名师教案 人教B版高中数学必修第四册11.2 平面的基本事实与推论

11.2平面的基本事实与推论本节课是必修2《立体几何初步》的第二大节内容，主要内容是平面的三个基本性质和推论。平面的基本性质是研究空间图形性质的理论基础，也是以后演绎推理的逻辑依据，是进一步学习立体几何其他知识的基础和关键，也是学生已有的平面几何观念的拓展，可以对学生的知识结构进行顺应性的建构，通过这些内容的教学，使学生掌握从整体到局部的研究方法，初步了解从具体的直观想象到严格的数学表述形式，使学生的思维从直觉上升到分析思维，因此，掌握平面的三个基本性质至关重要.通过本节课的学习，要求学生理解和掌握平面的三个基本性质，并能用图形语言和符号语言表示，通过实物模型和多媒体进行直观教学，培养学生的观察能力和空间形象能力，通过应用性质进行一些简单的分析和判断，培养学生的观察能力和空间想象能力，通过应用性质进行一些简单的分析和判断，培养逻辑思维能力.考点教学目标核心素养平面的基本事实和推论了解平面的基本事实与推论，能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实和三个推论，理解三个基本事实和三个推论的地位与作用直观想象、数学抽象、逻辑推理平面的基本事实和推论的应用会用平面的基本事实正面点共线、线共点、点线共面三个典型问题，熟悉符号语言、文字语言、图形语言之间的转换直观想象，逻辑推理【教学重点】平面的基本事实和推理【教学难点】符号语言、文字语言、图形语言之间的转换引入：在初中几何中，观察得到了如下的点与直线的基本事实：（1）连接两点的线中，线段最短；（2）过两点有一条直线，并且只有一条直线.结论（2）也可以简单地说成“两点确定一条直线”，事实上，通过指定的一个点可以作无数条直线，通过指定的三个点，不一定能作一条直线。问题1：平面的基本事实基本事实1：文字表示：经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面.符号表示：A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α图形表示：注：（1）可以简单地说成“不共线的3点确定一个平面”(2)过不共线的3点A，B，C的平面，通常记作平面ABC，用图像直观地表示平面时，为了增加立体感，习惯上讲平面用平行四边形表示.(3)如图的平面可以看成由不共线的3点A，B，C确定的，此时显然有： (4)如果给定的3个点同在一直线上，那么有无数个平面通过这3个点，也就是说，此时这三个点不能“确定”一个平面，例如，如果给定的3个点都在长方体的一条棱上，那么过这三个点就会有无数个平面.作用：①确定平面的依据；②判定点、线共面基本事实2：文字表示：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.符号表示：A∈α，B∈α⇒AB⊂α图形表示：作用：①判定直线是否在平面内；②判断一个面是否是平面

注：基本事实2可以作为判断一个面是否是平面的依据：如果一个面内的任意两点所确定的直线都在这个平面内，那么这个面就是平面。例如，球面不是一个平面，因为球面上任意两点所确定的直线中，只有两个点在球面上.基本事实3：文字表示：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号表示：P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l图形表示：注：（1）基本事实3说明，两个不重合的平面，只要有一个公共点，就一定有无数个公共点，而且这无数个公共点能构成一条直线，这条直线通常也称为两个平面的交线，如图所示，有；（2）在画两个平面相交时，其中一个平面被另一个平面遮住的部分应该画出虚线或不画，如图所示；（3）根据基本事实3可知，棱柱中，有公共棱的两个面所在的平面一定是相交的，而且公共棱是交线的一部分.作用：①判定两个平面相交的依据；②判定点在直线上【对点快练】1．下列说法正确的是()A．三点可以确定一个平面B．若直线上有一个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内C．把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面相交于一点D．如果两个平面有三个不共线的点，那么这两个平面重合答案：DA错误，不共线的三点可以确定一个平面；B错误，直线上的两个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内；C错误，三角板所在平面与桌面所在平面相交于一条直线；D正确，过不共线的三个点有且只有一个平面．2．若A∈平面α，B∈平面α，C∈直线AB，则()A．C∈α B．C∉αC．AB⊄α D．AB∩α＝C答案：A因为A∈平面α，B∈平面α，所以AB⊂α.又因为C∈直线AB，所以C∈α.问题2：由平面的基本事实得到的推论推论1：文字表示：经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面.符号表示：A∉l⇒存在唯一的平面α，使A∈α，且l⊂α图形表示：注：(1)这是由基本事实1与基本事实2得到的，如图，在直线上取两点，因为，所以3点不共线.由基本事实1可知，确定一个平面，记为，由基本事实2以及可知.(2)推论1可以简单地说成：直线和直线外一点确定一个平面.推论2：文字表示：经过两条相交直线，有且只有一个平面.符号表示：l∩m＝A⇒存在唯一的平面α，使l⊂α，且m⊂α图形表示：推论3：文字表示：经过两条平行直线，有且只有一个平面符号表示：l∥m⇒存在唯一的平面α，使l⊂α，且m⊂α图形表示：注：（1）推论2与推论3可以分别简单地说成“两条相交直线确定一个平面”，“两条平行直线确定一个平面”。（2）推论2可以说明，三角形是平面图形，因此初中有关三角形全等，相似，以及前面我们学习的解三角形等结论，在空间中也是成立的。（3）推论3可以说明平行四边形，梯形也是平面图形，初中有关平行四边形、梯形的判定与性质等结论，在空间中也成立.【对点快练】1．下列说法不正确的是()A．三角形是平面图形B．一条直线和一个点可以确定一个平面C．平行四边形是平面图形D．