2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟（上海卷）试题 数学【解析版】

2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟（上海卷）试题数学【解

析版】

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第b6题每题4分，第7T2题每题5分）考生应在答题纸的

相应位置直接填写结果.

1.已知集合A={-2,1,2},B={G+l,a},且BUA,则实数”的值是.

2.已知复数Z-Z2满足㈤=3,同=1,若4和z?的幅角之差为$则.

3.已知3+6=（，sina=1,则cos2〃=

4.已知点尸为正四面体ABC。的外接球上的任意一点，正四面体ABC。的棱长为2,则⑸.方的取值范

围为•

5.设xeR且XH0,则*+2）（/—1）的展开式中常数项为.

6.若函数/（x）=log2（x+m）+2的反函数的图像经过点（3,1）,贝|/（3）=.

7.已知乙、白、…、/是抛物线y2=8x上不同的点，点尸（2,0）,若丽+砥+…+画;=6,则

|丽|+|可+…+|啕=

8.从集合{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取3个不同元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A,B,C,则经过

坐标原点的不同直线有条（用数值表示）

x-y<0

9x-2y>0

9.已知实数虎>1,实数二y满足不等式组x+y<6，若目标函数zr+g的最大值等于10,则m=—

x,yeN

n-l.inn+lin

10.若a、beR,例且lim"+">."_+幺,则a的取值范围是.

11.平面直角坐标系中，满足到耳（-1,0）的距离比到5（1,0）的距离大1的点的轨迹为曲线T,点（其

中％>0，〃eN*）是曲线T上的点，原点。到直线2居的距离为4,,贝电吧.

ahab>0

12.任意实数mb,定义a®〃=gab<Q,设函数/(x)=lnx0x,正项数列｛叫是公比大于0的等比

E0<

数列，且4oK>=l，./'(4)+/3)+.f(4)+—+.f(%»9)+/(a202o)=-e,则/020=.

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应

位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.在数列｛氏｝中，已知贝是“｛%｝是单调递增数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

14.下列不等式恒成立的是（）

、

A.X2H1>XH1B.|x-)j+—>2

XXx-y

C.\x-y\>\x-z\+\y-z\D.y/x+3—y/x—\2Jx+2—yfx

15.如图，在棱长为1的正方体ABCD-ASG。中，P、Q、R分别是棱A8、BC、B片的中点，以APQR为底

面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体ABCD-ABCR的表面上，则这个直三棱

D

c尚-4

16.已知数列｛可｝满足—=吊-34+4,4=3,则下列选项错误的是（）

A.数列｛%｝单调递增B.数列｛/｝无界

11

C.lim------+・••+-------=1D.40G=101

…an-\）

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

17.（本小题满分14分，第1小题满分6分第2小题满分8分）

如图，直三棱柱4BC-AqG中，AB1AC,AB=AC=AA,=2,点。是BC的中点.

（1）求三棱锥C-AC。的体积;

⑵求异面直线AC与G。所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）

18.（本小题满分14分.第1小题满分6分，第2小题满分8分）

落户上海的某休闲度假区预计于2022年开工建设.如图，拟在该度假园区入口处修建平面图呈直角三

角形的迎宾区，=迎宾区的入口设置在点A处，出口在点8处,游客可从入口沿着观景通道A-C-8

到达出口，其中AC=3OO米，3c=200米，也可以沿便捷通道A-P-8到达出口（P为△48C内一点）.

k

（1）若△PBC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，某游客的步行速度为每分钟50米，则该游客从入口步

行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快几分钟？（结果精确到1分钟）

（2）园区计划将△PBC区域修建成室外游乐场，若NBPC=W，该如何设计使室外游乐场的面积最大，请说

明理由.

19.（本小题满分14分.第1小题满分6分第2小题满分8分）

有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面为等可能性事件，棋盘上标有第0站，第1站，第

2站，……，第100站.一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋

向前跳一站（从/到火+1）,若掷出反面，棋向前跳两站（从k到k+2）,直到棋子跳到第99站（胜利大

本营）或跳到第100站（失败集中营）时，该游戏结束.设棋子跳到第"站概率为2.

（1）求玲，4,g的值;

(2)求证：(〜么J,其中〃eN,2融99；并求/及之的值.

20.(本小题满分16分，第1小题满分4分第2小题满分6分，第3小题满分6分)

已知P(0,l)为椭圆C：?+与=1内一定点，Q为直线/：y=3上一动点，直线PQ与椭圆C交于A、

8两点(点8位于P、。两点之间)，。为坐标原点.

