2022年河南省商丘市程楼第二中学高三数学文上学期期末试卷含解析

2022年河南省商丘市程楼第二中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若集合,,那么(

)A.

B.

C.

D．参考答案：D略2.定义在区间(－∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间［0，+∞)的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0,给出下列不等式：①f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)

②f(b)－f(－a)<g(a)－g(－b)③f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a)

④f(a)－f(－b)<g(b)－g(－a)其中成立的是(

)A.①与④

B.②与③

C.①与③

D.②与④参考答案：C略3.已知函数f（x）=，若f（a）=f（1），则实数a的值等于（）A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1参考答案：C【考点】分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系；函数与方程的综合运用．【分析】利用分段函数列出方程求解即可．【解答】解：函数f（x）=，若f（a）=f（1），当a＞0时，2a﹣1=1，可得a=1．当a≤0时，a+1=2﹣1，解得a=0，则实数a的值等于0或1．故选：C．4.设，则“”是“”的A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：若，则知即所以即；令，满足，但.所以是的充分而不必要条件.选.5.在△ABC中，D为BC中点，O为AD中点，过O作一直线分别交AB、AC于M、N两点，若（），则(

)A.3 B.2 C.4 D.参考答案：C【分析】根据向量的线性运算，得，利用共线向量的条件得出，化简即可得到的值，即可求解.【详解】在中，为中点，为的中点，若，所以，，因为，所以，即，整理得，故选C.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算性质，以及向量的共线定理和三角形的重心的性质的应用，其中解答中熟记向量的线性运算，以及向量的共线定理的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.已知集合，，且，那么的值可以是（）A．

B．

C．

D．参考答案：D略7.已知是偶函数，且当x≥2时A．{x|0<x<4}

B．{x|-2<x<2}

C．{x|2<x<6}

D．{x|-4<x<0}参考答案：D8.已知函数，下面四个结论中正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）的图象关于直线对称C．函数f（x）的图象是由y=2cos2x的图象向左平移个单位得到D．函数是奇函数参考答案：D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法；余弦函数的奇偶性；余弦函数的对称性．【专题】计算题．【分析】由f（x）=2cos（2x+）可求得周期T=π，从而可判断A的正误；将代入f（x）=2cos（2x+）可得f（）的值，看是否为最大值或最小值，即可判断B的正误；y=2cos2x的图象向左平移个单位得到y=2cos2（x+）=2cos（2x+），显然C不对；f（x+）=2cos（2x+）=﹣2sinx，可判断D的正误．【解答】解：∵f（x）=2cos（2x+），故周期T=π，可排除A；将代入f（x）=2cos（2x+）可得：f（）=2cos=0≠±2，故可排除B；y=2cos2x的图象向左平移个单位得到y=2cos2（x+）=2cos（2x+），故可排除C；f（x+）=2cos（2x+）=﹣2sinx，显然为奇函数，故D正确．故选D．【点评】本题考查余弦函数的奇偶性与对称性及其周期的求法，关键是熟练掌握三角函数的性质，易错点在于函数图象的平移变换的判断，属于中档题．9.（5分）如图是函数图象的一部分，对不同的x1，x2∈[a，b]，若f（x1）=f（x2），有，则（）A．f（x）在上是减函数B．f（x）在上是减函数C．f（x）在上是增函数D．f（x）在上是减函数参考答案：C【考点】：正弦函数的图象．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，求得a+b=﹣φ，再根据f（a+b）=2sinφ=，求得φ的值，可得f（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性得出结论．

解：由函数图象的一部分，可得A=2，函数的图象关于直线x==对称，∴a+b=x1+x2．由五点法作图可得2a+φ=0，2b+φ=π，∴a+b=﹣φ．再根据f（a+b）=2sin（π﹣2φ+φ）=2sinφ=，可得sinφ=，∴φ=，f（x）=2sin（2x+）．在上，2x+∈（﹣，），故f（x）在上是增函数，故选：C．【点评】：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，正弦函数的单调性，属于中档题．10.若复数为纯虚数,则的值为A.1

B.

C.

D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数，则______．参考答案：1【分析】根据自变量范围代入对应解析式，即得结果.【详解】根据题意，，则；故答案为：1．【点睛】本题考查分段函数求值，考查基本分析求解能力，属基础题.12.已知变量x，y满足，则的取值范围是__________．参考答案：[，]考点：简单线性规划．专题：数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用．分析：作出可行域，变形目标函数可得=1+表示可行域内的点与A（﹣2，﹣1）连线的斜率与1的和，数形结合可得．解答：解：作出所对应的区域（如图阴影），变形目标函数可得==1+，表示可行域内的点与A（﹣2，﹣1）连线的斜率与1的和，由图象可知当直线经过点B（2，0）时，目标函数取最小值1+=；当直线经过点C（0，2）时，目标函数取最大值1+=；故答案为：[，]点评：本题考查简单线性规划，涉及直线的斜率公式，准确作图是解决问题的关键，属中档题13.已知公比为q的等比数列{an}，满足a1+a2+a3=﹣8，a4+a5+a6=4，则=