初中学习的梯形的判断与性质等结论，在空间中仍然成立答案：BA正确，利用推论2可以说明三角形是平面图形；B错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面；C正确，利用推论3可以说明平行四边形是平面图形；D正确，因为梯形是平面图形．2．经过空间任意三点作平面()A．只有一个 B．可作二个C．可作无数多个 D．只有一个或有无数多个答案：D当三点在一条直线上时，过这三点的平面能作无数个；当三点不在同一条直线上时，过这三点的平面有且只有一个．例1.用符号语言表示下列语句，并画出图形：(1)三个平面α、β、γ相交于一点P，且平面α与平面β交于PA，平面α与平面γ交于PB，平面β与平面γ交于PC；(2)平面ABD与平面BCD相交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC．[分析]根据条件，适当确定其中的某一个平面，然后根据点、线、面的位置关系，将其附着于固定平面上，注意图形的立体感，要将被遮挡部分用虚线表示．解(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC．用图形表示如图①.(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC．图形表示如图②.【变式练习】A、B、C表示不同的点，n，l表示不同的直线，α，β表示不同的平面，下列推理表述不正确的是()A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈β，B∈α⇒α∩β＝直线ABC．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α与β重合D．l⊄α，A∈l⇒A∉α答案：DA是基本事实2，故A正确；B是基本事实3，故B正确；C是基本事实1，故C正确；当l⊄α，A∈l时，也有可能A∈α，如l∩α＝A，故D不正确．例2.证明：两两相交且不过同一个点的3条直线必在同一个平面内.证明：设直线两两相交，交点分别是显然，3点不共线，因此它们能确定一个平面.因为那么直线同理即直线都在平面内.【变式练习1】已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面．证明法一：如图所示．由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l⊂α.即过a，b，l有且只有一个平面．法二：∵a∥b，∴过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，则过a与l有且只有一个平面β.∴a⊂α，a⊂β，B∈α，B∈β，又∵B∉a，∴平面α与β重合．即过a，b，l有且只有一个平面．【变式训练2】如图，已知E，F，G，H分别是四面体A－BCD的棱AB，BC，CD，DA的中点．求证：E，F，G，H四点共面．证明在△ABD中，∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH∥BD．同理FG∥BD，则EH∥FG.故E，F，G，H四点共面．例3.如图所示的正方体中，E是棱上的一点，试说明3点确定的平面与平面相交，并画出这两个平面的交线.解：因为面，面ABCD所以面，即面与面相交。延长与，设它们相交于F，如图所示，则：直线，直线面，直线，直线面，则面面，从而为面与面的交线，如图所示.【变式练习】如图所示，在正方体中．画出平面与平面及平面与平面的交线．解答：如图，∵，，∴平面，平面．又平面，平面．∴平面平面．同理平面平面．例4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线．证明∵MN∩EF＝Q，∴Q∈直线MN，Q∈直线EF.又∵M∈直线CD，N∈直线AB，CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴M，N∈平面ABCD，∴MN⊂平面ABCD．∴Q∈平面ABCD．同理，可得EF⊂平面ADD1A1，∴Q∈平面ADD1A1.又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，∴Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线．【变式练习】如图，E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的AB、BC、CD、DA边上的点，且直线EH与直线FG交于点O.求证：B、D、O三点共线．证明∵E∈AB，H∈AD，∴E∈平面ABD，H∈平面ABD，∴EH⊂平面ABD．∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD．同理O∈平面BCD，即O∈平面ABD∩平面BCD，∴O∈BD，即B、D、O三点共线．例5.如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点．证明因为梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的两腰，所以AB，CD必定相交于一点．如图，设AB∩CD＝M.又因为AB⊂α，CD⊂β，所以M∈α，且M∈β，所以M∈(α∩β)．又因为α∩β＝l，所以M∈l，即AB，CD，l共点．【变式练习】如图所示，已知四面体A－BCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且eq\f(BG,GC)＝eq\f(DH,HC)＝2.求证：直线EG，FH，AC相交于同一点．证明∵E，F分别是AB，AD的中点，∴EF∥BD且EF＝eq\f(1,2)BD．又∵eq\f(BG,GC)＝eq\f(DH,HC)＝2，∴GH∥BD且GH＝eq\f(1,3)BD，∴EF∥GH且EF>GH，∴四边形EFHG是梯形，其两腰所在直线必相交，设两腰EG，FH的延长线相交于一点P，∵EG⊂平面ABC，FH⊂平面ACD，∴P∈平面ABC，P∈平面ACD，又∵平面ABC∩平面ACD＝AC，∴P∈AC，故直线