江苏省蒋垛中学2022届高三上学期期中调研测试

2022-2022学年度高三期中调研测试数学试题命题单位：姜堰市蒋垛中学一：填空题1、设集合M={－1，1，N={x|＜＜4，，则MN=。2、已知是实数，是纯虚数，则__________。3、直线，则∥的充要条件是。4、如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前个小组的频率之比为，第小组k≥-3k≥-3？/开始k1S0SS–2kkk-1结束输出SYN5、已知=。6、如图，运行该流程图的结果是___________。7、一个靶子上有10个同心圆，半径依次为1、2、……、10，击中由内至外的区域的成绩依次为10、9、……、1环，则不考虑技术因素，射击一次,在有成绩的情况下成绩为10环的概率为。8、已知是直线，是平面，给出下列命题：①若，，则或；②若，，则；③若不垂直于，则不可能垂直于内无数条直线；④若，且，则且.其中正确的命题序号为.9、已知实数、满足，则的最小值为.10、过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的焦点垂直于x轴的弦长为eq\f(a,2)，则双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的离心率为____________．11、已知，为坐标原点，在第二象限，且，，则实数的值为_______.12、设，，，，则=。13、设函数，若函数在区间（0，1）上单调递增，且方程的根都在区间内，则b的取值范围是．14、设函数，若函数的最大值是M，最小值是m，则M+m=________.二：解答题15、已知函数．（1）求函数的最小值和最小正周期；（2）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且，若，求a，b的值．16、如图，平行四边形中，，正方形所在的平面和平面垂直，是的中点，是的交点.（1）求证：平面；（2）求证：平面.17、国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值y(美元)与其重量x(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元．（1）写出y关于x的函数关系式;（2）若把一颗钻石切割成重量比为1∶3的两颗钻石，求价值损失的百分率；（3）把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试证明：当m=n时，价值损失的百分率最大．(注：价值损失的百分率=×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计)18、已知⊙过点,且与⊙:关于直线对称.(Ⅰ)求⊙的方程；(Ⅱ)设为⊙上的一个动点,求的最小值；(Ⅲ)过点作两条相异直线分别与⊙相交于,且直线和直线的倾斜角互补,为坐标原点,试判断直线和是否平行?请说明理由.19、已知数列{an}的通项公式为an=eq\f(23n+2,3n–1)(nN).(1)求数列{an}的最大项；(2)设bn=eq\f(an+p,an–2)，试确定实常数p，使得{bn}为等比数列；(3)设，问：数列{an}中是否存在三项，，，使数列，，是等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由.20、已知函数f(x)＝x3－3ax(a∈R)，函数g(x)＝lnx.(1)当a＝1时，求函数f(x)在区间[－2,2]上的最小值；(2)若在区间[1,2]上f(x)的图象恒在g(x)的图象的上方(没有公共点)，求实数a的取值范围；(3)当a＞0时，设h(x)＝|f(x)|，x∈[－1,1]，求h(x)的最大值F(a)的解析式.2022-2022学年度高三期中调研测试数学试题参考答案一：填空题1、{-1}2、13、4、405、6、107、8、②④9、10、eq\f(\r(5),2)11、112、22022–113、14、1二：解答题15、解：（1）， （3分） 则的最小值是－2， （4分） 最小正周期是； （6分）（2），，，（8分），由正弦定理，得，①（10分）由余弦定理，得，②由①②解得．（14分）16、证明：（1）是的交点，∴是中点，又是的中点，∴中，，------------------------3分，∴，又∵∴平面-----------------------7分（2）平面平面，交线为，∵，∴平面，--------------------10分∴，又∵，∴----------------------14分17、（1）依题意设，……………2分，故．……………4分（2）设这颗钻石的重量为克拉，由(Ⅰ)可知，按重量比为l∶3切割后的价值为.价值损失为．………………6分价值损失的百分率为∴价值损失的百分率为％．……9分（3）证明：价值损失的百分率应为，等号当且仅当m=n时成立.即把一颗钻石切割成两颗钻石，当两颗钻石的重量相等时，价值损失的百分率达到最大.………………14分18、解:(1)设圆心,则,解得……………(3分)则圆的方程为,将点的坐标代入得,故圆的方程为……(5分)(2)设,则,且…(7分)==,所以的最小值为…(10分)(3)由题意知,直线和直线的斜率存在,且互为相反数,故可设,,由,得…………(11分)因为点的横坐标一定是该方程的解,故可得…………(13分)同理,,所以=所以,直线和一定平行……(15分)19、解（1）由题意an=2+eq\f(4,3n–1),随着n的增大而减小,所以{an}中的最大项为a1=4.