《二次函数的图象与性质》第1课时示范公开课教案【九年级数学下册北师大版】

《二次函数的图象与性质》教学设计第1课时一、教学目标1.会用描点法画出二次函数y=ax²(a＞0)的图象，并能根据图形认识、理解和掌握二次函数y=ax²(a＞0)的性质．2.能作出二次函数y=ax²(a＜0)的图象，并能够比较与二次函数y=x²(a＞0)的图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系．3.经历画二次函数y=ax²的图象和探索性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．4.培养数形结合的思想，积累数学经验，为后续学习服务.

二、教学重难点重点：会画二次函数y=ax²的图象，理解和掌握二次函数y=ax²的性质.难点：经历画二次函数y=ax²的图象探索性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．三、教学用具多媒体等.四、教学过程设计教学环节教师活动学生活动设计意图环节一创设情境【回顾反思】问题1：我们已经初步认识了二次函数，你记得它的一般形式吗？

预设答案：y= ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）.追问1：下列函数中（x是自变量），哪些是二次函数？

①y=5x﹣4；②y=x²﹣6x；③y=2x³﹣8x²+3；④y=3x²﹣7x+4；⑤y=x²+1；⑥y=4x；⑦y=-6x；⑧y=x追问2：一次函数的图象是什么形状？反比例函数的图象是什么形状？预设答案：一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线.教师活动：带领学生复习二次函数的相关知识，最终引导学生思考：二次函数的图象是什么形状？我们一起来画一画二次函数的图象，就知道答案了，这就是这节课我们要研究的内容.回顾有关二次函数的知识.通过问题引入，激发学生的探索兴趣和求知欲望，同时“温故”有利于“知新”.环节二探究新知【思考】问题2：回想一下，通常怎样画一个函数的图象？预设答案：通常用描点法画一个函数的图象.追问：用描点法画图象的步骤是什么，每一步需要注意什么？预设答案：列表、描点、连线.1.列表时自变量的取值要有代表性、不应使函数值太小或太大、尽量使横纵坐标都是整数、点数一般以5到7个为宜.

2.描点时位置要准确.

3.连线时用平滑的线依次连接各点.【探究】接下来我们用描点法来画二次函数y=x²的图象：

1.列表.观察y=x2的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下表：注意：自变量的取值要有代表性、不应使函数值太小或太大、尽量横纵坐标都为整数，点数一般以5到7个为宜.

预设答案：2.描点.在直角坐标系中描点：预设答案：3.连线.用平滑的曲线连接各点，得到函数y=x²的图象.预设答案：接下来我们探究二次函数y=x²图象的性质：问题2：y=x²图象是什么形状？预设答案：与抛出物品时，物品走过的轨迹形状类似．由此可见，二次函数y=x²的图象是一条开口向上的抛物线，我们把二次函数y=x²的图象叫做抛物线y=x².

【交流】你能举出生活中常见的抛物线形状的例子吗？预设答案：拱形桥洞、喷泉的水流的形状、海豚跃出水面时的行动轨迹……【合作探究】问题3：y=x²图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？

预设答案：观察发现，此图象经过原点，而且，因为x轴上的点纵坐标为0，所以令y=0，发现x=0.由此可见，二次函数y=x²的图象与x轴有交点，交点坐标为原点，即点（0，0）.

追问1：当x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x＞0时呢？

预设答案：方法一：观察发现，当x＜0时，随着x值的增大，图象呈下降趋势；当x＞0时，随着x值的增大，图象呈上升趋势.

方法二：在图象上选几个点，对比可以发现，当x<0时，y随着x的增大而减小.当x>0时，y随着x的增大而增大.

方法三：通过赋值计算或观察表格，也可以发现当x＜0时，随着x值的增大，y的值减小；当x＞0时，随着x值的增大，y的值也增大.

追问2：当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？为什么？

预设答案：观察图象直接可以得出：当x=0时，y的值最小，最小值是0.教师活动：教师还可以引导学生从另一个角度思考，y=x²，其中x²为非负数，即x²≥0，当且仅当x=0时，x²=0，从而也可以得出，当x=0时，y的值最小，最小值是0.师补充：这也说明原点（0，0）是此图象的最低点.

追问3：那么，在此图象中y有最大值吗？预设答案：没有最大值，因为此图象是向上无限伸展的.

追问4：图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点.预设答案：因为到y轴的距离相等的点，到x轴的距离也相等，说明这样的两个点关于y轴对称.由此可见，y=x²的图象是轴对称图形，它的对称轴是y轴.

