《选择性必修三》随机变量及其分布 离散型随机变量及其分布列第6课时

第6课时7.4.3二项分布的性质（一）教学内容二项分布的单调性、最大值、最小值.（二）教学目标通过具体实例，借助散点图和概率分布直方图，观察二项分布的特征，推导二项分布的性质，掌握取最值时k的取值，体会数形结合和转化思想，提高数学抽象及数据分析的核心素养.（三）教学重点和难点重点：推导二项分布的性质并运用.难点：二项分布的最值取值.（四）教学过程设计一、问题引入问题1：掷一枚质地均匀的硬币正面朝上的概率是多少？追问：掷100枚质地均匀的硬币最可能有多少枚硬币正面朝上？师生分析：学生回答掷一枚硬币正面朝上的概率为0.5，根据直观感觉和生活经验猜测掷100硬币时最有可能有50枚正面朝上。掷100枚硬币最可能有多少枚硬币正面朝上，即掷100枚硬币有多少枚硬币正面朝上时概率最大。设一枚掷硬币正面朝上的事件为A，掷100枚硬币正面朝上的次数为X，由于每次掷硬币的结果是相互独立的，则随机变量X服从二项分布，且事件A成功的概率为0.8，因此X~B(100,0.5)。则离散型随机变量X的分布列为探究是否有50枚硬币正面朝上时概率最大，即探究P(k)何时取到最大值。引出新课：探究二项分布的性质。设计意图：以学生熟悉的抛硬币的例子，通过设疑，引起学生兴趣。可以先误导，引起学生的认知冲突，再解释分析题意，明确研究问题，随机变量X服从二项分布B(100,0.5)时，k取何值时，P(X=k)最大？二、新课教学师生活动：可以把看成以k为自变量的函数，其定义域是{0，1，2，…，100}。可以利用散点图观察性质。课前布置学生画出当掷硬币10次时的散点图,通过动手实践，发现画图比较复杂，教师借助信息技术，利用信息技术画出抛掷100枚质地均匀的硬币时的散点图，观察图象，抛掷10枚时当k=5时概率最大，即最可能有5枚硬币正面朝上；即掷100枚硬币时，当k=50时概率最大，最可能有50枚硬币正面朝上。设计意图：通过学生熟悉的例子，猜测对于二项分布B(n,p)，最可能值在处取到，引起认知冲突，激发学生的学习兴趣。问题2：将问题1一般化，假设随机变量X服从二项分布B(n,p)，则该随机变量X具有哪些性质？师生活动：当试验重复次数n和事件成功概率p发生变化时,我们仍然可以把可以看成以k为自变量的函数，其定义域是{0，1，2，…，n}，通过观察散点图，观察值域、单调性、最值、奇偶性、对称性等性质。（教师展示三个动图：n不变p变，n变p不变，n和p同时变化）学生观察动图，总结二项分布图象的特征：二项分布是一种离散型分布，图象是离散型图象二项分布的图象形状取决于P和n的大小2、当k由0增加到n，P(X=k)先增后减设计意图：从特殊到一般，类比以往的学习经验（二项式系数、数列）研究二项分布的性质，强化学生的类比推理能力。追问1：通过图象观察，若X~B(n，p)（0<p<1），当k由0增加到n时，P(X=k)先增后减，那么k取何值时，P(X=k)最大？师生活动：通过观察散点图可以看出二项分布散点图的变化趋势，从“形”的角度观察之后，如何从“数”的角度进行证明。P(X=k)可以看做离散型函数，此时研究单调性不可以通过求导的方法，可以类比数列的研究方法，比较前后两项的大小。比较两项的大小可以利用作差法或者作商法。其中作差法与0比较，、、，如果，则可以将与1比较，、。记pk=P(X=k)，pk和pk-1均大于令，则所以①当k<(n+1)p时，pk>pk-1，pk随k值得增加而增加；②当k>(n+1)p时，pk<pk-1，pk随k值得增加而减小；学生分组讨论，教师给予指导：因为k一定是整数，所以需要对(n+1)p是否为整数进行分类讨论①当(n+1)p是整数时，则pk-1=pkp0<p1<…<pk-1=pk>pk+1>…>pn-1>pn∴M=pk或pk-1②当(n+1)p非整数时，不妨以具体取值为例，方便学生理解。