2023年高考数学二轮复习专题19不等式选讲讲学案理

专题19不等式选讲预测2023年对不等式选讲的考查仍以绝对值不等式的解法、性质为主，解含两个绝对值号的不等式是解答题题型的主流，并配以不等式的证明和函数图象的考查.一、含有绝对值不等式的解法1.|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法(1)假设c>0，那么|ax＋b|≤c等价于－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c等价于ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a，b的值解出即可.(2)假设c<0，那么|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R.2.|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解.(1)零点分区间法的一般步骤①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排列，把实数集分为假设干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号得假设干个不等式，解这些不等式，求出解集；④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集.(2)利用绝对值的几何意义由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|<c(c>0)或|x－a|－|x－b|>c(c>0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观.3.|f(x)|>g(x)，|f(x)|<g(x)(g(x)>0)型不等式的解法(1)|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x).(2)|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x).二、不等式的证明1.证明不等式的常用结论(1)绝对值的三角不等式定理1：假设a，b为实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0，等号成立.定理2：设a，b，c为实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.推论1：||a|－|b||≤|a＋b|.推论2：||a|－|b||≤|a－b|.(2)三个正数的算术—几何平均不等式：如果a，b，c∈R＋，那么eq\f(a＋b＋c,3)≥eq\r(3,abc)，当且仅当a＝b＝c时等号成立.(3)根本不等式(根本不等式的推广)：对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)≥eq\r(n,a1·a2·…·an)，并且仅当a1＝a2＝…＝an时等号成立.(4)一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，那么(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n))·(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋…＋beq\o\al(2,n))≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，并且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立.2.证明不等式的常用方法(1)比拟法一般步骤：作差—变形—判断—结论.为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以判断其正负.(2)综合法利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法.即“由因导果〞的方法.(3)分析法证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法.即“执果索因〞的方法.(4)反证法和放缩法①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫作反证法.②证明不等式时，通过把不等式中的某些局部的值放大或缩小，简化不等式，从而到达证明的目的，这种方法叫作放缩法.考点一解绝对值不等式例1．【2023课标3，文23】函数=│x+1│–│x–2│.〔1〕求不等式≥1的解集；〔2〕假设不等式≥x2–x+m的解集非空，求实数m的取值范围.【答案】〔1〕；〔2〕【变式探究】【2023高考新课标1卷】〔本小题总分值10分〕,选修4—5：不等式选讲函数.〔I〕在答题卡第〔24〕题图中画出的图像；〔II〕求不等式的解集．【答案】〔I〕见解析〔II〕(2023·重庆，16)假设函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，那么实数a＝________.【答案】4或－6【解析】由绝对值的性质知f(x)的最小值在x＝－1或x＝a时取得，假设f(－1)＝2|－1－a|＝5，a＝eq\f(3,2)或a＝－eq\f(7,2)，经检验均不适宜；假设f(a)＝5，那么|x＋1|＝5，a＝4或a＝－6，经检验合题意，因此a＝4或a＝－6.【变式探究】不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________．【答案】{x|x≤－3或x≥2}考点二不等式的证明例2．【2023课标II，文23】。证明：〔1〕；〔2〕。【答案】(1)证明略；(2)证明略。【解析】解：〔2〕因为所以，因此【变式探究】【2023高考新课标2文数】选修4—5：不等式选讲函数，为不等式的解集．〔Ⅰ〕求；〔Ⅱ〕证明：当时，．【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕详见解析.由(1)得eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c)＋eq\r(d).②假设eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c)＋eq\r(d)，那么(eq\r(a)＋eq\r(b))2＞(eq\r(c)＋eq\r(d))2，即a＋b＋2eq\r(ab)＞c＋d＋2eq\r(cd).