对称点有：（-1，1）和（1，1）；（-2，4）和（2，4）；（-3，9）和（3，9）等等．

追问5：请找出对称轴与抛物线的交点，有什么特点？预设答案：是原点（0，0），这个点是此抛物线的顶点，也是此图象的最低点.【归纳】二次函数y=x²的图象与性质：【做一做】类比二次函数y=x²图象的画法，画出二次函数y=-x²的图象.

（1）列表.观察y=-x2的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下表：（2）描点.在直角坐标系中描点：（3）连线.用光滑曲线连接各点，得到函数y=-x²的图象.预设答案：问题4：类比二次函数y=x²图象的性质，二次函数y=-x²的图象有哪些性质？

预设答案：(1)二次函数y=-x2的图象是一条抛物线.

(2)图象与x轴交于原点(0，0).

(3)当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小.

(4)当x=0时，y最大值=0，没有最小值.

(5)图象关于y轴对称.(6)图象的顶点是原点，它是图象的最高点.追问：它们的图象有什么关系呢？预设：①它们的开口大小相等；②它们的开口大小方向相反；③二次函数y=x²有最小值，二次函数y=-x²有最大值；④两个二次函数的图象关于x轴对称；……【归纳】二次函数y=ax²的图象及其性质有哪些？一般地，二次函数y

= ax2

的图象是抛物线.观察并进行填写.根据上表中的数据进行猜想，同桌之间进行交流.作图、计算并进行验证.认真思考，积极证明.通过回忆画图象的常用方法，并让学生经历探究画二次函数y=x²的图象的过程，有利于学生对理解掌握二次函数y=x²的图象的画法.二次函数y=x²的图象的性质是本节课的重点之一，以提问的形式引导学生观察图象探究性质，有利于学生直观的得到结论，利于理解和掌握．以表格的形式及时对二次函数y=x²的图象与性质进行归纳，很直观醒目，能帮助学生梳理清楚知识点有哪些，同时，梳理的过程也能加深理解和记忆.类比二次函数y=x²图象的画法，画出二次函数y=-x²的图象，能培养学生的类推能力，同时也有利于学生掌握对二次函数y=ax²图象的画法，还能感受二次函数y=x²与二次函数y=-x²的图象的异同．以表格的形式及时对二次函数y=x²与二次函数y=-x²的图象与性质进行对比归纳，能更加强化对学生对两个函数图象及性质的理解和掌握，且有利于对比记忆.环节三应用新知【典型例题】例1：在同一直角坐标系中画出函数y=x²与y=-x²的图象，并根据图象回答下列问题：（1）y=x²的图象与y=-x²的图象关于哪条直线对称？

（2）这两个图象关于哪个点对称？

（3）由y=x²的图象如何得到y=-x²的图象？解：画出图象，根据图象可得出结论，也可以通过表格数据验证结论的正确性．（1）y=x²的图象与y=-x²的图象关于直线x轴对称.

（2）这两个图象关于原点（0，0）对称.

（3）由y=-x²的图象沿x轴翻折或绕原点旋转180°得到y=-x²的图象.

例2：已知点（1，y1）、（2，y2）在二次函数y=-x²的图象上，则（）.A.y1＜y2B.y1＞y2

C.y1＝y2D.y1，y2大小不确定.解：方法一：代入求值．y1=-12=1，y2=-22=-4，因为-1＞-4，所以y1＞y2.方法二：根据增减性比较．因为当x＞0时，y随x的增大而减小，所以当x1=1，x1=2时，y1＞y2.方法三：观察图象．明确例题的做法让学生在探究过程中进一步加深对二次函数y=x²和y=-x²的图象与性质的认识和理解，培养学生的应用意识.环节四巩固新知教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1.下列图象中，是二次函数y=x²的图象的是（）.

解：根据画或者回忆二次函数y=x²的图象与性质得出答案，A选项正确．2.对于抛物线y=x²与y=-x²，下列命题中错误的是（）.A.两条抛物线关于x轴对称

B.两条抛物线关于原点对称

C.两条抛物线格子关于y轴对称

D.两条抛物线没有公共点解：画出这两个函数的图象，即可得出答案，是D选项的说法错误，有公共点，公共点是原点，故正确答案是D项.3.已知点（-1，y1）、（2，y2）在二次函数y=x²的图象上，则y1_____y2（＞或＜或＝）.解：因为y1=（-1）2=1，y2=22=4，1＜