=A，D=B，显然A与B独立，即有C与D独立；另外，令P(C)≠0，P(D)≠0，且则C与D一定不独立，因为此时P(CD)≠P(C)P(D)．故选D．知识模块：概率论与数理统计2．设X是连续型随机变量，其分布函数为F(x)．若数学期望E(X)存在，则当x→+∞时，1－F(x)是的()．A．低阶无穷小B．高阶无穷小C．同阶但非等价无穷小D．等价无穷小正确答案：B解析：设X的密度函数为f(x)，因为E(X)存在，于是∫－∞+∞｜x｜f(x)dx＜∞．所以=x∫x+∞f(t)dt=∫x+∞xf(t)dt≤∫x+∞｜t｜f(t)dt→0(x→+∞)，即故1－F(x)为的高阶无穷小．故选B．知识模块：概率论与数理统计3．设随机事件A与B互不相容，且0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，令()．X与Y的相关系数为ρ，则()．A．ρ=0B．ρ=1C．ρ＜0D．ρ＞0正确答案：C解析：A与B互不相容，即于是P(X=1，Y=)=P(AB)=0，P(X=0，Y=)=－P(B)，P(X=1，Y=0)==P(A)，P(X=0，Y=0)==1－P(A)－P(B)．因此Cov(X，Y)=E(XY)－E(X)E(Y)=－P(A)P(B)，D(X)=P(A)(1－P(A))，D(Y)=P(B)(1－P(B))．所以故选C．知识模块：概率论与数理统计4．对于任意二个随机变量X和Y，与命题“X和Y不相关”不等价的是()．A．E(XY)=E(X)E(Y)B．Cov(X，Y)=0C．D(XY)=D(X)D(Y)D．D(X+Y)=D(X)+D(Y)正确答案：C解析：由不相关的定义易得A、B、D均是X与Y不相关的充要条件．另外，即使已知X与Y独立，也推不出D(XY)=D(X)D(Y)．故选C．知识模块：概率论与数理统计5．设X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，是样本均值，C为任意常数，则()．A．B．C．D．正确答案：C解析：故选C知识模块：概率论与数理统计6．设X1，X2，…，Xn是来自总体X～N(μ，σ2)的样本，则μ2+σ2的矩法估计量为()．A．B．C．D．正确答案：D解析：μ2+σ2=Eσ2(X)+D(X)=E(Xσ2)．故选D．知识模块：概率论与数理统计7．设总体X～N(μ，σ2)，σ2未知，x1，x2，…，xn为来自总体X的样本观测值，现对μ进行假设检验，若在显著水平α=0．05下拒绝了H0：μ=μ0，则当显著水平改为α=0．01时，下列说法正确的是()．A．必接受H0B．必拒绝H0C．第一类错误的概率必变大D．可能接受，也可能拒绝H0正确答案：D解析：此时的拒绝域为其中tα/2(n－1)表示t分布的上α／2分位数．由于t0.005(n－1)>t0.025(n－1)．故选D．知识模块：概率论与数理统计填空题8．已知事件A，B满足P(A)+P(B)=1，且A与B均不发生的概率等于A与B恰有一个发生的概率，则A，B同时发生的概率为______．正确答案：应填解析：因为1－P(A)－P(B)+P(AB)=P(A)－P(AB)+P(B)－P(AB)，即3P(AB)=2[P(A)+P(B)]－1．故知识模块：概率论与数理统计9．在n重贝努利试验中，若每次试验成功的概率为p，则成功次数是奇数的概率为______．正确答案：应填解析：设X表示n次试验中成功的次数，则X服从二项分布B(n，p)．由于P(X=k)=Cnkpk(1－p)n－k，k=0，1，…，n．又Cnkpk(1－p)n－k=1①Cnk(－p)k(1－p)n－k=(1－2p)n②①－②得所求概率为知识模块：概率论与数理统计10．设随机变量X～F(n，n)，则P(X＞1)=______．正确答案：应填解析：由X～F(n，n)，故同分布．因此P(X＞1)=于是P(X＞1)=P(X＜1)．P(X=1)=0，得P(x＞1)=知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11．假设目标出现在射程之内的概率为0．7，这时一次射击命中目标的概率为0．6，试求两次独立射击至少有一次命中目标的概率．正确答案：设A={目标进入射程}，Bi={第i次射击命中目标}，i=1，2，B={两次独立射击至少有一次命中目标}．于是，所求概率P(B)=P(AB)+=P(AB)=P(A)P(B｜A)=P(A)P(B1∪B2｜A)=P(A)[P(B1｜A)+P(B2｜A)－P(B1B2｜A)]=0．7×(0．6+0．6－0．6×0．6)=0．588．涉及知识点：概率论与数理统计12．设有3箱同型号产品，分别装有合格品20件，12件和15件，不合格品5件，4件和5件，现在任意打开一箱，并从箱内任取一件进行检验，由于检验误差，每件合格品被误验为不合格品的概率是0．04，每件不合格品被误检为合格品的概率是0．04，试求：(1)取到的一件产品经检验定为合格品的概率；(2)若已知取到的一件产品被检验定为合格品，则它确实真是合格品的概率．