高中数学数列知识点总结

数列基础知识点《考纲》要求：理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项；理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题；理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。数列的概念基础过关1．数列的概念：数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数N*或其子集{1，2，3，……n}的函数f(n)．数列的一般形式为a1，a2，…，an…，简记为{an}，其中an是数列{a}的第项．2．数列通项公式一个数列{a}的与之间的函数关系，如果可用一个公式a＝f(n)来表示，我们 n n就把这个公式叫做这个数列的通项公式．3．在数列{a}中，前n项和S与通项a的关系为：n n n4．求数列的通项公式的其它方法公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法．观察归纳法：先观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明．递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式.典型例题例1.根据下面各数列的前n项的值，写出数列的一个通项公式．－2，4，－8，16…； 13 35 57 791，2，6，13，23，36，…；1，1，2，2，3，3，解：⑴a＝(－1)n 2n1 n (2n1)(2n1)⑵a＝1(3n27n6)n2（提示：a－a＝1，a－a＝4，a－a＝7，a－a＝10，…，a－a＝1＋3(n－2)=3n－5．各式相 2 1 3 2 4 3 5 4 n n－1加得a1[14710(3n5)]n 1 1(n1)(3n4)21(3n27n6)2⑶将1，1，2，2，3，3，…变形为11,20,31, 2 2 240,51,60,,2 2 21(1)n1n∴a 2 2n1(1)n1n 2 4变式训练1.某数列{a}的前四项为0，2，0，2，则以下各式：22n①a＝2[1＋(－1)n]②a＝1(1)n2 n 2 n③a＝2(n为偶数)n 0 (n为奇数)其中可作为{a}的通项公式的是（）nA．①B．①②C．②③D．①②③解：D例2.已知数列{a}的前n项和S，求通项． n nS＝3n－2nS＝n2＋3n＋1解a＝S－S(n≥2)a＝S n n n－1 1 1解得：a＝23n1(n2) n1 (n1)⑵an＝52n2((nn12))变式训练2：已知数列{a}的前n项的和S满足关系式lg(S－1)＝n，(n∈N*)，则数列{a}的通项 n n n n公式为．解：lg(S1)nS110nS10n1,当n＝1时，a＝S＝11；当n≥2时，a＝S－S＝10n－10n n n n 1 1 n n n－1 11 (n1)－1＝9·10n－1．故an＝910n1(n2)例3.根据下面数列{a}的首项和递推关系，探求其通项公式．a＝1，a＝2a＋(n≥2)n n－1a＝1，a＝a3n1(n≥2)n n1a＝1，a＝n1a(n≥2)n nn1解：⑴a＝2a＋1(a＋1)＝2(a＋1)(n≥2)，a＋1＝2．故：a＋1＝2n，∴a＝2n－1． n n－1 n n－1 1 1 n⑵a＝（a－a）＋（a－a）＋…＋（a－a）＋（a－a）＋a＝3n－1＋3n－2＋…＋33＋3＋1 n n n－1 n－1 n－2 3 2 2 1 1＝1(3n1)．2(3)∵ann1a nn1∴a＝anan1an2a2an1n2n a a a a 1 n n1n1 n2 n3 1n3111n2 2 n变式训练3.已知数列{a}中，a＝1，a＝2an(n∈N*)，求该数列的通项公式．n 1 n＋1a2n解：方法一：由a＝2an得n＋1a2n11，∴{1}是以11为首项，1为公差的等差数列．a a 2 a a 2n1 n n 1∴1＝1＋(n－1)·1,即a＝2a 2 nn1n方法二：求出前5项，归纳猜想出a＝2，然后用数学归纳证明．nn1例4.已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{a}满足f(loga)＝－2n，求数列{a}通项公式． n 2n n解：f(loga)2log2an2log2an2nn 1 得an21na2nna nn变式训练4.知数列{a}的首项a＝5．前n项和为S且S＝2S＋n＋5（n∈N*）． n 1 n n＋1 n证明数列{a＋1}是等比数列；令f(x)＝x＋ax2＋…＋axn，求函数f(x)在点x＝1处导数f1(1)． 