微专题二　中点模型

第四章三角形微专题二中点模型常见的中点模型1.已知三角形两边或三边上的中点→构造中位线→相似三角形；2.已知直角三角形斜边中点→构造斜边中线→等腰三角形；3.已知等腰三角形、等边三角形底边上的中点→三线合一→全等三角形；4.已知任意三角形一边上的中点→倍长中线、类中线（与中点有关的线段）→全等三角形（八字全等）.需要注意一些隐形的中点，如中心对称图形对称点连线的交点、圆中圆心是直径的中点等，出现中点的图形可以考虑用中点模型结合相关性质解决问题.

类型作法图示结论构造中位线在三角形中，当出现一边中点时，取另一边中点，构造中位线.如图，D是AB的中点，则取AC的中点E，连接DE类型作法图示结论构造中位线在三角形中，当出现两个中点，连接中点，构造相似三角形.如图，点D，E分别是AB，AC的中点，则连接DE类型作法图示结论构造中位线在三角形中，当出现三个中点时，连接各中点，构造平行四边形，同时也构造了相似比为1∶2的相似三角形.如图，点D，E，F分别是AB，AC，BC边上的中点，则连接DE，EF，DF类型作法图示结论等腰三角形“三线合一”在等腰三角形中，若出现底边的中点，可以考虑与顶角顶点相连用“三线合一”.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，则连接AD①BD＝CD；

②∠BAD＝∠CAD；③△ABD≌△ACD

类型作法图示结论直角三角形斜边上的中线在直角三角形中，若出现斜边上的中点，则连接直角顶点与中点，构造斜边上的中线；过中点作一条边的平行线可构造中位线.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB的中点，则连接CD；过D点作DE∥BC，交AC于点E，则DE是△ABC的中位线类型作法图示结论倍长中线如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，则延长AD到点E，使得ED＝AD，连接CE

倍长类中线如图，在△ABC中，D是BC的中点，点E是AB上一点，则作法一：延长ED到点F，使得DF＝DE，连接CF；作法二：过点C作CF∥AB，交ED的延长线于点F△BDE≌△CDF类型作法图示结论

▶类型1：构造中位线、倍长中线

思路点拨方法一（构造中位线法）：如图1，取AB的中点F，连接FM，FN.图1方法二（倍长中线法）：如图2，连接AM并延长至点P，使得MP＝AM，连接BP，PD.

↓易得△AME≌△PMB

↓BP＝AE＝2，∠ABP＝120°

↓BD＝2BP，∠PBD＝60°

↓

↓

图2▶类型2：等腰三角形“三线合一”

↓AM⊥BC↓

↓

思路点拨连接AM，由题意得▶类型3：直角三角形斜边上的中线【例3】如图，在△ABC中，BE，CF分别为边AC，AB上的高，D为BC的中点，DM⊥EF于点M.若BC＝10，DM＝3，则EF的长为

8

⁠.

8

BE⊥AC，CF⊥AB，D为BC的中点连接DF，DE↓

↓△DEF是等腰三角形DM⊥EF↓FM＝EM↓在Rt△FDM中，由勾股定理得FM＝4

思路点拨↓EF＝2FM＝8

▶类型1：构造中位线1.如图所示，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AC上的点，CE＝AB，AF＝EF，DF的延长线与BA的延长线相交于点G.求证：AG＝AF.

▶类型2：倍长中线

▶类型3：等腰三角形“三线合一”3.如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分∠DEB，F为CE的中点，连接AF，BF.求证：AF⊥BF.

∴∠AFB＝∠DFC＝90°，∴AF⊥BF.▶类型4：直角三角形斜边上的中线4.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DF⊥CE于点F，CD＝AE.若BD＝6，CD＝5，则△DCF的面积是（

C

）

A.10C.5C5.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB的中点.（1）如图1，E，F分别是AC，BC上的点，且AE＝CF，请判断△DEF的形状，并写出证明过程.图1解：（1）△DEF是等腰直角三角形.证明如下：

如图1，连接CD.

∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°.

解：（1）△DEF是等腰直角三角形.证明如下：如图1，连接CD.∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°.∵AC＝BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，∠FCD＝∠ACD＝45°，∴∠A＝∠ACD＝∠FCD，AD＝CD.又∵AE＝CF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF.∵∠ADE＋∠CDE＝90°，∴∠CDF＋∠CDE＝90°，即∠EDF＝90°.∴△DEF是等腰直角三角形.图1（2）如图2，若点E，F分别在CA，BC的延长线上，AE＝CF，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，写出完整的证明过程；若不成立，请说出理由.图2解：（2）（1）中的结论仍然成立.理由如下：如图2，连接CD.∵∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB的中点，∴∠CAD＝∠B＝45°，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，AD＝CD，∴∠DAE＝180°－∠CAD＝135°，∠DCF＝90°＋∠ACD＝135°，