(1)当直线P。的倾斜角为丁时，求直线0。的斜率；

4

(2)当AAOB的面积为g时，求点。的横坐标；

(3)设丽=2而，AB=pBQ,试问X-〃是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

21.(本小题满分18分.第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)

已知函数f(x)的定义域为R，若存在常数上和A,对任意的xeR,都有|〃x)-对”成立，则称函

数”X)为”拟线性函数”，其中数组(LA)称为函数〃x)的拟合系数.

⑴数组(2,1)是否是函数g(x)=%的拟合系数？

⑵判断函数s(x)=xsinr是否是“拟线性函数”，并说明理由；

(3)若奇函数网x)在区间[0,p](p>0)上单调递增，且〃(刈的图像关于点(p,q)成中心对称(其中P，<7为常

数)，证明：力(另是“拟线性函数”.

答案

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第屋6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的

相应位置直接填写结果.

1.已知集合A={-2,1,2},B={&+1，4,且8=A,则实数“的值是.

【解析】因为8=所以aeA,&+le4,

当。=-2时，&+1无意义，不满足题意；

当a=l时，&+1=2,满足题意；

当a=2时，&+1=&+1,不满足题意.

综上，实数。的值1.

2.已知复数TN?满足团=3,区|=1,若4和zz的幅角之差为『则幺二幺=___________,

3Z]+Z）

【解析】因为㈤=3,凶=1,设马=3(cos6]+isinG),z2=cos02+isin02,

Z13(cosq+isin6j3(cos44-isin^)(cos^2-isin^2)

所以

z2cos+isin^(cos6,+isin6,)(cos^2Tsing)

3[cosqcos%+sin6]Sin，2+i(sinqcosg-cosqsina)](4仗),^,

2

COS02+sin2a

由题意可知a-a=17E或a-a=-三IT，

2=3M+isinq=3+鸡,

当时，

z2V33j22

TT33y/3.

当耳_%=_§时,—=3cos+isin=-------1，

z2_22

3G.

—1

Z-z?2

4+Z23百.

1

2

综上所述:

Zj+z213

3.已知“尸=（,sina=1,则cos2〃=

【解析】由已知可得a+2/=g,故cos24=cos（5-a）=sina=g.

4.已知点尸为正四面体43。的外接球上的任意一点，正四面体43。的棱长为2,则⑸.方的取值范

围为•

【解析】

如图，将正四面体放在正方体内，并建立如图所示的空间直角坐标系，

♦.•正四面体ABCQ的棱长为2,则正方体的棱长为近，正四面体A8C£>的外接球即为图中正方体的外接

球，其半径为R,则（2R『=3x（夜）n/?2=_|,则A一乌，一乌，鸟,

设P（x,y,z）,则x2+y2+z2=g,则Z?[=-日MzW手，

•.•⑸=—/而=俘7,冬），,冬Z、，

（222J（222）

PA-PB=x2--+y2--+---/2z+z2=x2+y2+z2-y/2z--=-；-&z=-V2z+le[l->/3,l+^].

22222

5.设xeR且x*0,则（x+2）（：-l）的展开式中常数项为

【解析】Q:一1J的通项公式为小=C；G「（T>=（T）"C；X7

55245

=(-1)°C>-+(-!)'+(T『C；婷+(-i)C^-+(-l)C^x-+(-l)C=x°,

Q(x+2)(,-1)+2^--lJ的常数项为：x(-l)4C^x'+2(-1/C^x°=5-2=3.

6.若函数〃x)=k>g2(x+%)+2的反函数的图像经过点(3,1),则/⑶=.

【解析】由于函数/(x)=logKx+m)+2的反函数的图象经过点(3,1),

则〃1)=10氏(1+加)+2=3,解得m=1,.•.函数/(x)=log2(x+l)+2,.•.〃3)=log2(3+l)+2=4.

7.已知《、幺6、…、％是抛物线V=8x上不同的点，点尸(2,0),若丽+用+…+雨=6,则

网+国+…+/=

【解析】设片(西,凹),鸟(々,必)，吕03，%)，…%(/，%),分别过斗鸟鸟作抛物线的准线的垂线,

垂足分别为如。22，…，Qm.•,<、△、居、…、％是抛物线y2=8x上不同的点，点*2,0),准线为x=-2,

|FP\|++FI。]=(X]+2)+(々+2)+(X3+2)+."+(JC]O+2)=X]+x?+占+...+为。+20.

FR+FP,H-----FFPW=0,-^1+x2+x3+...+xl0=20,

.1.JFPi|+|FE|+-一+|=X]+x,+X3+...+X]O+20=20+20=40.