1 2 n解：(1)由已知S＝2S＋n＋5，∴n≥2时，S＝2S＋n＋4，两式相减，得： n＋1 n n n－1S－S＝2(S－S)＋1，即a＝2a＋1n＋1 n n n－1 n＋1 n从而a＋1＝2(a＋1)当n＝时，S＝2＋1＋5，∴a＋a＝2a＋6, 2 1 1 2 1又a＝5，∴a＝11 1 2∴an11＝2，即{a＋1}是以a＋1＝6为首项，2为公比的等比数列.a1n1n(2)由(1)知a＝3×2n－1∵f(x)＝axax2＋…＋axn 1 2 n∴f'(x)＝a＋2ax＋…＋naxn－1 1 2 n从而f'(1)＝a＋2a＋…＋na 1 2 n＝(3×2－1)＋2(3×22－1)＋…＋n(3×2n－1)＝3(2＋2×22＋…＋n×2n)－(1＋2＋…＋n)＝3[n×2n＋1－(2＋…＋2n)]－n(n1)2＝3(n－1)·2n＋1－n(n1)＋62归纳小结1．根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项与项数之间的关系，常用的方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等.2．由S求a时，用公式a＝S－S要注意n≥2这个条件，a应由a＝S来确定，最后看二者能n n n n n－1 1 1 1否统一．3．由递推公式求通项公式的常见形式有：a－a＝f(n)，an1＝f(n)，a＝pa＋q，分别用累n＋1nan＋1nn加法、累乘法、迭代法（或换元法）．数列的概念与简单表示法●三维目标知识与技能：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n项和与a的关系n过程与方法：经历数列知识的感受及理解运用的过程。情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。●教学重点根据数列的递推公式写出数列的前几项●教学难点理解递推公式与通项公式的关系通项公式法如数列的通项公式为；的通项公式为；的通项公式为；纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系如数列的通项公式为；的通项公式为；的通项公式为；纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列为例，模型一：自上而下：第1层钢管数为4；即：14＝1+3第2层钢管数为5；即：25＝2+3 图象法启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数为横坐标，相应的项为 做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．递推公式法知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．第3层钢管数为6；即：36＝3+3第4层钢管数为7；即：47＝4+3第5层钢管数为8；即：58＝5+3第6层钢管数为9；即：69＝6+3第7层钢管数为10；即：710＝7+3若用a表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且an3(1≤n≤7）n n运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。即a4；a541a1；a651a1 1 2 1 3 2依此类推：aa1（2≤n≤7）n n1对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。定义：用表示第一项，……，用表示第项，依次写出成为．简记为．递推公式：如果已知数列a用表示第一项，……，用表示第项，依次写出成为．简记为．如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89递推公式为：a3,a5,aaa(3n8) 1 2 n n1 n2数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用表示第一项， 4、列表法[范例讲解]a1例3设数列a满足11 写出这个数列的前五项。nan1a(n1).n1解：分析：题中已给出a的第1项即a1，递推公式：a11n 1 n an11 1 2 15 8解：据题意可知：a1,a12,a1，a1,a 1 2 a 3 a 3 4 a 355 1 2 3[补充例题]例4已知a2，a2a写出前5项，并猜想a． 1 n1 n n法一：a2a2222a22223，观察可得a2n 1 2 3 na法二：由a2a∴a2a即n2n1 n n n1 an1a a a a∴nn1n222n1a a a a n1 n2 n3 1∴aa2n12n n 1[补充练习]1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式a＝0,a＝a＋(2n－1)(n∈N)；n1 n2aa＝1,a＝ n(n∈N)；n1a2na＝3,a＝3a－2(n∈N).n1 n解：(1)a＝0,a＝1,a＝4,a＝9,a＝16,∴a＝(n－1)2;12345n2122122a＝1,a＝,a＝,a＝,a＝,∴a＝;23324 45 536 nn1a＝3＝1+230,a＝7＝1+231,a＝19＝1+232,2 3a＝55＝1+233,a＝163＝1+234,∴a＝1＋2·3n1; 4 5 nⅣ.