以n=7、p=0.7为例,则(n+1)p=5.6，所以k<5.6时pk>pk-1,k>5.6时pk<pk-1p0<p1<p2<p3<p4<p5>p6>p7，所以M=p5.即当(n+1)p非整数时,k取(n+1)p的整数部分（记做[(n+1)p]）p0<p1<…<p[(n+1)p]-1<p[(n+1)p]p[(n+1)p]>p[(n+1)p]+1>…>pn-1>pn∴M=p[(n+1)p]师生总结：①当(n+1)p是整数时，M=pk或pk+1②当(n+1)p非整数时，M=p[(n+1)p]设计意图：先通过图象（形）直观观察，推测增减性，再利用表达式证明，体现数学的严谨性。问题3：我们利用图象观察，并通过计算得到了二项分布最大值取值情况，请同学们自己思考并探究最小值取值情况及何时可取？师生活动：学生讨论，教师巡视并给予指导,请学生代表上台发言，，则过渡：刚刚我们利用散点图研究了二项分布的最值问题，体现了二项分布每一项概率的大小，还可以利用概率分布直方图进一步研究对称性等性质。师生活动：通过信息技术展示动图当p<0.5时，图象向左偏倚；当p>0.5时，图象向右偏倚；当p等于0.5时，图象对称，图象呈中间高两边低、先增后减的的趋势。当P等于0.5时,如果n充分大时，服从二项分布B(n,p)的随机变量近似地服从正态分布,这正是我们下节课所需要学习的内容，体现单元教学的内在联系。教师展示动图，学生直观体会这种变化。PXPX0例1如果某射手每次射击击中目标的概率为0.8，每次射击的结果相互独立，那么他在10次射击中，最有可能击中目标几次解：设他在10次射击中，射中的次数为X，由于每次射击的结果是相互独立的，因此X~B(10,0.8)，于是可得他恰好k次射中的概率为从而于是，当k<8.8时，P(x=k-1)<P(x=k)；当k>8.8时，P(x=k-1)<P(x=k)故该射手在10次射击中,最有可能射中8次变式：如果X~B（20,13），求使P(X=k)取得最大值是k解：X~B（20,13）则n=20，p=，(n+1)p=7则当k=6或7时，P(X=k)取得最大值设计意图：这两题为简单题，不同层次的学生都应该掌握，通过此题旨在让学生掌握二项分布概率最大值计算得两种思路。例2随机变量X服从二项分布即X~B(n，p)，试求当n=10，p=0.04、0.2、、0.98时，试求k取何值时P(X=k)取到最大值和最小值。解:①当n=10,p=0.04时，(n+1)p=0.4，所以当k=0时P(X=k)取得最大值p<0.5,所以当k=10时P(X=k)取得最小值②当n=10,p=0.2时，(n+1)p=2.2，所以当k=2时P(X=k)取得最大值p<0.5,所以当k=10时P(X=k)取得最小值③当n=10,p=411时，(n+1)p=4，所以当k=4或5时P(X=kp<0.5,所以当k=10时P(X=k)取得最小值④当n=10,p=0.98时，(n+1)p=10.78，所以当k=10时P(X=k)取得最大值p>0.5,所以当k=0时P(X=k)取得最小值四、总结提升（1）知识：二项分布的图象最大值:当(n+1)p为整数时M=p(n+1)p-1或p(n+1)p当(n+1)p非整数时M=p[(n+1)p]最小值:（2）方法：数形结合思想、类比思想等。五、作业布置1、一次数学测验，由20个单择题构成，每个选择题有4个选择项，其中有且仅有一个是正确的，若某学生在测试中对每题都从4个选项中随机地选择1个，求该生在这次测验中答