概率论与数理统计 13-4节

第三节概率的基本性质和运算法则概率的公理化定义指出了概率的本质.对于任意可列个互不相容事件A1，A2，…，An…，有即概率具有1.非负性:2.规范性:3.完全可加性(也叫可列可加性）：性质1不可能事件Φ的概率等于0，即证：又性质2

任意有限个互不相容事件之和的概率，等于它们概率的和：（概率的有限可加性)证：即有限个互不相容事件和的概率等于它们概率的和推论3

若，则证：ΩABB-A推论2推论1

当A、B互斥时，而A与B－A互斥，性质3

对于任意两个事件A与B，有证：加法公式ＡＢAB而A与B－AB互斥又加法公式可推广到任意有限个事件(加奇减偶定理)P(A+B+C+D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)+P(D)－P(AB)－P(AC)－P(AD)－P(BC)－

P(BD)－P(CD)

＋P(ABC)＋P(ABD)＋P(ACD)＋P(BCD)－P(ABCD)性质4

如果可列个事件A1，A2，…，An…构成一个完备事件组，则有.证对于有限个事件构成的完备事件组，有同样的结果完备事件组的概率和等于1性质1

P（Φ）=0性质2

互不相容事件和的概率等于概率的和性质3

加法公式：P(A+B)＝P(A)＋P(B)－(AB)性质4

完备事件组的概率和为1.推论1

A、B互斥，P(A+B)=P(A)+P(B)推论2推论3

AB，则P（B-A）=P（B）-P（A）

互斥对立包含例解:设A1=“一等品”,A2=“二等品”,合格品率为废品率为

一批产品分一等品,二等品和废品,若一等品的概率为0.74,二等品的概率为0.21,求这批产品的合格品的概率与废品的概率(即合格品率与废品率).（A1与A2互斥）P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=0.74+0.21=0.95

例如图所示的线路中,元件a发生故障的概率为0.08,元件b发生故障的概率为0.05,而元件a与b同时发生故障的概率为0.004,求线路中断的概率.解:设A=“元件a发生故障”,B=“元件b发生故障”.则AB=“元件a与b同时发生故障”,A+B=“元件a与b至少一个发生故障”=“线路中断”.∴P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.08+0.05-0.004=0.126ab例设某单位订有甲乙丙三种报纸,据估计,该单位职工中,有20%读甲报,16%读乙报,14%读丙报;其中8%兼读甲乙报,5%兼读甲丙报,4%兼读乙丙报;又有2%兼读三种报,求该单位职工至少读一种报纸的概率.解:设A1=“读甲报”,A2=“读乙报”,A3=“读丙报”,P(A1+A2+A3)=则A1A2=“兼读甲乙报”,A1A3=“兼读甲丙报”,A2A3=“兼读乙丙报”,A1A2A3=“兼读甲乙丙报”,P(A1)+P(A2)+P(A3)

-P(A1A2)-P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3)=0.2+0.16+0.14-0.08-0.05-0.04+0.02=0.35AAB

例

假设A发生的概率为0.6,A与B都发生的概率为0.1,A与B都不发生的概率为0.15,求(1)A发生但B不发生的概率.(2)B发生但A不发生的概率.(3)A与B至少有一个发生的概率.BA-B=A-AB解:已知=0.4–0.15=0.25(3)事件“A和B至少有一个发生”的概率:注此题也可以先求(3),再利用P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)求出P(B)=0.85-0.6＋0.1＝0.35从而P(B-A)=P(B)-P(AB)=0.35-0.1=0.25(2)B发生但A不发生的概率:已知或例(补充）有r个人，设每个人的生日是365天的任何一天是等可能的，试求事件“至少有两人同生日”的概率.

为求P(A),先求P()解：令A={至少有两人同生日}={r个人的生日都不同}则

美国数学家伯格米尼曾经做过一个别开生面的实验:在一个盛况空前、人山人海的世界杯足球赛赛场上，他随机地在某号看台上召唤了22个球迷，请他们分别写下自己的生日，结果竟发现其中有两人同生日.