课时小结本节课学习了以下内容：1．递推公式及其用法；2．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系。等差数列的定义与性质定义：aad（d为常数），aan1d n1 n n 1等差中项：x，A，y成等差数列2Axyaan nn1前n项和S1 nnadn 2 1 2性质：a是等差数列n若mnpq，则aaaa； m n p q数列a,a,a仍为等差数列，S，SS，SS……仍为等差数列， 2n1 2n 2n1 n 2n n 3n 2n公差为n2d；若三个成等差数列，可设为ad，a，ad a S若a，b是等差数列，且前n项和分别为S，T，则m2m1n n n n bT m 2m1a为等差数列San2bn（a，b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数） n nS的最值可求二次函数San2bn的最值；或者求出a中的正、负分界项， n n na0 即：当a0，d0，解不等式组n 可得S达到最大值时的n值. 1 a0 nn1a0 当a0，d0，由n 可得S达到最小值时的n值. 1 a0 nn1(6)项数为偶数2n的等差数列a有n，Sn(aa)n(aa)n(aa)(a,a为中间两项) 2n 1 2n 2 2n1 n n1 n n1 S aSSnd，奇n.偶 奇 S a 偶 n1（7）项数为奇数2n1的等差数列a有n， S (2n1)a(a为中间项)， 2n1 n n S nSSa，奇.奇 偶 nS n1偶等比数列的定义与性质a定义：n1q（q为常数，q0），aaqn1a n 1 .n等比中项：x、G、y成等比数列G2xy，或Gxy.na(q1)1前n项和：Sa1qn （要注意！）n1 (q1)1q性质：a是等比数列n若mnpq，则a·aa·a m n p qS，SS，SS……仍为等比数列,公比为qn. n 2n n 3n 2n注意：由S求a时应注意什么？ n nn1时，aS；1 1n2时，aSS n n n1.求数列通项公式的常用方法求差（商）法如：数列a，1a1a……1a2n5，求a n 21222 2nn n解n1时，a215，∴a14①1 11 1n2时，aa…… a2n15②1222 2n1n1 1 14(n1)①—②得：a2，∴a2n1，∴a2nnnn2n1(n2)［练习］数列a满足SS5a，a4，求a n n n13n1 1 nSS是等比数列，S4n注意到aSS，代入得n14又S4，∴ n1 n1 n S 1 n n n ；n2时，aSS……3·4n1n n n1叠乘法如：数列a中，a3，an1n，求a n 1 a n1 nnaa a 12 n1 a 1 3解2·3……n·……，∴n又a3，∴a a1a2 an123 n a1n 1 nn.等差型递推公式由aaf(n)，aa，求a，用迭加法n n1 1 0 naaf(2)a2a1f(3) n2时，3 2 两边相加得aaf(2)f(3)……f(n)………… n 1aaf(n)n n1∴aaf(2)f(3)……f(n) n 0［练习］数列a中，a1，a3n1an2，求a n 1 n n1 n1a3n1 答案：n2 等比型递推公式acad（c、d为常数，c0，c1，d0）n n1可转化为等比数列，设axcaxacac1xn n1 n n1d d d令(c1)xd，∴x ，∴a 是首项为a ，c为公比的等比数列 c1 nc1 1c1d d d d∴a a ·cn1，∴aa cn1 nc11c1 n1c1 c1（5）倒数法2a如：a1，an，求a 1 n1a2 nn1 a211 1 11由已知得： n ，∴a 2a 2a a a 2 n1 n n n1 n∴1为等差数列，11，公差为1，∴11n1·11n1， an a1 2 an 222∴ann1(附：aS(n1)1公式法、利用n SnSn1(n2)、累加法、累乘法.构造等差或等比an1panq或apaf(n)、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)n1 n4.求数列前n项和的常用方法(1)裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.如：a是公差为d的等差数列，求n1 n aak1kk1解：由1 a1dd1a1a1d0a·a ak k1 k k k k1 n 1n11 111111 1 1∴……k1akak1k1dakak1da1a2a2a3anan111 1daa 1 n1 1 1 1 ［练习］求和：1 …… 12123 123……n1a…………，S2 n n n1（2）错位相减法若a为等差数列，b为等比数列，求数列ab（差比数列）前n项和，可由SqS，n n nn n n求S，其中q为b的公比. n n如：S12x3x24x3……nxn1①nx·Sx2x23x34x4……n1xn1nxn②n①—②1xS1xx2……xn1nxnn 1xnnxn nn1x1时，S ，x1时，S123……nn1x21x n 2（3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.Sna1a2……an1an相加2Saaaa…aa…Saa……aan1n2n11nnnn121x2［练习］已知f(x)，则1x2 1 1 1f(1)f(2)ff(3)ff(4)f 2 3 412由f(x)f1x2xx211 x1x2 121x21x21 x 1 1 11 1∴原式f(1)f(2)f2f(3)f3f(4)f4211132(附：a.