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文档简介

山东省青岛市胶州第六中学2021年高三数学理期末试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.将函数的图像上所有的点向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是

)A.

B.C.D.参考答案:D2.以下四个命题中:

①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样;

②若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1;

③根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的;

④若某项测量结果服从正态分布N(1,),且P(≤4)=0.9,则P(≤-2)=0.1.

其中真命题的个数为

A.1

B.2

C3

D.4参考答案:B3.某中学生为了能观看2008年奥运会,从2001年起,每年2月1日到银行将自己积攒的零用钱存入元定期储蓄,若年利率为且保持不变,并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期,到2008年将所有的存款及利息全部取回,则可取回钱的总数(元)为

A.

B.

C.

D.

参考答案:答案:D4.实数满足,则的值为(

)A.8

B.

C.0

D.10参考答案:A5.已知命题p1:函数在R上为增函数,p2:函数在R上为减函数,则在命题和中,真命题是(

)A.

B.

C.

D.参考答案:C6.将函数的图象F按向量a=,平移得到图象F′,若F′的一条对称轴是直线,则的一个可能取值是(A)

(B)

(C)

(D)参考答案:B7.已知函数f(x)=若f(2﹣x2)>f(x),则实数x的取值范围是(

)A.(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) B.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞) C.(﹣1,2) D.(﹣2,1)参考答案:D【考点】其他不等式的解法.【专题】计算题.【分析】先通过基本函数得到函数的单调性,再利用单调性定义列出不等式,求出不等式的解集即可得到实数x的范围.【解答】解:易知f(x)在R上是增函数,∵f(2﹣x2)>f(x)∴2﹣x2>x,解得﹣2<x<1.则实数x的取值范围是(﹣2,1).故选D.【点评】本题主要考查利用函数的单调性来解不等式,这类题既考查不等式的解法,也考查了函数的性质,这也是函数方程不等式的命题方向,应引起足够的重视.8.如图所示,点P从点A处出发,按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周,O为ABC的中心,设点P走过的路程为x,△OAP的面积为f(x)(当A、O、P三点共线时,记面积为0),则函数f(x)的图象大致为()A.B.C.D.参考答案:A【分析】由三角形的面积公式,结合图象可知需分类讨论求面积,从而利用数形结合的思想方法求得.【解答】解:由三角形的面积公式知,当0≤x≤a时,f(x)=?x??a=ax,故在[0,a]上的图象为线段,故排除B;当a<x≤a时,f(x)=?(a﹣x)??a=a(a﹣x),故在(a,a]上的图象为线段,故排除C,D;故选A.【点评】本题考查了分类讨论的思想与数形结合的思想应用,同时考查了三角形面积公式的应用.9.已知函数f(x)=若f(2-x2)>f(x),则实数x的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(2,+∞)

B.(-∞,-2)∪(1,+∞)

C.(-1,2)

D.(-2,1)参考答案:D10.若复数满足,则的实部为(

)A.

B.

C.1

D.参考答案:A由,得,则的实部为,故选A.考点:复数的代数运算二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图,长方形的四个顶点为O(0,0),A(2,0),B(2,4),C(0,4),曲线经过点B.现将一质点随机投入长方形OABC中,则质点落在图中阴影区域的概率是

参考答案:因为B(2,4)在曲线上,所以,解得,所以曲线方程为,因为,所以阴影部分的面积为,所以质点落在图中阴影区域的概率是。12.(5分)对a,b∈R,记,函数的最大值为参考答案:1考点: 函数零点的判定定理.分析: 先去掉函数中的绝对值,然后表示出函数f(x)的解析式,最后求函数的最大值即可.解答: 解:由题意知=∴当x<﹣2时,f(x)=x+1<﹣1当﹣2≤x≤2时,﹣1≤f(x)≤1当x>2时,f(x)=3﹣x<1综上所述,函数f(x)的最大值为1故答案为:1点评: 本题主要考查函数函数最值问题.含绝对值的函数要去掉绝对值考虑问题.13.(1+2x2)(x﹣)8的展开式中常数项为.参考答案:﹣42【考点】二项式定理的应用.【分析】将问题转化成的常数项及含x﹣2的项,利用二项展开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为0,﹣2求出常数项及含x﹣2的项,进而相加可得答案.【解答】解:先求的展开式中常数项以及含x﹣2的项;由8﹣2r=0得r=4,由8﹣2r=﹣2得r=5;即的展开式中常数项为C84,含x﹣2的项为C85(﹣1)5x﹣2∴的展开式中常数项为C84﹣2C85=﹣42故答案为﹣4214.若不等式对任意的,恒成立,则实数的取值范围是