用上面的公式可以计算出22个球迷中至少有两人同生日的概率为0.476.趣例r个人中至少有两人同生日

这个概率不算小，因此它的出现不值得奇怪.计算后发现，这个概率随着球迷人数的增加而迅速地增加，如下页表所示：

人数至少有两人同生日的概率

200.411210.444220.476230.507240.538300.706400.891500.970600.994

当人数超过23时，打赌说至少有两人同生日是有利的.讨论:(配对问题）n对夫妻参加假面舞会，男女带不同的面具,男人从女人中找一个舞伴,问“至少有两人恰为夫妻”（事件A）的概率是多少？正确的答案是：比我们想像中的要小!设表示第个男人挑到自己的妻子共n个式子共个式子加法公式小结本节要重点掌握的是加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当A、B互斥时，有P(A+B)=P(A)+P(B)对任意事件A，公式有助于求较复杂事件的概率。当AB时，P(B－A)＝P(B)－P(A)可用来求差的概率。长江三峡之巫峡课间休息第四节条件概率

在解决许多概率问题时，往往需要在某些附加信息(条件)下求事件的概率.一、条件概率1.条件概率的概念例如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，这个概率记作P(A|B)，称为A对B的条件概率.

一般P(A|B)≠P(A)

而P(A)称为无条件概率或原概率.例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，

B={掷出偶数点}，求P(A)和P(A|B)．掷骰子B发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减的样本空间中A所含样本点个数P(A)

又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品.现从这10件中任取一件，求它是一等品的概率；如果已知取到的是正品，求它是一等品的概率。

B={取到正品}设A={取到一等品}，P(A|B)B发生后的缩减样本空间所含样本点总数

在缩减的样本空间中A所含样本点个数

以上两例中，计算P(A)是以整个样本空间为考虑背景的．

而在计算P(A|B)时，大背景没变，只是加上“事件B已发生”这个新的条件.

这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.

由此,我们得出求条件概率的第一种方法，即:根据事件的具体含义，在缩减了的样本空间中计算.例

某种动物活到10岁的概率为0.7，而活到12岁的概率为0.56.求现在年龄为10岁的这种动物活到12岁的概率．解设A={活到10岁}，B={活到12岁}所求为P(B|A).下面我们给出求条件概率的公式定理1.1证：仅以古典概型的情况证明（1）式设试验E的基本事件总数为n，事件B包含m个基本事件，事件AB包含r个基本事件，

ABABrmn例

某种动物活到10岁的概率为0.7，而活到12岁的概率为0.56.求现在年龄为10岁的这种动物活到12岁的概率．解设A={活到10岁}，B={活到12岁}所求为P(B|A).1、无条件概率P(A)实际上也是一种特殊的条件概率，它的条件是Ω．即P(A)=P(A|Ω).注：２、条件概率具有无条件概率所具有的所有性质.比如第三节学习的一些性质：推论2推论1

当A、B互斥时，1、无条件概率P(A)实际上也是一种特殊的条件概率，它的条件是Ω．即P(A)=P(A|Ω).注：２、条件概率具有无条件概率所具有的所有性质.①非负性：0≤P(A|B)≤1;②规范性：P(Ω|B)=1；③可列可加性：比如公理化定义中的三条公理：对于任意可列个互不相容事件A1，A2，…，An…，有再如第三节学习的一些性质：推论2推论1

当A、B互斥时，３、条件概率P(A|B)与无条件概率P(A)之间的大小关系一般地，P(A|B)和P(A)不相等。但到底谁大谁小呢？下面分情况讨论。若P(AB)=0.38若P(AB)=0.20若P(AB)=0.10结论不确定，且无包含关系．设P(A)=0.4,P(B)=0.5,让P(AB)取不同值二、乘法公式注意P(AB)与P(A|B)的区别！请看下面的例子例3

甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300件是乙厂生产的.而在这300个零件中，有189个是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？所求为P(AB).甲、乙共生产1000个189个是标准件300个乙厂生产300个乙厂生产设B={零件是乙厂生产}A={是标准件}所求为P(AB).设B={零件是乙厂生产}A={是标准件}若改为“发现它是乙厂生产的,问它是标准件的概率是多少?”求的是P(A|B).B发生,在P(AB)中作为结果;在P(A|B)中作为条件.甲、乙共生产1000个189个是标准件300个乙厂生产P(A1A2…An）=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1)推广到多个事件的乘法公式:例4(P22)

