几何模型 K字型（一线三直角）模型（相似模型） 中考数学总复习必会几何模型剖析（全国通用）

中考总复习-几何模型专题五

相似模型5.3K字型(一线三直角)模型理论依据情境导入考点聚焦典例精讲查漏补缺课堂小结提升能力一线三直角01构造一线三直角02在坐标系中构造一线三直角03知识要点精讲精练【例1】(2017·T13)如图,正方形ABCD中,点E、F、G分别在AB、BC、CD上,且∠EFG=90º,求证：△EBF∽△FCG.AFEGBCD知识点二典例精讲直接应用一线三直角模型知识点一模型分析一线三直角一线三直角类别同侧---一线三直角异侧---一线三直角K字型特例(反射型)图形条件结论∠B=∠D=90º,∠1=∠2△ABC∽△EDC∠D=∠ACB=∠E,DC=CE△ADC∽△CEB∽△ACBADECB12拓展：一线三垂直常存在的图形背景AOECBDyOxCDABAFCDBEGAFCDBEGCABDE∠B=∠ACE=∠CDE△ABC∽△CDE1.如图四边形ABCD、EFGH是正方形,NHMC是矩形,A,B,N,E,F五点在同一直线上,若正方形ABCD,EFGH的边长分别为3,4,BN=2,则NH为_____.2.如图,四边形ACDF是正方形,∠CEA和∠ABF都是直角且点E,A,B三点共线,AB=4,则阴影部分的面积是____.AMHGFENBCD知识点一针对训练直接应用一线三直角模型8BAFDCE2133.如图,直线l经过等腰直角△ABC直角顶点C,过点A作AE⊥l于点E,过点B作BF⊥l于点F,是探究AE,BF,EF的大小关系.FEl图1CBAEFl图3CBAFEl图2CAB知识点一针对训练直接应用一线三直角模型一线三直角01构造一线三直角02在坐标系中构造一线三直角03知识要点精讲精练【例2】如图,在正方形ABCD中,E是边AB上的一动点(不与点A、B重合),连接DE,点A关于直线DE的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H,连接BH.(1)求证：GF=GC；(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系,并证明.知识点二典例精讲构造一线三直角DHBECAFG【分析】(1)连接DF,易证△DAE≌△DFE,

易证△DGF≌△DGC,∴GF=GC.Q∴△DEH是等腰直角三角形.过点H作HQ⊥AB交AB延长线于点Q.(2)BH=AE.2易证∠EDG=∠ADC=45º.12易证△DAE≌△EQH.∴AE=QH,DA=EQ.∵AB=DA=EQ.∴AE=BQ.∴BQ=HQ.∴△BQH是等腰直角三角形.∴BH=HQ=AE.22知识点二模型分析构造一线三直角构造一线三直角类别一线两直角一线一直角一直角图形条件结论F∠AEC=∠ACB=90ºCBAEEFABCBCAEFCABEFACBEF△AEC∽△CFB∠ACB=90º△AEC∽△CFB∠ACB=90º△AEC∽△CFBQ【变形一】由(1),(3)→(2)如图,E是正方形ABCD的边AB上一点,∠CBH=45º,过点E作EH⊥DE交BH于点H,求证：∠EDH=45º.在本题图中,除了正方形条件外,其实还存在另外三个条件与结论：(1)∠DEH=90º；(2)∠EDH=45º；(3)∠CBH=45º.其中任意两个组合均可得到第三个,本题是由(1),(2)结合得到(3).DHBECAG【分析】可以采用构造三垂直思路,但是对于△DAE和△EQH,并没有已知的相等线段,此路不通.不同的条件下方法可能会不同,利用好题目的已知条件,比如此处∠CBH=45º如何运用?证明：在AD边上取点F使得AF=AE,连接EF.∴∠DFE=135º=∠EBH,易证∠FDE=∠BEH,DF=EB,∴△DFE≌△EBH,∴DE=DH.∴△DEH是等腰直角三角形,∴∠DEH=45º.知识点二典例精讲构造一线三直角【变形二】由(2),(3)→(1)如图,E是正方形ABCD的边AB上一点,