…4分（2）bn=eq\f(2+eq\f(4,3n–1)+p,eq\f(4,3n–1))=eq\f((2+p)(3n–1)+4,4)=eq\f((2+p)3n+(2–p),4)，若{bn}为等比数列，则beq\o\al(\s\up2(2),n+1)–bnbn+2=0(nN)所以[(2+p)3n+1+(2–p)]2–[{2+p)3n+(2–p)][(2+p)3n+2+(2–p)]=0(nN)，化简得(4–p2)(2·3n+1–3n+2–3n)=0即–(4–p2)·3n·4=0,解得p=±2.…………7分反之,当p=2时,bn=3n,{bn}是等比数列;当p=–2时,bn=1,{bn}也是等比数列.所以,当且仅当p=±2时{bn}为等比数列.…………10分（3）因为，，，若存在三项，，，使数列，，是等差数列，则，所以=，…………12分化简得（*），因为，所以，，所以，，（*）的左边，右边，所以（*）式不可能成立，故数列{an}中不存在三项，，，使数列，，是等差数列.…………16分20、解：(1)当a＝1时，f′(x)＝3x2－3，(1分)由f′(x)＝0得x＝±1.列表：x－2(－2，－1)－1(－1,1)1(1,2)2f′(x)＋0－0＋f(x)－2递增2递减－2递增2(3分)所以f(x)min＝f(－2)＝f(1)＝－2.(4分)(2)因为在区间[1,2]上f(x)的图象恒在g(x)的图象的上方，所以x3－3ax＞lnx在[1,2]上恒成立，即3a＜x2－eq\f(lnx,x)在[1,2]上恒成立．(6分)设m(x)＝x2－eq\f(lnx,x)，则m′(x)＝2x－eq\f(1－lnx,x2)＝eq\f(2x3＋lnx－1,x2).∵2x3－1＞0，lnx≥0，∴m′(x)＞0，∴m(x)在[1,2]上单调递增．∴m(x)min＝m(1)＝1，(9分)∴3a＜1，即a＜eq\f(1,3).(10分)(3)因为h(x)＝|f(x)|＝|x3－3ax|在[－1,1]上是偶函数，故只需要求在[0,1]上的最大值．由f′(x)＝3x2－3a＝3(x＋eq\r(a))(x－eq\r(a))．当eq\r(a)≥1，即a≥1时，h(x)＝|f(x)|＝－f(x)，此时h(x)在[0,1]上单调递增．∴F(a)＝－f(1)＝3a－1.(12分)②当0＜eq\r(a)＜1，即0＜a＜1时，f(x)在[0，eq\r(a)]上递减，在[eq\r(a)，1]上递增．1°当f(1)＝1－3a≤0，即eq\f(1,3)≤a＜1时，h(x)＝－f(x)，∴F(a)＝－f(eq\r(a))＝2aeq\r(a)；(13分)2°当f(1)＝1－3a＞0，即0＜a＜eq\f(1,3)时，a)当－f(eq\r(a))≤f(1)即0＜a≤eq\f(1,4)时，F(a)＝f(1)＝1－3a；b)当－f(eq\r(a))＞f(1)即eq\f(1,4)＜a＜eq\f(1,3)时，F(a)＝－f(eq\r(a))＝2aeq\r(a).(15分)综上F(a)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－3a，0＜a≤\f(1,4),2a\r(a)，\f(1,4)＜a＜1,3a－1，a≥1))(16分)2022-2022学年度高三期中调研测试数学附加题1.已知a，b是实数，如果矩阵M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2a,b1))所对应的变换将直线x－y＝1变换成x＋2y＝1，求a，b的值．2.在极坐标系下，已知圆O：和直线．（1）求圆O和直线的直角坐标方程；（2）当时，求直线与圆O公共点的一个极坐标．3.甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是，，，能通过面试的概率分别是，，．（1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；（2）设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为，求随机变量的期望．4.动点P在x轴与直线l：y＝3之间的区域（含边界）上运动，且点P到点F（0，1）和直线l的距离之和为4．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）过点Q（0，－1）作曲线C的切线，求所作的切线与曲线C所围成的区域的面积．2022-2022学年度高三期中调研测试数学附加题参考答案1.解：设点(x，y)是直线x－y＝1上任意一点，在矩阵M的作用下变成点(x′，y′)，则eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2a,b1))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2x＋ay，,y′＝bx＋y.))(4分)因为点(x′，y′)在直线x＋2y＝1上，所以(2＋2b)x＋(a＋2)y＝1，(6分)于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋2b＝1，,a＋2＝－1，))(8分)解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝－\f(1,2).))(10分)2.解：（1）圆O：，即，圆O直角坐标方程为：，…………3分直线，即，则直线的直角坐标方程为：；……6分（2）由得故直线与圆O公共点的一个极坐标为．……10分3.解：（1）分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件、、；表示事件“恰有一人通过笔试”，则；--------------5分（2）解法一：因