一批零件共100件，其中次品10件，每次任取一件，无放回地取三次，求“第一、二次取到次品，第三次取到正品”的概率.解设表示第一次取得废品，表示第二次取得废品，表示第三次取得正品，则所求概率为乘法公式应用举例

一个罐子中包含b个白球和r个红球.随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.这种手续进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.

（波里亚罐子模型）b个白球,r个红球所求概率为P(W1W2R3R4)

解:设Wi={第i次取到白球},i=1,2,3,4Rj={第j次取到红球}，j=1,2,3,4b个白球,r个红球求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.

当c>0时，每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率.这是一个传染病模型.每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.=P(W1)P(W1W2R3R4)P(W2|W1)

P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)例5(P22)假设在空战中，若甲机先向乙机开火，则击落乙机的概率为0.2，若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率为0.3；若甲机亦未被击落，再次进攻乙机，击落乙机的概率为0.4，在这几个回合中，分别计算甲、乙被击落的概率。解甲0.2乙0.30.4已知甲0.2乙0.30.4已知一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.

入场券5张同样的卡片，只有一张上写有“入场券”，其余的什么也没写.将它们放在一起，洗匀，让5个人依次抽取.“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”后抽的确比先抽吃亏吗？让我们用概率论的知识来计算一下。

我们用Ai表示“第i个人抽到入场券”

i＝1,2,3,4,5.显然，P(A1)=1/5，P()＝4/5第1个人抽到入场券的概率是1/5.也就是说，则表示“第i个人未抽到入场券”因为若第2个人抽到了入场券，第1个人肯定没抽到.由于由乘法公式=(4/5)(1/4)=1/5即第二个人抽到入场券的概率也是1/5.

这就是有关抽签顺序问题的正确解答.

同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到.因此=(4/5)(3/4)(1/3)=1/5

继续做下去就会发现,每个人抽到“入场券”的概率都是1/5.抽签不必争先恐后.也就是说，

监狱看守通知三个囚犯,在他们中要随机地选出一个处决,而把另外两个释放.囚犯甲请求看守秘密地告诉他,另外两个囚犯中谁将获得自由.NO！因为我已经知道他们两人中至少有一人要获得自由，所以你泄露这点消息是无妨的.趣例如果你知道了你的同伙中谁将获释，那么，你自己被处决的概率就由1/3增加到1/2,因为你就成了剩下的两个囚犯中的一个了.

对于看守的上述理由,你是怎么想的?解：看守说得不对.理由如下：

在这个问题里,在三个囚犯中要随机地选出一个处决,而把另外两个释放，由于随机性，每人被处决的概率是相同的。均为1/3,这是客观存在的事实。不论看守泄露消息与否，囚犯甲被处决的概率不变。看守所说的实际上是一个条件概率。

请回答.

条件概率:1.用定义计算2.在缩减后的样本空间中计算计算方法：P(AB)=P(B)P(A|B)乘法公式:P(AB)=P(A)P(B|A)P(A1A2…An)=多个事件的乘法公式:P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)…P(An|A1A2…An-1)

总结显然P(A|B)=P(A)这就是说,事件B的发生,并不影响事件A发生的概率1、两个事件的独立性B={第一次掷出6点}，A={第二次掷出6点}，先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，设(三)事件的独立性则P(A)=P(A|B)=,这时称事件A对事件B独立.