∠EDH=∠CBH=45º,求证：DE⊥EH.∴∠DEH=∠DBH=90º.知识点二典例精讲构造一线三直角DHBECAGO证明：∵∠EDH=45º,∠EBH=90º+45º=135º.∴∠EDH+∠EBH=180º.∴B、E、D、H四点共圆,连接BD.∴DE⊥EH.1.在四边形ABCD中,∠BAD=∠ACB=90º,AB=AD,AC=4BC,若CD的长为5,则四边形ABCD的面积为____.EADCB10知识点三针对训练构造一线三直角模型一线三直角01构造一线三直角02在坐标系中构造一线三直角03知识要点精讲精练【例3】如图,将正方形OABC放在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A的坐标为(2,3),则点B的坐标为_______．(-1,5)MNyxCAOBEF知识点三典例精讲在坐标系中构造一线三直角yOxAB知识点三模型分析一线三直角DCyOxABCD作x轴的垂线，构造一线三直角.作y轴的垂线，构造一线三直角.1.如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形OAB的一个顶点在原点处，∠ABO=90º,OB=AB,已知点A(2,4),则点B的坐标为_______.2.如图,已知抛物线y=-0.5x2与直线AB交于A(-2,-4),B两点连接AO,BO,若∠AOB=90º,则点B的坐标为_______.(3,1)EFyxBAONM知识点三针对训练在坐标系中构造一线三直角CDyOxBA(1-0.5)知识梳理课堂小结“一线三直角”模型模型说明识别方法构造一线三直角的基本步骤一线三直角一线三直角是一个常见的相似模型,指的是有三个直角的顶点在同一条直线上构成的相似图形,也有称三垂直模型、K型图或M型图.(一线三等角不仅可以是直角,也可以是锐角或钝角)(1)找图中已知的直角,顺着这个直角的顶点寻找或者构造模型中的一线；(2)构造其他直角,构造的直角的顶点必须在同一条直线上,这条直线可能在已知角的外部,也可能穿过这个角.若出现一直角的顶点在一条直线上的形式,就可以构造两侧的直角三角形,利用全等三角形或相似三角形解决相关问题.本质就是找角、定线、构相似.

MNMN提升能力强化训练K字型(一线三直角)2xy=(,)-33H45y=x4.如图,在平面直角坐标系中,A(2,0),B(0,1),AC由AB绕点A顺时针旋转90º而得,则AC所在直线的解析式是________.5.如图,点A(0,8),点B(4,0),连接AB,点M、N分别是OA,AB的中点,在射线MN上有一动点P.若△ABP是直角三角形,则点P的坐标是__________________.y=2x-4DyOxCBA提升能力强化训练K字型(一线三直角)yxAMBONPPHyxAMBONPH(12,4)或(,4)25+26.如图直角梯形ABCD中,AD//BC,AB⊥BC,AD=2,BC=3,将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED,连AE、CE,则△ADE的面积是____.7.如图,已知△ABC中∠ABC=90º,AB=BC,△ABC三个顶点在相互平行的三条直线上,且l1与l2之间的距离为2,l2与l3之间的距离为3,则AC的长是_____.1提升能力强化训练K字型(一线三直角)NMAEDCBEDl1l3l2ACBHNM217

yOxCEABDyOxCEABDyOxCEABDHH提升能力强化训练K字型(一线三直角)EFByxAOCA1C1B1HM4383或或2(,)43-223+4

yxCBAOFED23yOxBACEPMN33mm2m2m(3m,3+m)提升能力强化训练K字型(一线三直角)(5,)33133409(,)AFEDCB12.如图,在四边形ABCD中,AD=3,CD=4,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45º,则BD的长为______.

13.如图,已知∠ACB=90º,AD=BC,CD=BE,AE与BD相交于点F,则∠AFD=____.FEAOBCDGG45º34提升能力强化训练K字型(一线三直角)DBCAFE4.如图,正方形ABCD和Rt△AEF,AB=5,AE=AF=4,连接BF,DE.若△AEF绕点A旋转,当∠ABF最大时,S△ADE=___.【分析】动态问题先分析何时∠ABF最大.F点轨迹是以点A为圆心,AF为半径的圆,当BF与圆相切时,∠ABF最大,分别过点E、F作直线DA的垂线,垂足分别记为M、N,MNDBCAFEMN易证△AME≌△FNA,∴EM=AN=4×3/5=12/5.∴S△ADE=1/2×5×12/5=6.6提升能力强化训练K字型(一线三直角)

【分析】求三角形的面积,可以首先考虑面积公式,以BD为底,需作高

分别过C、E作BA的垂线,垂足分别记为点M、N.提升能力强化训练K字型(一线三直角)FADEBCNM8故△BDE面积的最大值为8.易证△DMC≌△END,由tan∠ABC=1/2得：CM=4,BM=8,设BD=x,则EN=DM=8-x.∴S△BDE=1/2x(8-x)=-1/2x2+4x.当x=4时,S△BDE取到最大值8.6.如图,正方形ABCD的对角线AC上有一点E,且CE=4AE,点F在DC的延长线上,连接EF,过点E作EG⊥EF,交CB的延长线于点G,连接FG并延长,交4C的延长线于点P,若AB=5,CF=2,则线段EP的长是________.提升能力强化训练K字型(一线三直角)NMPBFCGADEPBFCGADEH【分析】有直角便可考虑构造三垂直.如下左图,过点E作EM⊥CD交CD于M点,过点G作GN⊥ME交ME延长线于点N,易证△FME≌△ENG,连接GA,点F作FH⊥AP交AP于H点,易证△GAE∽△EHF,∴△PHF∽△PAG.∴FH:GA=PH:PA.解得：PH=322∴PE=1322

y=-x+5313yOxBACMD45ºEPFyOxBACMD45ºPEF

yOxBACMDαEPFy=-x+15747

MNAPECDB提升能力综合训练K字型(一线三直角)

