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学必求其心得,业必贵于专精学必求其心得,业必贵于专精PAGE8-学必求其心得,业必贵于专精第2讲不等式选讲时间:25分钟分值:40分1.已知f(x)=|x+1|+|x—1|,不等式f(x)〈4的解集为M。(1)求M;(2)当a,b∈M时,证明:2|a+b|<|4+ab|。2。(2017安徽合肥质量检测(一))已知函数f(x)=|x-m|—|x+3m|(m>0)。(1)当m=1时,求不等式f(x)≥1的解集;(2)对于任意实数x,t,不等式f(x)<|2+t|+|t-1|恒成立,求m的取值范围。
3。(2017山西太原模拟)已知函数f(x)=|x-a|+(a≠0)。(1)若不等式f(x)—f(x+m)≤1恒成立,求实数m的最大值;(2)当a<时,函数g(x)=f(x)+|2x—1|有零点,求实数a的取值范围。4.(2017河南郑州质量预测(二))已知不等式|2x-3|<x与不等式x2-mx+n<0的解集相同.(1)求m-n;(2)若a,b,c∈(0,1),且ab+bc+ac=m—n。求a+b+c的最小值。
答案精解精析1.解析(1)f(x)=|x+1|+|x-1|=当x<—1时,由—2x〈4,得—2<x〈—1;当-1≤x≤1时,f(x)=2<4;当x〉1时,由2x<4,得1〈x<2。∴M=(-2,2).(2)证明:a,b∈M,即—2〈a〈2,-2〈b〈2,∴4(a+b)2—(4+ab)2=4(a2+2ab+b2)-(16+8ab+a2b2)=(a2-4)(4—b2)〈0,∴4(a+b)2〈(4+ab)2,∴2|a+b|〈|4+ab|。2。解析(1)f(x)=|x-m|—|x+3m|=当m=1时,f(x)=则不等式等价于或或解得x∈⌀或-3〈x≤-或x≤-3,∴不等式f(x)≥1的解集为.(2)不等式f(x)〈|2+t|+|t—1|对任意的实数t,x恒成立,等价于对任意的实数x,f(x)〈(|2+t|+|t-1|)min恒成立,即f(x)max<(|2+t|+|t-1|)min,∵f(x)=|x—m|—|x+3m|≤|(x—m)—(x+3m)|=4m,|2+t|+|t—1|≥|(2+t)—(t-1)|=3,∴4m〈3,又m〉0,∴0<m〈。3。解析(1)∵f(x)=|x—a|+,∴f(x+m)=|x+m-a|+,∴f(x)—f(x+m)=|x—a|—|x+m—a|≤|m|,∴|m|≤1,∴-1≤m≤1,∴实数m的最大值为1.(2)当a〈时,g(x)=f(x)+|2x—1|=|x-a|+|2x—1|+=∴g(x)在上单调递减,在上单调递增.又函数g(x)有零点,∴g(x)min=g=—a+=≤0,∴或∴—≤a<0,∴实数a的取值范围是.4.解析(1)|2x-3|<x⇒x>0且-x<2x—3〈x⇒1<x〈3,∴x=1,x=3是方程x2—mx+n=0的两个根。∴∴m—n=1。(2)由(1)得ab+bc+ac=1.(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=+++2.∵≥ab,≥bc,≥ac,∴++≥ab+bc+ac=1,∴(a+b+c)2=+++2≥3。∴a+b+c的最小值是。
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