第二章-导数与微分4

教

案任课教师：李平

NO:序号项目（节）

19第三节

授课日函数的分

班级授课时数

软件教学目与要求

理解函数的微分概念及微分的几何意义微分运算法则求数的微分，会利用微分作近似计算。教学难与重点

重点：微分的计算；难点：微分的定义，利用微分作近似计算。授课方

讲练结合

（现代）教学手习题2-34（15）（）作业教学内容及过程在实际问题中，有时需要考虑当函数的自变量有微小变化时，相应的函数值变化的问题.这就是本节要讨的函数的微分它与导数有密切的联系也今后学习积分学的基一微分概

时间分配计算函数增量

f一般说来函数的增量的计0算是比较复杂的，我们希望寻求计算函数增量的近似计算方法。先看一个具体例.块正方形的金属薄板，当受到温度影响，边长就会发生微小变化.如，当其边长从

x0

变化到

x0

时，正方形的面积改变了多少？若用表示薄板的面积，x表示边长，则A2.于是面积的改变量为0

0

0

从上式可以看出

由两项构成一对应着图2-4中个单斜线矩形长条的面积，后一项对应着右下角的一个双斜线小正方形的面我们知道，热胀冷缩时边长变一般是第

页

教

案教学内容及过程

时间分配很小的，即

一般很小，故在

中

(

2

是次要部分于是，当我们把

(

2

忽略不记时，的似值，即0

0

上式中的数x，是函数A2在x的导数0A)0

A)0

于上式又可表示为这就是说，函数

y

2

的自变量

在点

x0

有微小的改变量

时，函数的改变量

约等于其在点x的导数x与的积这结论可以推广到一般的可导函00设函数

f()在处导，即0

lim0

f的关系，有0

f)0

其中，

lim

由此得

)0

这表明，函数的改变量是

f

)0

和

两项所组成当

f

)0

时，由0,lim000

f

)0

f0知

f

0

是的阶无穷小，

高的无穷.由此可见当

f

)0

时函的改变量

中主要作用的是

f

)0

它与

的差是一个较高阶的无穷小.因，

f)0

是的要部分；又因为

f)0

是的性关函数，所以通常称

f

)0

为线性主部（简称线性部.当

很小时，可用函数改变量主部来近似的代替数的改变量，即f0

定

设函数

f(x)在处可导，则称0

f

)0

为函数

f(x)在x的微分，0第

页

11记为

x

或

df()

x

f

0

，即

x

f

0

或

df(x)

0

此时称函数

f(x)

在点

0

可如果函在区间

(a,b)

内每一点可微，则称函数在区间(a,b)内可微函数在任一点

的微分，叫函的分一般就记为dyf

或

(x)f

特别地变

的微分

dx)

即

dx

这是说变量

的微分

dx

就是它的改变量因此微分表达中可用

dx替，即

dyf

由此可见，f

dydx

，即函数

f(x)

的导数等于函数的微分dy与自量的微分的商.因导又称微.注1：由微分的定义，我们可以把导数看成微分的商。例如求

sinx

对

x

的导数时就可以看成sin微与x微的商，即dxcosd2

。注2：函数在一点处的微分是函增量的近似值，它与函数增量仅相差此要会应用下面两个公式：

的高阶无穷小。因dy

0

，f00

。作近似计算。例1求函数

x

2

在点

x当

时的微分dy和量.例2

求下列函数的微分：（1

x

；（）

sinx

例函数

yx3

2x

的微分第

页

dadade解算函数的一阶导数

y

2

e

2

x

3

e

2

x

2

e

2

(3x)

，所以函数

yx

3

2x

的微分

.dy2(3xｄx微的何义yf对于某一固定的在直角坐标系中，函数

x

0

值，曲线上有一个确定点

M0

0

当自变量有微小增量时，就得到曲线上另一点

Ny00

从图2-2可：

yMQ

，

QN

。过M点作曲线的切,它的倾角为

，则

N(x+00T即

QPMQdy

。

0

M(x，y)00

PQ

dy

x由此可见当

是曲线

yf坐标

的增量时，

就是曲线的切线上M点纵坐标相应增

图量。当

很小时，

比

小得多因在点

M

的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。三微分基公与算则根据微分的定义

dyf

可知，微分的计算只需求出导数再乘以即，于是根据求导公式和法则可直接得出微分的公式与法．分基公由函数求导法则及导数与微分的关系，我们能立刻推出如下微分公式：

x

dx

，

d

，dxdx

，

2

，

，

dxdx

，dcotxdx

，

x

adx

，

x

dx

，

dx

1xln

dx

，第

页

11ddxx

，

d

11

2

dx

，d

11

2

dx

，

d

11

2

dx

，dcot

11

2

dx

。注：上述公式必须记牢，对以后学习积分学很有好处，而且上述公式要从右向左背。例如：x

dx2

，

1dxx2

，dx

11dax，alna

da

。微的运法由

f

，很容易得到微分的运算法则及微分公式表（当u都导d

，

d

，d

，

vduudvdv

。从函数的微分表达式

df

可知，只要求出函数的导数

f

，再乘以自变量的微分d就到函数的微分y，导数的基本公式很容易得到微分基本公.例

yx的分d.解

y

xx

，

dyy

xdx2cos(2dx

.例求数

ysin(5x

的微分解令

，d(sinu)ucos(5xd5cos(5dx

微在似算中应由微分的概念知，当

f

0

且当很小时有因为

f0f(),以1)式可以写成00

(1)第

页

2x2xfxf(x)f)00

,即f(f()0

f

0

(2)在2)式，令

x即x则00f)f(x)0

)00

(3)利用(式以求增量

的近似值，利用(2)(3)式可以求数

yfx)在

0

邻近的近似值。例用微分求

的近似值解令

f(x)

x1.960.04

，则有f(x()f0

)0

2.8注：选取

x1.96是由1.96很近于2并1.96易计算。0例用微分求sin29的似值解令

f()sin,0

180

（弧度

sin

(

13)0.4842