定义1.5

如果事件B的发生，不影响事件A发生的概率，即

P(A|B)=P(A)则称事件A对B独立。

事件A对事件B独立:

P(A|B)=P(A)事件B对事件A独立:

P(B|A)=P(B)如果A对B独立，那么反过来B对A是否也独立呢？即B对A也独立。因此，事件A与事件B是相互独立的。P(A|B)=P(A)P(B|A)=P(B)定理1.4

若两事件A、B具有正概率，则A、B相互独立的充要条件是

P(AB)=P(A)P(B)

当事件A、B独立时，有P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B)

用P(AB)=P(A)P(B)

刻划独立性，比用P(A|B)=P(A)

或

P(B|A)=P(B)

更方便。

在更多的教科书上,用P(AB)=P(A)P(B)定义独立性.由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，故认为A、B独立.例如甲、乙两人向同一目标射击，记

A={甲命中},B={乙命中}，A与B是否独立？在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否相互独立.

一批产品共n件，从中抽取2件，设

Ai={第i件是合格品}i=1,2若抽取是有放回的,则A1与A2独立.

因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响.又如：因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响.若抽取是无放回的，则A1与A2不独立.例(补充)

从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记

A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}可见,P(AB)=P(A)P(B)

由于P(A)=4/52=1/13,说明事件A、B独立.问事件A、B是否独立？解P(AB)=2/52=1/26P(B)=26/52=1/2也可以通过计算条件概率去判断:

A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}P(A)=1/13P(A|B)=2/26=1/13P(A)=P(A|B)说明事件A、B独立.=P(A)[1-P(B)]=P(A)P()=P(A)-P(AB)P(A)=P(A-A

B)故A与独立.=P(A)-P(A)P(B)仅证A与独立：推论若两事件A、B独立，则

也相互独立.例2（P24）甲乙两射手同时独立地向某一目标各射击一次,命中目标的概率分别为0.9和0.8,求下列事件的概率:(1)两人同时命中;(2)甲中乙不中;(3)甲与乙恰有一人命中;(4)至少有一人命中.解设A=“甲命中目标”,B=“乙命中目标”则P(A)=0.9P(B)=0.8（1）P(AB)=P(A)P(B)=0.9×0.8=0.72(4)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.8+0.9-0.72=0.98甲中乙不中乙中甲不中甲乙都中甲乙都不中

一位老战士向新伙伴介绍经验；“当敌人向我们的阵地打炮时，你最好滚到新弹坑里藏身.因为短时间内不大可能有两发炮弹落到同一个地点！”他说得对吗？不对！

因为他没有认识到独立事件的“独立”性.一发炮弹落在什么地方，和另一发炮弹之间没有关系，它们是相互独立的.

条件概率:1.用定义式计算2.在缩减后的样本空间中计算计算方法：P(AB)=P(B)P(A|B)乘法公式:P(AB)=P(A)P(B|A)P(A1A2…An)=多个事件的乘法公式:P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)…P(An|A1A2…An-1)

复习两个事件的独立性：P(A|B)=P(A)P(B|A)=P(B)P(AB)=P(A)P(B)

定义1.6如果n个事件A1、A2、…、An中的任一事件发生的概率，都不受其它一个或几个事件发生的影响，那么就称事件A1，A2，…，An相互独立.1、n个事件中任意两个相互独立,即两两独立；二、n个事件的独立性n个事件相互独立≠n个事件两两独立。定义1.6包含两层涵义：2、n个事件中任意一个与其余事件中任意k个事件的积事件都相互独立；

n个事件的独立性的等价定义：

设A1,A2,…,An是

n个事件，如果对于其中的任意k(1<k

n)个不同事件,等式

都成立，则称n个事件相互独立.

即任意k个不同事件的乘积的概率等于其概率的乘积4个事件相互独立：4个事件两两独立：两两独立是相互独立的必要但不充分条件相互独立一定两两独立两两独立不一定相互独立定理1.5

三个事件A、B、C相互独立的充要条件是

P(AB)=P(A)P(B)

P(AC)=P(A)P(C)

P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)两两独立相互独立

多个事件相互独立常由其具体意义来判断。例3（P25）

一个袋内装有4个球，其中全红全黑全白色的球各一个，另一个是涂有红、黑、白三色的彩球，从中任取一球，记事件A、B、C分别表示取到的球上涂有红色、黑色、白色，判断三事件的独立性..解:P(A)=P(B)=P(C)=1/2

P(AB)=1/4=P(A)P(B)所以，不能认为这三事件相互独立.

P(AC)