8.从集合｛0,123,4,5,6,7,8,9｝中任取3个不同元素分别作为直线方程A+8.y+C=0中的A,B,C,则经过

坐标原点的不同直线有条(用数值表示)

【解析】依题意，C=0,从｛1,2,3,4,5,6,7,8,9｝任取两个不同元素分别作为A,B的值有A”72种，

其中重合的直线，按有序数对(AB),

A<8有：(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)重合，(1,3),(2,6),(3,9)重合，(1,4),(2,8)重合,(2,3),(4,6),(6,9)重合，

(3,4),(6,8)重合，

有:(2,1),(4,2),(6,3),(8,4)重合，(3,1),(6,2),(9,3)重合，(4,1),(8,2)重合，(3,2),(6,4),(9,6)重合，

(4,3),(8,6)重合，

所以经过坐标原点的不同直线条数是72-9x2=54.

x-y<0

9x-2y>0

9.已知实数相>1,实数入y满足不等式组丫+),<6，若目标函数的最大值等于10,则

x,yeN

m=

x-y<0

9x—2y>0

【解析】由约束条件作出可行域如图内的整数点（含边界线上的整数点）,

x+y<6

x,yeN

,f^—V=0,\x+y=61254.11

联立｛,解得A(3,3),\,J),化目标函数z=x+my为丁=x+—z9

[x+y=6[9x-2y=01111mm

由图可知，当直线y=-'x+'z过B时，直线在y轴上的截距最大，但B不是整数点，

mm

54

因为：03烂3,O<y<—,故当丁=4,x=2时，z有最大值为2+4席=10,BPm=2.

10.若a、beR,同>同且lim"则。的取值范围是__________.

“->8“TOCa”

【解析】由题意，hma"''+b~=lim[-!-+(-)"]=1+lim(-)n,

"TOOA〃->8aaa-a

lim———=lim[a4-(—)N]=a+lim(—)rt,由于网,故®~<1,即—lim(—)n=0,

"T8优〃->8a”T8a|a|awa

a,l-i2+hnra,,+i+hn1

/.lim------n---->hm--------n---<=>—>a,

“T9a”T8aa

1]—〃2

故——a=------->0o(I-/)X”>0=(l-a)(l+a)a>0,解得：a<-l或0<a<l

11.平面直角坐标系中，满足到耳（7,0）的距离比到鸟（LO）的距离大1的点的轨迹为曲线7,点匕5,%）（其

中％>0,〃eN*）是曲线7■上的点，原点。到直线26的距离为4,,则如4=.

【解析】设曲线7上的点为尸，由题意，|尸耳|-|尸名|=3百居I,

则曲线T为双曲线的右支，焦点坐标为《（-1,0）,6（L0）,

c,1.小2，।13

2a=1,a=—,c—1,■-b~=c-a~=l—=—,

244

双曲线方程为4/-3丁=i（x2o）.所以渐近线方程为y=±Gr,

而点匕（"，乂）（其中%>0,"eN*）是曲线T上的点，

当〃-»田时，直线月内的斜率趋近于6,即％=相.

|->/3|_>/3

则玛：y=&*-i)即6x-y—6=0.limd“

J(舟+(-1)22•

abab>0

12.任意实数a,b,定义a<8)匕=@,设函数f(x)=lnx(8)x,正项数列｛q｝是公比大于0的等比

JC，<

数列，且<21010=IJ(4)+/(4)+/(%)+…+/(生019)+/(。2020)=—6,则。2020=.

x\nx,x.A

xlnx+学工0；

【解析】由题意/(©=(lnx)<8)x=lnjVc「因为x>l时，/«+/

——,0<%<1X

.x

当X=1时，/⑴=。；。。<1时，小)+/&卜*三十0，

所以x>0时，〃x)+/[:)=0恒成立；因为正项数列｛4｝是公比大于0的等比数列，且4。1。=1,

所以。|々2019=〃2%018=…=^1009^1011=。1010=1»

所以/(々I)+/(%)19)=/(%)+/(a2018)=*,，=/(4()09)+/(々1011)=°，

又/(4OK))=。，，(4)+/(』)+/3)+…+/(%019)+/(。2020)=-e，所以f(%3)=F

当4>1时，“2020>1，所以“2020In“2020=一，,此时无解；

设g(x)=g(0<x<1),g'(x)=上坐>o,xe(0,1)恒成立，g(x)在(0,1)单调递增，

XX"

,In-[

当0<"1时，0<a2020<l,所以上龌=_e=f,解得劭小=乙

“2020—e

e

二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应

位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.在数列｛4｝中，已知为="2+；1〃(〃€汗)，贝『&<4”是“｛4,｝是单调递增数歹『，的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解析】已知a“=〃2+4”("€N"),若即4+1<2/1+4,解得;1>一3.