因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|＜|c－d|.综上，eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c)＋eq\r(d)是|a－b|＜|c－d|的充要条件．【变式探究】q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1，2，…，n}．(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A；(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1，2，…，n.证明：假设an<bn，那么s<t.1.【2023课标1，文23】函数，．〔1〕当时，求不等式的解集；〔2〕假设不等式的解集包含[–1，1]，求的取值范围．【答案】〔1〕；〔2〕．【解析】〔1〕当时，不等式等价于.①当时，①式化为，无解；当时，①式化为，从而；当时，①式化为，从而.所以的解集为.〔2〕当时，.所以的解集包含，等价于当时.又在的最小值必为与之一，所以且，得.所以的取值范围为.2.【2023课标II，文23】。证明：〔1〕；〔2〕。【答案】(1)证明略；(2)证明略。【解析】3.【2023课标3，文23】函数=│x+1│–│x–2│.〔1〕求不等式≥1的解集；〔2〕假设不等式≥x2–x+m的解集非空，求实数m的取值范围.【答案】〔1〕；〔2〕1.【2023高考新课标1卷】〔本小题总分值10分〕,选修4—5：不等式选讲函数.〔I〕在答题卡第〔24〕题图中画出的图像；〔II〕求不等式的解集．【答案】〔I〕见解析〔II〕2.【2023高考新课标2文数】选修4—5：不等式选讲函数，为不等式的解集．〔Ⅰ〕求；〔Ⅱ〕证明：当时，．【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕详见解析.3.【2023高考新课标3文数】选修4-5：不等式选讲函数．〔I〕当时，求不等式的解集；〔II〕设函数．当时，，求的取值范围．【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕．【解析】〔Ⅰ〕当时，.解不等式得.因此的解集为.〔Ⅱ〕当时，，当时等号成立，所以当时，等价于.①当时，①等价于，无解.当时，①等价于，解得.所以的取值范围是.1．(2023·陕西，24)关于x的不等式|x＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}．(1)求实数a，b的值；(2)求eq\r(at＋12)＋eq\r(bt)的最大值．2．(2023·新课标全国Ⅰ，24)函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)假设f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.1.【2023高考安徽卷文第9题】假设函数的最小值为3，那么实数的值为〔〕A.5或8B.或5C.或D.或8【答案】D【解析】由题意，①当时，即，，那么当时，，解得或〔舍〕；②当时，即，，那么当时，，解得〔舍〕或；③当时，即，，此时，不满足题意，所以或，应选D.2.【2023陕西高考文第15题】设，且，那么的最小值为【答案】【解析】由柯西不等式得：，所以，得所以，故答案为。3.【2023高考广东卷文第9题】不等式的解集为.【答案】.4.【2023高考湖南卷第13题】假设关于的不等式的解集为，那么________.【答案】-3【解析】因为等式的解集为,所以为方程的根,即,故填.5.【2023江西高考文第11题】对任意,的最小值为〔〕A.B.C.D.【答案】C6.【2023重庆高考文第16题】假设不等式对任意实数恒成立，那么实数的取值范围是____________.【答案】【解析】令，其图象如下所示〔图中的实线局部〕由图可知：由题意得：，解这得:所以答案应填：7.【2023高考福建文第21〔3〕题】定义在R上的函数的最小值为.〔I〕求的值；〔II〕假设为正实数，且，求证：.【答案】〔I〕;〔II〕参考解析〔II〕由〔I〕知,又因为是正数,所以,即.9.【2023高考江苏第21题】，证明【答案】证明见解析.【解析】∵，∴,,∴.10.【2023高考江苏第21B题】矩阵，向量，是实数，假设，求的值.【答案】【解析】由题意得，解得.∴.11.【2023高考辽宁文第24题】设函数，，记的解集为M，的解集为N.〔Ⅰ〕求M；(Ⅱ)当时，证明：.【答案】〔1〕；〔2〕详见解析.【解析】故.当时，，于是.12.【2023高考全国1第24题】假设，且.〔Ⅰ〕求的最小值；〔Ⅱ〕是否存在，使得？并说明理由.【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕不存在．【解析】〔I〕由，得，且当时取等号．故，且当时取等号．所以的最小值为．〔II〕由〔I〕知，．由于，从而不存在，使得．13.【2023高考全国2第24题】设函数=〔Ⅰ〕证明：2；〔Ⅱ〕假设，求的取值范围.【答案】〔1〕见解析〔2〕【解析】〔1〕证明：由绝对值不等式的几何意义可知：，当且仅当时，取等号，所〔2023·新课标I理〕〔24〕〔本小题总分值10分〕选修4—5：不等式选讲函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)=x+3.〔Ⅰ〕当a=-2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；〔Ⅱ〕设a＞－1，且当x∈[－eq\f(a,2)，eq\f(1,2))时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围.【答案】【解析】〔1〕构造函数，作出函数图像，观察可知结论；〔2〕利用别离参数法进行求解.〔2023·陕西理〕A.(不等式选做题)a,b,m,n均为正数,且a＋b＝1,mn＝2,那么(am＋bn)(bm＋an)的最小值为.【答案】2【解析】由柯西不等式可得〔2〕〔不等式选做题〕在实数范围内，不等式的解集为___________.【答案】【解析】因此解集为.〔2023·福建理〕(3).(本小题总分值7分)选修4-5：不等式选讲设不等式的解集为A,且〔Ⅰ〕求的值〔Ⅱ〕求函数的最小值【答案】〔Ⅰ〕因为，且，所以，且解得，又因为，所以〔Ⅱ〕因为当且仅当，即时取得等号，所以的最小值为〔2023·辽宁理〕24．〔本小题总分