向量的数量积 （含解析）

6.2.4向量的数量积例9已知，，与夹角，求．例10设，，，求与的夹角．练习1.已知，，和的夹角是60°，求．2.已知中，，，当或时，试判断的形状．3.已知，为单位向量，当向量，的夹角分别等于45°，90°，135°时，求向量在向量上的投影向量．例11我们知道，对任意，恒有，．对任意向量，，是否也有下面类似的结论？（1）；（2）．例12已知，，与的夹角为60°，求．例13已知，，且与不共线．当为何值时，向量与相垂直？练习4.已知，，，向量与的夹角为，向量与的夹角为，计算：（1）；（2）．5.已知，，且与互相垂直，求证：.6.求证：．变式练习题7.已知向量与的夹角为，，，分别求在下列条件下的：（1）；（2）；（3）．8.已知，，，求与的夹角．9.已知向量与的夹角为120°，||＝2，||＝3，求：（1）(＋)·(－)；（2）|－|．10.在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，则向量在上的投影向量为（）A. B. C. D.11.已知，，与的夹角为，问：当为何值时，？12.已知，，且与互相垂直，求证：．13.用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形是菱形，，是其对角线．求证：．14.设⊙C半径为r，若A，B两点都是⊙C上的动点，求的最大值．6.2.4向量的数量积例9已知，，与夹角，求．解：．例10设，，，求与的夹角．解：由，得．因为，所以．练习1.已知，，和的夹角是60°，求．【答案】24【解析】【分析】由运算即可得解.【详解】解：．【点睛】本题考查了向量数量积的运算，属基础题.2.已知中，，，当或时，试判断的形状．【答案】钝角三角形或直角三角形．【解析】【分析】由平面向量数量积公式，结合向量夹角的余弦值的符号判断即可得解.【详解】解：当时，有，即，所以为钝角，为钝角三角形；当时，有，即，为直角三角形．故为钝角三角形或直角三角形．【点睛】本题考查了平面向量数量积公式，重点考查了向量夹角的运算，属基础题.3.已知，为单位向量，当向量，的夹角分别等于45°，90°，135°时，求向量在向量上的投影向量．【答案】见解析【解析】【分析】由在上的投影向量为，再将已知条件代入运算即可得解.【详解】解：当时，在上的投影向量为，当时，在上的投影向量为，当时，在上的投影向量为．【点睛】本题考查了向量的投影的运算，重点考查了运算能力，属基础题.例11我们知道，对任意，恒有，．对任意向量，，是否也有下面类似的结论？（1）；（2）．解：（1）；（2）．因此，上述结论是成立的．例12已知，，与的夹角为60°，求．解：．例13已知，，且与不共线．当为何值时，向量与相垂直？解：与互相垂直的充要条件是，．因为，，所以．解得．也就说，当时，与互相垂直．练习4.已知，，，向量与的夹角为，向量与的夹角为，计算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由平面向量的数量积运算及向量的数乘运算即可得解；（2）由平面向量的数量积运算及向量的数乘运算即可得解.【详解】解：（1）；（2）．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算及向量的数乘运算，属基础题.5.已知，，且与互相垂直，求证：.【答案】证明见解析【解析】【分析】根据与互相垂直，可得，结合题设条件，即可证明.【详解】因为与互相垂直，所以，即，因为，，所以，，所以，因为，是非零向量，所以.6.求证：．【答案】证明见解析【解析】【分析】由平面向量的运算性质即可得证.【详解】证明：由左边右边，故等式成立．【点睛】本题考查了平面向量的运算性质，属基础题.变式练习题7.已知向量与的夹角为，，，分别求在下列条件下的：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】（1）根据，代入数值，即可求出结果；（2）因为，所以或，再根据即可求出结果；（3）因为，所以，再根据即可求出结果.【小问1详解】解：因为，，，所以；【小问2详解】解：因为，所以或，当时，；当时，；所以的值为或.【小问3详解】解：因为，所以，所以.8.已知，，，求与的夹角．【答案】【解析】【分析】利用向量的夹角公式即可求解.【详解】因为，所以，因为，所以.9.已知向量与的夹角为120°，||＝2，||＝3，求：（1）(＋)·(－)；（2）|－|．【答案】（1）－5.（2）.【解析】【分析】（1）根据向量的数量积运算得(＋)·(－)＝2－2可求得答案；（2）根据向量数量积的定义求得，再根据向量数量积的运算律求得|－|2，由此可求得答案.【小问1详解】解：因为向量与的夹角为120°，||＝2，||＝3，所以(＋)·(－)＝2－2＝－5．【小问2详解】解：因为向量与的夹角为120°，||＝2，||＝3，所以，所以|－|2＝(－)2＝2－2·＋2＝19，所以|－|＝．10.在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，则向量在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先画出图形，根据投影的几何意义，计算结果.【详解】由余弦定理可知，，，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，是等腰三角形，是中点，，由图可知向量在上的投影向量为，.故选：B【点睛】本题考查向量的投影，重点考查数形结合分析问题，属于基础题型.11.已知，，与的夹角为，问：当为何值时，？【答案】.【解析】【分析】根据数量积的定义可得的值，再利用数量积的定义和性质计算即可求解.【详解】因为，，与的夹角为，所以，若，则，即，所以，所以，可得：.12.已知，，且与互相垂直，求证：．【答案】证明见解析【解析】【分析】因为与互相垂直，所以，整理化简，可得，由此即可证明结果.【详解】证明：因为与互相垂直，所以，即．又因为，所以．因为是非零向量，所以．13.用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形是菱形，，是其对角线．求证：．【答案】证明见解析【解析】【分析】设，，则且，即可求得，由此即可证明结果.【详解】证明：