用倒序相加法求数列的前n项和如果一个数列{a}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。b.用公式法求数列的前n项和对等差数列、等比数列，求前n项和S可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。c.用裂项相消法求数列的前n项和裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。d.用错位相减法求数列的前n项和错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{a·b}中，{a}成等差数列，{b}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整n n n n理后即可以求出前n项和。e.用迭加法求数列的前n项和迭加法主要应用于数列{a}满足a=a+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可 n n+1 n把这个式子变成a-a=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出a，从而出。 n nf.用分组求和法求数列的前n项和所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。g.用构造法求数列的前n项和所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。)数列的综合应用高考要求(1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项(2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题知识点归纳a,(n1)1.通项与前n项和的关系：SnanSn1Sn1,(n2)2.迭加累加法：若aaf(n),n(2)，n n1则aaf(2)，aaf(3)，………，aaf(n) 2 1 3 2 n n1aaf(2)f(3)f(n) n 13.迭乘累乘法： a a a a若ng(n)，则2g(2)，3g(3)，………，ng(n)a a a an1 1 2 n1ang(2)g(n)a1 1 1 1 1 a ( )4.裂项相消法：n(AnB)(AnC)CBAnBAnC5.错位相减法：abc,b是公差d≠0等差数列，c是公比q≠1等比数列n n n n nSbcbcbcbcn 11 22 n1n1 nn则qSbcbcbc n 12 n1n nn1所以有(1q)Sbc(ccc)dbcn 11 2 3 n nn16.通项分解法：abcn n n7.等差与等比的互变关系：a成等差数列ban(b>0,b1)成等比数列na成等差数列cad(c0)成等差数列n na成等比数列an0loga成等差数列n bna成等比数列ak成等比数列n n8.等比、等差数列和的形式：a成等差数列aAnBSAn2Bnn n na(q1)成等比数列SA(qn1)(A0)n n9.无穷递缩等比数列的所有项和：a(|q|<1)成等比数列SlimSa1n nn1q题型讲解例1等差数列{a}的首项a>0,前n项和为S,若S=S(m≠k),问n为何值时，S最大？ n 1 n m k n解：根据a成等差数列aAnBSAn2Bn，首项a>0,若m+k为偶数,则当n n n 1n=(m+k)/2时，S最大；n若m+k为奇数，当n=(m+k─1)/2或n=(m+k+1)/2时，S最大n 1 2例2已知关于n的不等式1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)>log(a1)对于一切大于1的自然 12 a 3数n都成立，求a的取值范围解：把1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)看成一个函数f(n),将问题转化为函数f(n)的最小值大于右式∵f(n)＝1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)∴f(n+1)－f(n)＝〔1/(n+2)+1/(n+3)+…+1/(2n+2)〕－〔1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)〕＝1/(2n+2)+1/(2n+1)－1/(n+1)＝1/(2n+1)－1/(2n+2)>0∴f(n+1)>f(n)∴函数f(n)是增函数，故其最小值为f(2)=7/12, 