22

若数列｛4｝是单调递增数列，对任意的〃eN*,a„<an+i,E|Jn+/ln<(«+l)+2(/7+l),

所以，4>—2〃—1对任意的〃wN*恒成立，故4>-3,

因此，”是“｛%｝是单调递增数歹『的充要条件.故选：C.

14.下列不等式恒成立的是()

A.x2+^->x+-B.卜-小-----22

xxx-y

C.|x—3'|>|x—z|+|y—z|D.Vx+3-\[x-l>\[x+2—y[x

【解析】对于选项A,(f+4)-(x+—)=(x+-)2-2-(x+—)=(x+---)2--,Wx+—>2-<

xxxxx24xx

-2,令/=工+,仁(-oo,-2]U[2,+oo),则

X

(x2+-V)-(X+-)=a-i2-7>0,所以/+二丝+，，故A正确；

Xx24Xx

।3

对于选项B,当x-)=-2时，|x-y|=2,所以|x-y|+------=2--=-<2,故B错误；

-x-y22

对于选项C,因为|x-y|=|(尤-z)-(y-z)|<|x-z\+\y-z\,故C错误；

对于选项D,因为(而与-«^?)2-(471-«)2=(x+3)+(x-1)-2j(x+3)d)-[x+2+x-

2J(x+2)x]

=2j(x+2)x-2j(x+3)d)=2(7X2+2X-7X2+2X-3)>0-所以D错误.

故选：A.

15.如图，在棱长为1的正方体A88-A4GA中，P、QR分别是棱AB、BC、的中点，以APQR为底

面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体A3CO-A8£4的表面上，则这个直三棱

A2CD

,8B-T-A-4

【解析】如图所示:

连接阴㈤C4〃,分别取其中点匕2，小，连接出,Q2.RR、，

则PR"BD、,QQ、/fBD、.RR,//BD,,且PR=；BD、,QQ、=；BD、,RR、=；BD、,

所以几何体PQR-勺。内是三棱柱，又PQLBD,PQLBB、,且BDcBB『B,

所以PQ_L平面B5QQ,所以PQ1BR,同理PRLS。，又PQcPR=P,

所以即，平面PQR,所以三棱柱PQR-[QA是直三棱柱,

因为正方体AB8-A4GR的棱长为1,所以PQ=PR=RQ泻,PP、=QQ、=RR、q,

所以直三棱柱PQR-利凡的体积为丫邛小冬争与小故选：C

16.已知数列｛%｝满足=吊-34,+4吗=3,则下列选项错误的是（）

A.数列｛《,｝单调递增B.数列｛q｝无界

（11）

C.lim--------F,•,4--------—1D.q（x）=101

—14T

【解析】出an=a；-2an+4=(4—I)?+3>0,所以数列｛a,,｝单调递增,423恒成立,

故A,B正确;

=说-3〃“+4n-2=a；-3。“+2=(〃“一2)-1)=--

an+\-2(a„-2)(a„-1),

1]

n-----

%।…%+1-2

1111[

所以---+…+----------=----------------------------1------------------------------F•••H-------------

4Tcin—1%—2%—2凡一2%-2。“-2凡+1.2aA-2。加+i-2

所以㈣（涡+.•.+£卜妈（油一六卜圾力=1，故C正确:

因为。，用=d-3%+4吗=3,所以4=4必=8,4=44必=44。-44x3+4>⑼，结合数列｛可｝单调递增,

所以“mH101,故D错误，

故选：D.

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

17.（本小题满分14分.第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，直三棱柱ABC-AB&中，AB1AC,AB=AC==2,点。是BC的中点.

⑴求三棱锥G-ACD的体积;

（2）求异面直线AC与C、D所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）

【解析】（1）由题意得SAACD=；xSA0Bc=gx（；xABx4C）=gx]；x2x2）=l

112

所以三棱锥G-4C。的体积％.AS=§XS》6XCG=HX1X2=§.

即所求G-ACD三棱锥的体积为1.

（2）连接A。，由题意得8cnjG+AC）=20，AD=^BC=y/2,且AC〃AC],

所以直线AG与GD所成的角就是异面直线AC与CQ所成的角.

2A,D=ylAAc+AD2=76,

在AAG。中，AC=2,CXD=^CC^+CD==瓜,

由余弦定理得cosN4,CQ=工J巧,因为幺6。«0,乃），所以幺CQ=arccos45

2xA.CqxCziDo6

因此所求异面直线AC与C、D所成角的大小为arccos逅.

