隐函数定理附其应用

11一、证明题证明:设方程F(x,y)=0所定的隐函数y=f(x)具有二阶导数,则当时有设

yyvsinx

证明:当

0

2

,y>0时可以用来作为曲线坐标;出作为的数;出xy平上u=1,v=2所应的坐标曲;计算数.

和并验证它们互为倒x,yv将以下式子中的变换成球面从标222u

的形式:u

u

证明对任意常数,

球面

2y2锥22tg2

是交试证明函数

F

的梯度恰好是F的值线在点P

0

的向(设有续阶偏导数证明:在n个数的和为定值条件x+x++x12n下这n个数的乘积xxx…的大值为12

nn

并由此结果推出n个数的几何中值不大于术中值.n

x1n

xx

n二计算题．方程能否原点的某邻域内确定隐函数或方程在点(的某邻域内能否确定出一个变量为另外两个变量的函求下列方程所确定的隐函数的偏导:(1)x+y+z=,Zx,y的一阶与二阶偏导数;/

y(2)F(x,x+y,x+y+z)=0,求和y设f是元函数,问应对f提什么条方2f(xy)=f(x)+f(x)在(1,1)邻域内就能确定唯一的y为x的函数试论方程组

2

x2在(1,－1,2)附近能否确定形如的函数组.求列方程组所确定的隐函数组的导数:

222

2

求;

xy

22

22

求

,

ufvvy

求

.求列函数组所确定的反函数组的偏导:

xy

uu

v,

求

,,y

;

xv,

y2v2

3

求

x

设数由程组x

uv

为量)定义的函,求u=0,v=0时dz.设为新的自变量变换下列方:

xy设ulnx

2

2

v

yx

;

y

设xy,

xy

设数由方程组/

222222所确定求

和10.设

u

v,r2r2r2

其

r

2

y

2

2

(1)求以u,v,w为自变量的反函数组(2)算

11.平面曲线

y

23

23

切线方程,并明这些切线被坐标轴截取的线段长12.求下列曲线在所示点处的切线方程与法平:

x2t

ybsincost

2t

在点

t

4

;

2x

3y

.

3x

y

在(－13.求下列曲线在所示点处的切平面与切:

2x

0

在点(1,1,2);

xy2ac,点(,bc3314.求曲面上过点

2y

21

的切平面使它平行于平面

x6z0

15.在曲线x=t,

t

z

上求出一,曲线在此点处的切线平行于平面16.求函数

u

x

xy

在点M(1,2,2)处沿曲线x=t,

在点线方上的方向导17.确定正数使曲面xyz球面

x2y2z222

在某一点相切.18.求曲面

2

的切平面使垂直于平面

12

z和x

19.求两曲面的线在xy平上投影曲线的切线方程.20.应用拉格朗日乘数法求列函数的条件极:(1)f(x,y)=

y2

若x+y-1=0/

4(2)f(x,y,z,t)=x+y+z+t,若xyzt=c(其中x,y,z,t>0,c>0);4(3)f(x,y,z)=xyz,

2

21.(1)求表面积一定而体积最大的长方.(2)体积一定而表面积最小的长方22.(1)求空间一点

,0

到平面的短距离.(2)原点到二平面

axyzd1

axyczd

的线最距离23.设a,a,…,a为已知的正数求1nfx2

=

axk

k

在限制条件k

下的最大值24.求数

fx2n

x

在条件

a

k

xk

0,kk

下的最小k三考研复习题方

=0在些点的邻域内可唯一地确定连续可导的隐函数

f设数f(x)在间a,b)内连函数

而

问在怎样的条件下,方程

能确定函数y=

并研究例子:(Ⅱ)

2x

设求

dydxdx已(x,y,z),f(x,y)都可微的f(x,y)),(i=1,2)12ii

证明

=

1xGG1x1yGG2x2y

设x=f(u,v,w),y=g(u,v,w),z=h(u,v,w).求

,/

2223xxy2223xxy试下列方程所确定的函数的偏导数

:(1)x+u(2)u=f(x+u,yu)据说明在点(0,1)近傍是否存在连续可微的f(x,y)和满－且

+xg(x,y)-y=0,

设

y,

满足方程组f这里所有的函数假定有连续的导数说出一个能在该点邻域内确定作u的数的充分条;在的情形下上述条件相当于什?求列由方程所确定的陷函数的极:

22y2

10.设f=F(x)一组函数

x

y

d2vdy2y函v=v(u).试用u,v，表示，dududxdx试证:二次型f

Cz

2Ezx2Fxy

在单位球面

上最大和最小值恰是矩阵

A

FBDDC的大特征值和小特征值/

12.设自然,

x,y

用条件极值方法证明:

x

n

2

n

213.求椭球

xy2z2