1 2∴7/12>log(a1), 12 a 3解得：1<a<(5+1)/2例3已知数列{a},{b}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p,q,其中p>q且q≠1,p≠1,设 n nSC=a+b,S为数列{C}的前n项和，求limnn n n n n nSn1 S a(q1)(pn1)b(p1)(qn1)解：n1 1 ,以下分两种情况讨论： S a(q1)(pn11)b(p1)(qn11) n1 1 1(1)当p>1时, q 1∵p>q>0,∴0<q/p<1lim()n=0,lim()n=0, np npS两边同除以pn,得：limn=p;nSn1(2)当p<1时,S∵p>q>o,∴0<q<p<1limpn=0,limqn=0,∴limn=1n n nSn1例4如图所示：已知抛物线y=x2,点A的坐标为(1,0),将OA分为n等分，分点为A,A,…A,过 n n 1 2 n─1A,A,…A,A分别作y轴的平行线，分别交抛物线于B,B,B,…B,B,再分别以OA,1 2 n─1 n 1 2 3 n─1 n 1AA,AA,…AA为宽作n个小矩形求n个小矩形的面积之和；求limS(即曲边梯形OAB的12 23 n─1n n nnn面积) 1112 13 1n解：S=••()2•()2•()2nnn2nn nn nn=(n+1)(2n+1)/(6n2);limS=1/3nn本题用极限的思想求曲边梯形的面积，正是高等数学中的思想例5等差数列{a}中，已知公差d≠0,a≠0,设方程ax2+2ax+a=0(r∈N)是关于x的一组方程 n n r r+1 r+2①证明这些方程中有公共根，并求这个公共根；②设方程ax2+2ax+a=0的另一根记为m,证明：数列{1/(m+1)}是等差数列 r r+1 r+2 r r解：①依题意，由{a}是等差数列，有a+a=2a(r∈N),即x=─1时，方程成立，因此方程恒有 n r r+2 r+1实数根x=─1;②设公差为d(化归思想),先解出方程的另一根m=─a/a, r r+2 r∴1/(m+1)=a/(a─a)=─a/(2d), r r r r+2 r∴1/(m+1)─1/(m+1)=〔─a/(2d)〕─〔─a/(2d)〕=─1/2, r+1 r r+1 r∴{1/(m+1)}是等差数列r例6数列{a}的前n项和S=na+(n─1)nb,(n=1,2,…),a,b是常数，且b≠0, n n①求证{a}是等差数列；n②求证以(a,S/n─1)为坐标的点P都落在同一直线上，并求出直线方程； n n n③设a=1,b=1/2,C是以(r,r)为圆心，r为半径的圆(r>0),求使得点P,P,P都落在圆外的r的取 1 2 3值范围a,(n1)证明：①根据SnanSn1Sn1,(n2)得an=a+(n─1)2b,∴{a}是等差数列，首项为a,公比为2bn②由x=a=a+(n─1)2b,y=S/n─1=a+(n─1)bn n两式中消去n,得：x─2y+a─2=0,（另外算斜率也是一种办法）(3)P(1,0),P(2,1/2),P(3,1),它们都落在圆外的条件是： 1 2 3(r─1)2+r2>r2;(r─2)2+(r─1/2)2>r2;(r─3)2+(r─1)2>r2∴r的取值范围是(1,5/2─2)∪(0,1)∪(4+6,+∞)例7已知数列{a}满足条件a=1,a=r(r>0),且{aa}是公比为q(q>0)的等比数列，设b=a+a n 1 2 nn+1 n 2n─1 2n(n=1,2,3,…)①求出使不等式aa+aa>aa(n∈N)成立的q的取值范围； nn+1 n+1n+2 n+2n+31②求b和lim,其中S为数列b的前n项的和；n S n nnnlogb③设r=2192─1,q=05,求数列{2n1}的最大项和最小项的值logb2n解：①rqn─1+rqn>rqn+1,q>00<q<(1+5)/2; aa a b a a aqaqn1n2n2qn12n1 2n22n1 2n=q≠0aa a b a a a a nn1 n n 2n1 2n 2n1 2n∴{b}是首项为1+r,公比为q的等比数列，从而b=(1+r)qn─1, n n1当q=1时，S=n(1+r),lim=0;n nSn1当0<q<1时，lim=(1─q)/(1+r);nSn1当q>1时，lim=0;nSnlogb 19.2n2n1=f(n)==1+1/(n─202),logb20.2n2n当n21时，f(n)递减，∴f(n)f(21)1<f(n)225;当n20时，f(n)递减，∴f(n)f(20)1>f(n)─4; logb logb∴当n=21时，2n1有最大值225;当n=20时，2n1有最小值─4logb logb 2n 2n例8一个水池有若干出水相同的水龙头，如果所有的水龙头同时放水，那么24分钟可注满水池，如果开始时全部开放以后隔相等