初等函数及数列极限的概念

高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（一）第二讲初等函数及数列极限的概念初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第1页!一、基本初等函数大家在中学就已熟悉它们了！初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第2页!以下六种简单函数称为基本初等函数1.常值函数

y=C

(C

为常数

)2.幂函数y=x

(

R为常数

)3.指数函数y=ax

(a>0,a1)

初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第3页!二、初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算而成的函数,称为初等函数。初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第4页!一般说来,分段函数不是初等函数.但有个别分段函数例外，例如因为它可以改写为初等函数的形式.初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第5页!六、双曲函数反双曲函数学习双曲函数时,注意与中学学习过的三角函数进行比较,找出它们之间有关定义及计算公式的相同处和不同处。初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第6页!双曲正弦、双曲余弦的图形悬链线初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第7页!双曲余弦函数的定义域为(,)双曲余弦函数在(,0)内单调减少在[0,)内单调增加双曲余弦函数是偶函数初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第8页!双曲正切函数定义域为(,)双曲正切函数是单调增加的且有界|thx|1双曲正切函数是奇函数初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第9页!(1)反双曲正弦函数习惯上写成x

(,)。双曲正弦函数y=shx是(,)到(,)的一一对应,故它的反函数存在,通过初等的代数运算可得3.反双曲函数初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第10页!y[1,)通常取y[1,)。习惯上记为x[1,)。并称该支反函数为反双曲余弦的主支。通常所说的反双曲余弦函数即指此主支。的反函数,记为初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第11页!第二章极限本章学习要求：初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第12页!称为一个数列,

记为{xn}.1.定义数列中的每一个数称为数列的一项xn=f(n)

称为数列的通项或一般项一、数列数列也称为序列初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第13页!…xnx2x1x0x3…••••••••••初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第14页!x1M3x1xx4x2••••••••••0所有奇数项初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第15页!3.数列的性质单调性有界性初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第16页!单调减少不增加的初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第17页!(2)数列的有界性回想一下前面讲过的函数的有界性的情形我学过吗？初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第18页!数列的有界性的定义如何定义数列无界？有界的数列在数轴上和在直角坐标系中的图形会是什么样子？想想：初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第19页!例2观察例1中的几个数列：…xnx2x1x0x3…••••••••••初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第20页!x1M3x1xx4x2••••••••••0初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第21页!xn0242nx1x2……x•••••••••••••••……有些数列虽然无界,但它或者是下方有界的,或者是上方有界的.初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第22页!一个数列有界(有上界,有下界),则必有无穷多个界(上界,下界).初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第23页!例3证分析初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第24页!极限描述的是变量的变化趋势.讨论数列当无限增大时的变化趋势.容易看出:当无限增大时,x1x3x2n-1x2nx4x2x0((()))*••••••••••••••••••••••••••初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第25页!的图上看,从数列x1x3x2n-1x2nx4x2x0((()))*••••••••••••••••••••••••••一般化表示：n时,xna.初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第26页!由

N存在与否判断数列的极限是否存在.

n>N描述

n.通过目标不等式来寻找N

>0,N=N().不等式称为目标不等式.初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第27页!例4001初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第28页!例5证故取则n>N时,由极限的定义,得初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第29页!例7证通常说成：常数的极限等于其自身.初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第30页!例9证逆命题成立吗？初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第31页!初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第32页!4.对数函数y=logax

(a>0,a1)5.三角函数

y=sinx

y=cosx

y=tanx

y=cotx

y=secx

y=cscx6.反三角函数y=arcsinx

y=arccosx

y=arctanx

y=arccotx

y=arcsecx

y=arccscx详情见书初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第33页!例如都是初等函数.初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第34页!幂指函数是否为初等函数？它是由与构成的复合函数,故该幂指函数是一个初等函数.例解初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第35页!1.双曲函数的定义及性质双曲正弦双曲余弦双曲正切双曲余切双曲正割双曲余割初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第36页!双曲正弦函数的定义域为(,)双曲正弦函数在其定义域内是单调增加的双曲正弦函数是奇函数初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第37页!双曲正切、双曲余切的图形y=cthxy=thx初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第38页!2.部分公式与三角函数的公式进行比较初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第39页!(2)反双曲余弦函数y

[1,)。双曲余弦函数是到上的映射,但不是一一对应。由解得双曲余弦的反函数。这里有两支,单独来看,这两支分别都可作为初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第40页!类似于上面的作法,可以得到arthx,arcthx,arsechx,arcschx

的表达式.初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第41页!节数列的极限一、数列二、数列极限的定义三、数列极限的性质四、数列的收敛准则初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第42页!介绍几个数列xn0242nx1x2……x•••••••••••••••……例1初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第43页!01–1x所有的奇数项所有的偶数项初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第44页!1xnx3x2x1x0………••••••••••…初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第45页!(1)数列的单调性单调增加不减少的数列单调减少的情形怎么定义？初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第46页!严格单调增加(单调增加)严格单调减少(单调减少)单调增加(不减少的)单调减少(不增加的)统称为单调数列数列初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第47页!初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第48页!|xn

|<

M*,n

N

xnU(0,M*

),n

N从数轴上看,有界数数列{xn}

的全部点都落在某区间

(－M*,M*)中.()x0M*－M*••••••••••初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第49页!01–1x初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第50页!1xnx3x2x1x0………••••••••••…初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第51页!若xnM,MR,

则称

{

xn}有上界.若xnm,mR，

则称

{

xn}有下界.{

xn}:有界

既有上界又有下界.初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第52页!现在来讨论如何定义数列的无界性：首先看有界性定义的关键所在对所有的初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第53页!二、数列的极限001初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第54页!“n无限增大”

记为

n.此时称数列当n时以零为极限,记为：这就是该数列的变化趋势初等函数及数列极限的概念共62页，您现在浏览的是第55页!预先任意给定一个正数>0,不论它的值多么小,当n无限增大时,

数列

{xn