2022-2023学年江苏省南京市第四十二中学高一数学理下学期期末试题含解析

2022-2023学年江苏省南京市第四十二中学高一数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设O是正方形ABCD的中心，则向量是（）A、相等的向量B、平行的向量C、有相同起点的向量D、模相等的向量

参考答案：D2.420°是第几象限角（）A．第一 B．第二 C．第三 D．第四参考答案：A【考点】G3：象限角、轴线角．【分析】先将420°写成360°的整数倍加上一个0°到360°范围的角，再由此角的终边位置和象限角的定义进行判断．【解答】解：420°=60°+360°则420°角与60°角的终边相同，即是第一象限角，故选：A．3.函数y=的值域是 （

）

A．(－∞，－1)∪(－1，＋∞)

B．(－∞，1)∪(1，＋∞)

C．(－∞，0)∪(0，＋∞)

D．(－∞，0)∪(1，＋∞)参考答案：B略4.设，则的大小关系是（

）A．

B．C．

D．参考答案：D略5.已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如图，那么不等式的解集是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C6.已知x为实数，则“”是“x＞1”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；其他不等式的解法．【分析】解分式不等式“”，可以求出其对应的x的范围，进而判断出“”?“x＞1”与“x＞1”?“”的真假，进而根据充分条件和必要条件的定义，得到答案．【解答】解：当“”时，“x＞1或x＜0”，即“”?“x＞1”不成立即“”是“x＞1”的不充分条件；当“x＞1”时，“”成立即“”是“x＞1”的必要条件；故“”是“x＞1”的必要不充分条件；故选B7.从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C略8.已知等差数列中，则（）A.10 B.16 C.20 D.24参考答案：C分析】根据等差数列性质得到，再计算得到答案.【详解】已知等差数列中，故答案选C【点睛】本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型.9.已知向量满足，，，则=（）A.3 B.5 C.6 D.7参考答案：C【分析】根据向量的模即可求出．【详解】∵，∴，即14=9+16+，∴=-11．∴=9+16+11=36，∴，故选：C．【点睛】本题考查了向量的模的计算，属于基础题．10.函数y=3﹣x（﹣2≤x≤1）的值域是（）A．[3，9] B．[，9] C．[，3] D．[，]参考答案：B【考点】指数函数的图象与性质．【分析】根据指数函数的性质求出函数的单调性，求出函数的值域即可．【解答】解：函数y=3﹣x在[﹣2，1]递减，故y=3﹣（﹣2）=9，y=3﹣1=，故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有

②对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”。给出下列四个函数中：⑴;

⑵

;⑶

;

⑷，能被称为“理想函数”的有_

_（填相应的序号）。参考答案：(4)12.已知为的边的中点，在所在的平面内有一点，满足，则下列命题正确的有

．①；②是的重心；③和的面积满足；④是的内部.参考答案：①③13.若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是

．参考答案：14.在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,则此三角形的最大内角等于________.参考答案：略15.过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=4，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是．参考答案：12【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|，由双曲线的性质能够推出|PF2|+|QF2|=8，从而推导出△PF2Q的周长．【解答】解：由题意，|PF2|﹣|PF1|=2，|QF2|﹣|QF1|=2∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=4∴|PF2|+|QF2|﹣4=4，∴|PF2|+|QF2|=8，∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=8+4=12，故答案为12．16.，，若，则实数a的值为_______．参考答案：1【分析】由题得，解方程即得的值.【详解】由题得，解之得=1.当=1时两直线平行.故答案为：117.函数=在上的单调减区间为_____/

参考答案：［－,0］，［,π］三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，甲船从A处以每小时30海里的速度沿正北方向航行，乙船在B处沿固定方向匀速航行，B在A北偏西105°方向用与B相距10海里处．当甲船航行20分钟到达C处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的D处，此时两船相距10海里．（1）求乙船每小时航行多少海里？（2）在C的北偏西30°方向且与C相距海里处有一个暗礁E，周围海里范围内为航行危险区域．问：甲、乙两船按原航向和速度航行有无危险？若有危险，则从有危险开始，经过多少小时后能脱离危险？若无危险，请说明理由．参考答案：【考点】解三角形的实际应用．【分析】（1）连接AD，CD，推断出△ACD是等边三角形，在△ABD中，利用余弦定理求得BD的值，进而求得乙船的速度．（2）建立如图所示的坐标系，危险区域在以E为圆心，r=的圆内，求出E到直线BD的距离，与半径比较，即可得出结论．【解答】解：如图，连接AD，CD，由题意CD=10，AC==10，∠ACD=60°∴△ACD是等边三角形，∴AD=10，∵∠DAB=45°△ABD中，BD==10，∴v=10×3=30海里．答：乙船每小时航行30海里．（2）建立如图所示的坐标系，危险区域在以E为圆心，r=的圆内，直线BD的方程为y=x，∠DAB=∠DBA=45°E的坐标为（ABcos15°﹣CEsin30°，ABsin15°+CEcos30°+AC），求得A（5+5，5﹣5），C（5+5，5+5），E（5+，9+5），E到直线BD的距离d1==1＜，故乙船有危险；点E到直线AC的距离d2=＞，故甲船没有危险．以E为圆心，半径为的圆截直线BD所得的弦长分别为l=2=2，乙船遭遇危险持续时间为t==（小时），答：甲船没有危险，乙船有危险，且在遭遇危险持续时间小时后能脱离危险．19.（本小题满分12分）设函数且的图像经过点。（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求函数的最小值及此时值的集合。参考答案：（Ⅰ）∵.所以解得.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

所以，当.

由所以，此时值的集合为

20.如图，建造一个容积为16m3，深为2m，宽为2m的长方体无盖水池，如果池底的造价为120元/m2，池壁的造价为80元/m2，求水池的总造价．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出水池的长，可得底面积与侧面积，利用池底的造价为120元/m2，池壁的造价为80元/m2，即可求水池的总造价．【解答】解：分别设长、宽、高为am，bm，hm；水池的总造价为y元，则V=abh=16，h=2，b=2，∴a=4m，∴S底=4×2=8m2，S侧=2×（2+4）×2=24m2，∴y=120×8+80×24=2880元．21.（本题14分）将函数的图像先向右平移个单位，再向下平移两个单位，得到函数的图像．（1）化简的表达式，并求出函数的表示式；（2）指出函数在上的单调性和最大值；(3)已知，，问在的图像上是否存在一点，使得AP⊥BP.参考答案：（1），∵，即，∴；（2）∵，当时，，（i）当时，，∴，∴为增函数；（ii）当时，，∴，∴为减函数．（3）在图像上存在点，使得，因为，且，所以圆与图像有唯一交点．22.（16分）函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）确定函数的解析式；（2）证明函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．参考答案：考点： 奇偶性与单调性的综合．专题： 函数的性质及应用．分析： （1）根据奇函数性质有f（0）=0，可求出b，由可求得a值．（2）根据函数单调性的定义即可证明；（3）根据函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f”，再考虑到定义域可得一不等式组，解出即可．解答： （1）因为f（x）为（﹣1，1）上的奇函数，所以f（0）=0，即b=0．又f（）=，所以=，解得a=1．所以f（x）=．（2）设﹣1＜x1＜x2＜1，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=，因为﹣1＜x1＜x2＜1，所以x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．所以函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）f