ADCBH提升能力综合训练K字型(一线三直角)

BACMN图①DEACPB图②提升能力综合训练K字型(一线三直角)9.两块三角板如图放置,已知∠BAC=∠ADC=90º,∠ABC=45º,∠ACD=30º,BC=cm.(1)分别求线段AD,CD的长度；(2)求BD2的值。EACDB提升能力综合训练K字型(一线三直角)

yOxBACFE(1)A(0,6),B(10,0)(2)MN提升能力综合训练K字型(一线三直角)12.已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标系中,点A(12,0),点B(0,6),点P、Q分别为BC、AC边上的动点(P不与B、C重合),沿OP折叠该纸片,得点B´.沿PQ再次折叠纸片,使点C落在直线PB´上,得点C´.设BP=t,AQ=m.(1)试用含有t的式子表示m；(2)当点C´恰好落在边OA上时,求点P的坐标.12-tt66-mOBB´PCAxyQC´m12-t6-mOBB´PCAxy12-tt66-mmC´QEP1(2,6)或P2(6,6)6提升能力综合训练K字型(一线三直角)

∠DCAEDBCDAE图①AFEDBC图②-1AFEDBC图②-2BDACP图③MNMNMNEA=EF

提升能力综合训练K字型(一线三直角)5.如图,线段AB=8,射线BG⊥AB,P为射线BG上一点,以AP为边作正方形APCD,且点C、D与点B在AP两侧,在线段DP上取一点E,使∠EAP=∠BAP,直线CE与线段AB相交于点F(点F与点A、B不重合).(1)求证：△AEP≌△CEP；(2)判断CF与AB的位置关系,并说明理由；(3)求△AEF的周长.AECDGPFB解：(1)在△AEP和△CEP中.∴△APE≌△CEP(SAS).PA=PC∠APE=∠CPEPE=PE∴CH⊥AB.(2)∵△APE≌△CEP.∴∠PAE=∠PCE.∵∠EAP=∠BAP.∴∠PCE=∠BAP.∴∠PCE+∠CPA=∠BAP+∠AFC.∴∠AFC=∠CPA=90º.提升能力综合训练K字型(一线三直角)5.如图,线段AB=8,射线BG⊥AB,P为射线BG上一点,以AP为边作正方形APCD,且点C、D与点B在AP两侧,在线段DP上取一点E,使∠EAP=∠BAP,直线CE与线段AB相交于点F(点F与点A、B不重合).(1)求证：△AEP≌△CEP；(2)判断CF与AB的位置关系,并说明理由；(3)求△AEF的周长.解：(1)在△AEP和△CEP中.∴△APE≌△CEP(SAS).PA=PC∠APE=∠CPEPE=PE∴CH⊥AB.(2)∵△APE≌△CEP.∴∠PAE=∠PCE.∵∠EAP=∠BAP.∴∠PCE=∠BAP.∴∠PCE+∠CPA=∠BAP+∠AFC.∴∠AFC=∠CPA=90º.提升能力综合训练K字型(一线三直角)AECDGPFBHNC△AEF=AE+AF+EF=CE+EF+AF=CF+AF.(3)过点C作CH⊥BG交BG于点H,

过点P作PN⊥CF交CF于点N.

∴△AEF的周长为16.易证△ABP≌△PHC.∴PH=AB=8.∴CN=PH=8.∵NF=PB=CH=BF.∴AF+FN=AF+FB=AB=8.∴C△AEF=CF+AF=CN+NF+AF=PH＋AB=2AB=16.6.如图,四边形ABCD是正方形,△EFC是等腰直角三角形,点E在AB上,且∠CEF=90º,FG⊥AD,垂足为点G.(1)试判断AG与FG是否相等?并给出证明；(2)若点H为CF中点,GH与DH垂直吗?若垂直,给出证明；若不垂直,说明理由.提升能力综合训练K字型(一线三直角)MNAFEDCBHGAFEDCBHG∴AG=FG.解:(1)相等.过点F作FM⊥BA交BA

延长线于点M.易证△EBC≌△FME.∴BE=MF,BC=ME.∵BC=AB.∴ME=AB,即BE=MA.∴MF=MA.∴四边形AMFG是正方形.∴GH⊥DH.(2)延长DH、FG交于点N.易证△CDH≌△FNH.∴CD=FN,FN=AD.∵FG=AG.∴GN=GD.∴△DGN是等腰直角三角形,又H是DN中点.7.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=5,点E为BC边上一个动点,连接AE,将线段AE绕点E顺时针旋转90º,点A落在点P处,当点P在矩形ABCD外部时,连接PC、PD.若△DPC为直角三角形,则BE的长.设BE=x,则MP=x,PN=3-x,EM=AB=3,CM=x-2.提升能力综合训练K字型(一线三直角)MN解:①当∠PDC=90º时,如图2.易证△ABE是等腰直角三角形,∴BE=AB=3.②当∠DPC=90