．参考答案：﹣考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意和等差数列的求和公式可得（1﹣q3）=﹣8，q3（1﹣q3）=4，整体求解可得．解答：解：由题意可得a1+a2+a3=（1﹣q3）=﹣8，①a4+a5+a6=[（1﹣q6）﹣（1﹣q3）]=q3（1﹣q3）=4，②由①②可得q3=，代入①可得（1+）=﹣8，∴=﹣，故答案为：﹣点评：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，涉及整体代入的思想，属基础题．14.已知，，且，则cos=

．参考答案：略15.函数的最小正周期为．参考答案：16.由5个元素的构成的集合M={4，3，﹣1，0，1}，记M的所有非空子集为M1，M2，…，Mn，每一个Mi（i=1，2，…，31）中所有元素的积为mi（若集合中只有一个元素时，规定其积等于该元素本身），则m1+m2+…+m33=．参考答案：﹣1考点：集合中元素个数的最值．专题：计算题；集合；二项式定理．分析：方法一：若非空子集中含有元素0，则其所有元素的积为0；从而转化为集合{4，3，﹣1，1}的所有非空子集中所有元素的积的和，再一一列举求和即可；方法二：由二项式的推导思想可知，m1+m2+…+m31=（1+4）（1+3）（1﹣0）（1﹣1）（1+1）﹣1=﹣1．解答：解：方法一：若非空子集中含有元素0，则其所有元素的积为0，所以可转化为集合{4，3，﹣1，1}的所有非空子集中所有元素的积的和，①当子集中有1个元素时，4+3+1﹣1=7，②当子集中有2个元素时，4×3+4×（﹣1）+4×1+3×（﹣1）+3×1+（﹣1）×1=11，③当子集中有3个元素时，+++=﹣7，④当子集中有4个元素时，4×（﹣1）×3×1=﹣12；故m1+m2+…+m31=7+11﹣7﹣12=﹣1；方法二：由题可得，m1+m2+…+m31=（1+4）（1+3）（1﹣0）（1﹣1）（1+1）﹣1=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了集合的子集的求法及二项式的应用，属于基础题．17.执行如图2的程序框图，如果输入的N的值是6，那么输出的p的的值是

。参考答案：105略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）在△中，角，，对应的边分别是，，.已知.（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△的面积，，求的值.参考答案：19.（本小题满分14分）在长方体中，，点在棱上，且．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）在棱上是否存在点，使∥平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求棱的长．参考答案：证明：（Ⅰ）在长方体中，因为面，所以．

……2分在矩形中，因为，所以．所以面．………………4分（Ⅱ）如图，在长方体

中，以为原点建立空间直角坐标系．依题意可知，，

，设的长为，则，．假设在棱上存在点，使得∥平面．设点，则，．易知．设平面的一个法向量为，则，即．………………7分令得，，所以．因为∥平面，等价于且平面．得，所以．所以，，所以的长为．………………9分（Ⅲ）因为∥，且点，所以平面、平面与面是同一个平面．由（Ⅰ）可知，面，所以是平面的一个法向量．

………………11分由（Ⅱ）可知，平面的一个法向量为．因为二面角的余弦值为，所以，解得．故的长为．

…………14分20.若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数g(x)＝f(x)－k有三个零点，求实数k的取值范围．

参考答案：解：(1)由题意可知f′(x)＝3ax2－b，于是解得故所求的解析式为f(x)＝x3－4x＋4.(2)由(1)可知f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表所示：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)增减－增因此，当x＝－2时，f(x)有极大值；当x＝2时，f(x)有极小值－.图（略）．故要使g(x)＝f(x)－k有三个零点，实数k的取值范围是－＜k＜.

21.海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商品的数量（单位：件）如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．地区ABC数量50150100（Ⅰ）求这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；（Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．参考答案：考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）先计算出抽样比，进而可求出这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；（Ⅱ）先计算在这6件样品中随机抽取2件的基本事件总数，及这2件商品来自相同地区的事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．解答： 解：（Ⅰ）A，B，C三个地区商品的总数量为50+150+100=300，故抽样比k==，故A地区抽取的商品的数量为：×50=1；B地区抽取的商品的数量为：×150=3；C地区抽取的商品的数量为：×100=2；（Ⅱ）在这6件样品中随机抽取2件共有：=15个不同的基本事件；且这些事件是等可能发生的，记“这2件商品来自相同地区”为事件A，则这2件商品可能都来自B地区或C地区，则A中包含=4种不同的基本事件，故P（A）=，即这2件商品来自相同地区的概率为．点评：本题考查的知识点是分层抽样，古典概型概率计算公式，难度不大，属于基础题．22.已知函数．⑴讨论f(x)的单调性；⑵若f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：（1）函数的定义域为，，------------------------------2分①若，则，在单调递增；-----------------------------------------3分②若，则由得．当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增；-----------------------------------------5分③若，则由得．当时，；当时，，故在单调递减，在单调递增．--------------------