正确答案：设Ai={打开第i个箱子}，i=1，2，3．B1={取到的一件产品确为合格品}，B={取到的一件产品经检验定为合格品}．(1)B1与构成一个完备事件组，由全概率公式得P(B)=P(B1)P(B｜B1)+由已知得P(B｜B1)=0．96，又A1，A2，A3构成一个完备事件组，于是再次利用全概率公式得(2)由贝耶斯公式得所求概率为涉及知识点：概率论与数理统计13．向半径为r的圆内投掷一随机点，假设点一定落入圆内，而落入圆内的任何区域的概率只与该区域的面积有关且与之成正比．试求：(1)落点到圆心距离R的分布函数F(x)；(2)落点到圆心距离R的密度函数f(x)．正确答案：试验为一个几何概型，样本空间为半径为r的圆域．于是(1)R的分布函数(2)R的密度函数涉及知识点：概率论与数理统计14．设随机变量X服从二项分布B(n，p)，试求k使得概率P(X=k)为最大．正确答案：P(X=k)=Cnkp(1－p)n－k，k=0，1，…，n．考虑比值因此，若(n+1)p为正整数，则当k=(n+1)p或(n+1)p－1时，P(X=k)达到最大；若(n+1)p不是整数，则当k=[(n+1)p]时，P(X=k)达到最大．涉及知识点：概率论与数理统计15．设随机变量X的分布函数FX(x)为严格单调增加的连续函数，Y服从[0，1]上的均匀分布，证明：随机变量Z=FX－1(Y)的分布函数与X的分布函数相同．正确答案：由Y服从[0，1]上的均匀分布知y的分布函数为Z的分布函数为FZ(z)=P(Z≤z)=P(FX－1(Y)≤z)=P(Y≤FX(z))=FX(z)(因为0≤FX(z)≤1)．即Z与X有相同的分布函数．涉及知识点：概率论与数理统计16．假设随机变量的分布函数为F(y)=1－e－y(y＞0)，F(y)=0(y≤0)．考虑随机变量求X1和X2的联合概率分布．正确答案：P(X1=0，X2=0)=P(Y≤1，Y≤2)=P(Y≤1)=1－e－1．P(X1=0，X2=1)=P(Y≤l，Y＞2)=0．P(X1=1，X2=0)=P(Y＞1，Y≤2)=P(1＜Y≤2)=F(2)－F(1)=1－e－2－(1－e－1)=e－1－e－2．P(X1=1，X2=1)=P(Y＞1，y＞2)=P(Y＞2)=1－P(Y≤2)=1－(1－－2)=e－2．故X1和X2的联合概率分布为涉及知识点：概率论与数理统计17．假设随机变量X的概率密度为而随机变量Y在区间(0，X)上服从均匀分布．试求：(1)随机变量X和Y的联合概率密度f(x，y)；(2)随机变量Y的概率密度fY(y)．正确答案：Y在区间(0，X)上服从均匀分布，即有条件密度(x＞0)(1)X与Y的联合密度为(2)Y的概率密度为涉及知识点：概率论与数理统计假设随机变量X和Y的联合密度为18．试确定常数c；正确答案：由∫－∞+∞∫－∞+∞f(x，y)dxdy=1得涉及知识点：概率论与数理统计19．试求随机变量X和y的概率密度f1(x)和f2(y)；正确答案：f1(x)=∫－∞+∞f(x，y)dy涉及知识点：概率论与数理统计20．试求随机变量Y关于X和X关于y的条件概率密度f2｜1(y｜x)和f1｜2(x｜y)．正确答案：当－1＜x＜1时，Y关于X的条件密度为当0＜y＜1时，X关于Y的条件密度为涉及知识点：概率论与数理统计21．设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为1的泊松分布，Y服从参数为2的泊松分布，令Z=max(X，Y)，计算P(1＜Z≤3)．正确答案：P(1＜Z≤3)=P(Z≤3)－P(Z≤1)=P(max(X，Y)≤3)－P(max(X，Y)≤1)=P(X≤3，Y≤3)－P(X≤1，Y≤1)=P(X≤3)P(Y≤3)=P(X≤1)P(Y≤1)涉及知识点：概率论与数理统计22．假设X=sinZ，y=cosZ，其中Z在区间[－π，π]上均匀分布，求随机变量X和Y的相关系数ρ．试说明X和Y是否独立．正确答案：因为Cov(X，Y)=E(XY)－E(X)E(Y)=0．因此X与Y的相关系数ρ=0．又故即X与Y不相互独立．涉及知识点：概率论与数理统计设连续型随机变量X的密度函数为23．常数a，b，c的值；正确答案：由∫－∞+∞f(x)dx=1，即∫02ax2dx+∫24(cx+b)dx=1，得2a+2b+6c=1，①由E(x)=∫02axdx+∫24(cx+b)xdx=2，得涉及知识点：概率论与数理统计24．Y=ex的数学期望与方差．正确答案：E(Y)=E(eX)=∫－∞+∞exf(x)dx涉及知识点：概率论与数理统计25．假设随机变量X1，X2，…，X5独立同服从正态分布N(0，22)，且Y=aX12+b(2X2+3X3)2+c(4X4－5X5)2．问常数a，b，c取何值时随机变量Y服从χ2分布?自由度为多少?正确答案：由正态分布的线性性质得2X2+3X3～N(0，52)，4X44－5X5～N(0，164)，于是涉及知识点：概率论与数理统计设总体X的分布律