.参考答案:

15.函数的图像向右平移个单位后,与函数的图像重合,则___________.参考答案:略16.设的反函数为,若函数的图像过点,且,

。参考答案:略17.若函数,记,

,则

参考答案:,,,由归纳法可知。三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知.(1)若,对任意的,都有成立,求实数的取值范围;(2)设,若任意,使得成立,求的最小值,当取得最小值时,求实数的值.参考答案:(1);(2)当时,取得最小值为.试题解析:(1),对于恒有成立,∴,解得,...........6分(2)若任意,使得成立,又的对称轴为,在此条件下时,,∴,及得,于是,当且仅当时,取得最小值为29..................12分考点:1.二次函数的图象与性质;2.函数与不等式.19.(本小题满分12分)在△ABC中,已知a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,(I)求角A的大小;(II)求函数的值域.参考答案:20.(本小题12分)在如图所示的多面体ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,AC=AD=CD=DE=2,AB=1,G为AD中点.(1)请在线段CE上找到点F的位置,使得恰有直线BF∥平面ACD,并证明这一事实;(2)求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小;(3)求点G到平面BCE的距离.参考答案:以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系,使得轴和轴的正半轴分别经过点A和点E,则各点的坐标为,,

,,,

(1)点F应是线段CE的中点,下面证明:

设F是线段CE的中点,则点F的坐标为,∴,

显然与平面平行,此即证得BF∥平面ACD;

……4分

(2)设平面BCE的法向量为,

则,且,

由,,

∴,不妨设,则,即,

∴所求角满足,∴;

……8分

(3)由已知G点坐标为(1,0,0),∴,

由(2)平面BCE的法向量为,

∴所求距离.

……12分

略21.已知函数f(x)=x﹣+alnx(a∈R).(1)若函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;(2)已知g(x)=x2+(m﹣1)x+,m≤﹣,h(x)=f(x)+g(x),当时a=1,h(x)有两个极值点x1,x2,且x1<x2,求h(x1)﹣h(x2)的最小值.参考答案:【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的极值.【分析】(1)利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可.(2)求出函数h(x)的表达式,求出函数h(x)的导数,利用函数极值,最值和导数之间的关系进行求解.【解答】解:(1)∵f(x)=x﹣+alnx,∴f′(x)=1++,∵f(x)在[1,+∞)上单调递增,∴f′(x)=1++≥0在[1,+∞)上恒成立,∴a≥﹣(x+)在[1,+∞)上恒成立,∵y=﹣x﹣在[1,+∞)上单调递减,∴y≤﹣2,∴a≥﹣2;(2)h(x)=f(x)+g(x)=lnx+x2+mx,其定义域为(0,+∞),求导得,h′(x)=,若h′(x)=0两根分别为x1,x2,则有x1?x2=1,x1+x2=﹣m,∴x2=,从而有m=﹣x1﹣,∵m≤﹣,x1<x2,∴x1∈[,1]则h(x1)﹣h(x2)=h(x1)﹣h()=2lnx1+(﹣)+(﹣x1﹣)(x1﹣),令φ(x)=2lnx﹣(x2﹣),x∈[,1].则[h(x1)﹣h(x2)]min=φ(x)min,φ′(x)=﹣,当x∈(,1]时,φ′(x)<0

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