6

18.（本小题满分14分第1小题满分6分，第2小题满分8分）

落户上海的某休闲度假区预计于2022年开工建设.如图，拟在该度假园区入口处修建平面图呈直角三

TT

角形的迎宾区，N4C8=],迎宾区的入口设置在点A处，出口在点B处,游客可从入口沿着观景通道A-C-B

到达出口，其中AC=300米，3c=200米，也可以沿便捷通道A-P-B到达出口（P为△ABC内一点）.

（1）若△P8C是以P为直角顶点的等腰直角三角形，某游客的步行速度为每分钟50米，则该游客从入口步

行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快几分钟？（结果精确到1分钟）

（2）园区计划将△P2C区域修建成室外游乐场，若NBPC=g,该如何设计使室外游乐场的面积最大，请说

明理由.

【解析】⑴由题设，尸c=100四米，PB=100e米,在△幺C中，由余弦定理得

PA2=AC2+PC2-2AC-PCcos-,于是PA=10075X

4

游客可从入口沿着观景通道A-CB到达出口，所需时间为4=3001200=10分钟,

游客沿便捷通道A-P-B到达出口所需时间为仁10°百+10。应=2（括+&）分钟，

所以该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快1。-2（行+后》3分钟.

（2）NBPC=^，设NPCB=仇则611,y,

200PBPC

在APBC中，NPBC=5-氏由正弦定理得I产

俎on4006.n4006.（万

得PB=---sindPC=---smlI.

.I八^八.2i400006.（兀八、.八20000x/3.（TI\100006

所rri以>AP3C面积S=—P8，Csin—=-----sin——6sm6>=......-sin26n>+—-------—,

233\3）3\6J3

当6=^€（0,9）时，APBC面积的最大值为幽还平方米.

6I3J3

19.（本小题满分14分第1小题满分6分.第2小题满分8分）

有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面为等可能性事件，棋盘上标有第0站，第1站，第

2站......第100站.一枚棋子开始在第。站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋

向前跳一站（从左到&+1）,若掷出反面，棋向前跳两站（从k到k+2）,直到棋子跳到第99站（胜利大

本营）或跳到第100站（失败集中营）时，该游戏结束.设棋子跳到第"站概率为匕.

（1）求《，£的值；

（2）求证：£,-*=-；（*-么2）,其中〃wN,2助99,并求忆及［°。的值.

【解析】（1）棋子开始在第0站为必然事件，E）=L

第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为.••《=：・

棋子跳到第2站应从如下两方面考虑：

①前两次掷硬币都出现正面，其概率为②第一次掷硬币出现反面，其概率为;.

42

（2）证明：棋子跳到第〃（2领打99）站的情况是下列两种，而且也只有两种:

①棋子先到第"-2站，又掷出反面，其概率为35-2；

②棋子先到第八-1站，又掷出正面，其概率为JEi.

•••2=；立2+；匕「二P.-P,,-.=-；(%-&)

当1釉9时，数列｛匕-匕/是首项为[-《=-；，公比为的等比数列.

6-4=(一3'…'与一比产'£|”.

以上各式相加，得勺-1

20.(本小题满分16分.第1小题满分4分第2小题满分6分，第3小题满分6分)

已知P(0,l)为椭圆C：?+]=1内一定点，。为直线/：产3上一动点，直线尸。与椭圆C交于4

B两点(点8位于P、Q两点之间)，。为坐标原点.

(1)当直线P。的倾斜角为了时，求直线0。的斜率；

4

(2)当AAOB的面积为g时，求点。的横坐标；

(3)设丽=2而，AB=JLIBQ,试问丸-〃是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

【解析】(1)因为直线PQ的倾斜角为?，且P(O,l),所以直线尸。的方程为：y=x+i,

由得。(2,3),所以直线。。的斜率是分。=|；

(2)易知直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y=奴+1,

X2y2_

+=1得日一

由，TT,（3+4/b2+88=0,

y=Ax+1

8k8

设A(%,y),3(w，%)，则占+々=一々4"，为•々=~2,

3十^TK3十JK

所以W_引=>/(占+々)2-4内.々=’9；；：：.，

所以S.M=；|O外|g71=2然正=：,解得公［,即』g,

IIA1—.1x_i_1,

所以直线PQ的方程为y=gx+l或y=—卧+1,由厂2,得Q(4,3)；

卜=3

由bT+i,得。(T3)；

j=3

(3)易知直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为x=m(y-1),

二+匚］

由，43,得（4+3济）（尸1）2+8（万1）-8=0,

x=/w（y-l）

QQ

设4（%，X），3（々,%）,则乂T+必-1=-4+3ffl2»（M-1）,（必-1）