多媒体技术之dct

离散余弦变换1．一维DCT变换2/3/20231二维DCT变换(1)二维DCT变换公式 一个N×N像块f(x,y)(x,y=0,1,…,N-1)的二维DCT定义为2/3/202324.5DCT变换编码DCT变换的矩阵2/3/202334.5DCT变换编码88DCT变换的矩阵2/3/202344.5DCT变换编码88DCT变换的矩阵的频谱特性2/3/202354.5DCT变换编码44DCT变换的矩阵2/3/202364.5DCT变换编码44DCT变换的矩阵的频谱特性2/3/202374.5DCT变换编码44和88DCT变换的多通道形式参考文献:ChenJiazhong,Gaoyi,SunWeiping.FlexiblePredictionBlockDecompositionwithMulti-ChannelFilterbanksforVideoCoding.IETJournalofImageProcessing.已录用2/3/20238JPEG标准中88DCT变换的量化矩阵4.5DCT变换编码2/3/20239JPEG标准中的变换和量化举例4.5DCT变换编码原始图像信号2/3/202310JPEG标准中的变换和量化举例4.5DCT变换编码经过变换的图像信号,也叫做变换系数2/3/202311JPEG标准中的变换和量化举例4.5DCT变换编码经过量化的变换系数2/3/202312JPEG标准中的变换和量化举例4.5DCT变换编码经过反量化的变换系数2/3/202313JPEG标准中的变换和量化举例4.5DCT变换编码经过反变换得到的图像重建信号2/3/202314原始信号和重建信号的比较4.5DCT变换编码2/3/202315DCT的MATLAB实现

第一种方法是使用函数dct2，该函数使用一个基于FFT的快速算法来提高当输入较大的输入方阵时的计算速度。dct2函数的调用格式如下：B=dct2(A,[MN])或

B=dct2(A,M,N)

其中，A表示要变换的图像,M和N是可选参数，表示填充后的图像矩阵大小。B表示变换后得到的图像矩阵。

2/3/202316DCT的MATLAB实现第二种方法使用由函数dctmtx返回的DCT变换矩阵，这种方法较适合于较小的输入方阵（如或方阵）。dctmtx的调用格式如下：D=dctmtx(N)其中，N表示DCT变换矩阵的维数，D为DCT变换矩阵。2/3/202317分块DCT继而利用blkproc函数完成分块操作。blkproc函数的调用格式入下：

B=blkproc(A,[mn],fun,P1,P2,...)

其中A为原始信号矩阵，[mn]为分块的大小，fun为对每一个分块x的操作规则，Pi是fun中调用的参数。对图像进行8×8DCT分块操作，得到的8×8分块DCT系数矩阵如下图。

2/3/202318K-L变换对于一般的线性变换Y=TX，如果变换矩阵T是正交矩阵，并且它是由原始图像数据矩阵X的斜方差矩阵S的特征向量所组成，则此式的变换称为K-L变换。这与我们以前介绍各种变换是不同的，它们的变换核是固定不变的。如JPEG中我们用的DCT变换，它的变换核是88DCT变换的矩阵。协方差是反映的变量之间的二阶统计特性，如果随机向量的不同分量之间的相关性很小，则所得的协方差矩阵几乎是一个对角矩阵。2/3/202319也就是说，我们应该设法将协方差矩阵的非对称元素化为零元素，就是设法将协方差矩阵对角化。也就是将原始数据集合变换到主分量空间(Y)使单一数据样本的互相关性降低到最低点。如何做？？？

2/3/202320线性代数证明，对于一个实对称矩阵Σ（即ΣT=Σ）的矩阵，必存在一个正交矩阵Q，使得其中对角矩阵Λ中的λ1λ2…..λn是实对角矩阵Σ的N个特征根。这给我们一个重要启示：2/3/202321通过正交变换能够将协方差矩阵（实对称矩阵）对角化，从而消除图像的相关性！！

向量X通过正交变换后的向量Y的协方差矩阵为λ的对角矩阵，说明向量X的分量间的相关性已被消除，即正交变换能消除存在相关性的冗余度，这是采用正交变换消除图像相关性的一个数学依据。通过正交矩阵T对向量X作正交变换Y=TX2/3/202322一维K-L变换2/3/202323K－L变换2/3/202324K－L变换2/3/202325K－L变换示例2/3/2023262/3/2023272/3/202328图像的K-L变换我们知道真彩色图像在matlab中是按三维矩阵来存储的，所以对真彩色图像的K-L变换我们要想办法从三维矩阵变成二维矩阵来处理。2/3/202329其中，m和n分别为波段数（或称变量数）和每幅图像中的像元数；矩阵中每一行矢量表示一个波段的图像。

2/3/202330K-L变换的具体过程

第一步，根据原始图像数据矩阵X，求出它的协方差矩阵S，X的协方差矩阵为：

（即为第i个波段的均值）Mf=[X1,X2……,Xm]T2/3/202331

第二步，求S矩阵的特征值λ和特征向量，并且成变换矩阵T。考虑特征方程：

式中，I为单位矩阵，U为特征向量。协方差矩阵为2/3/202332解上述的特征方程即可求出协方差矩阵S的各个特征值将其按

排列，求得各特征值对应的单位特征向量（经归一化）Uj：2/3/202333若以各特征方量为列构成矩阵，即U矩阵满足：UTU=UUT=I（单位矩阵），则U矩阵是正交矩阵。

U矩阵的转置矩阵即为所求的K-L变换的变换矩阵A。

有了变换矩阵A，将其代入2/3/2023342/3/202335经过K-L变换后，得到一组（m个）新的变量（即Y的各个行向量），它们依次被称为第一主成分、第二主成分、…第m主成分。这时若将Y矩阵的各行恢复为二维图像时，即可以得到m个主成分图像。K-L变换是一种线性变换，而且是当取Y的前p（p<m）个主成分经反变换而恢复的图像和原图像X在均方误差最小意义上的最佳正交变换。2/3/202336K-L变换特点

（1）由于K-L变换是正交线性变换，所以变换前后的方差总和不变，变换只是把原来的方差不等量的再分配到新的主成分图像中。

（2）第一主成分包含了总方差的绝大部分（一般在80%以上），其余各主成分的方差依次减小。

2/3/202337KL在matlab中的实现实例中要用到的函数reshape语法：

B=reshape(A,m,n)

按列优先提取A中的m*n个元素，返回这m*n结构的B矩阵。

A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9,10,11,12]B=reshape(A,6,2)

2/3/202338mean函数mean函数是求均值，其调用格式为mean（x，dim）例：A=[123;336;468;477];mean(A)（默认dim=1）就会求每一列的均值ans=3.00004.50006.0000用mean(A,2)就会求每一行的均值ans=2.00004.00006.00006.00002/3/202339eig函数MATLAB中使用函数eig计算特征值和特征矢量，有两种调用方法：e=eig(a),其中e是包含特征值的矢量；[v,d]=eig(a),其中v是一个与a相同的n×n阶矩阵，它的每一列是矩阵a的一个特征值所对应的特征矢量，d为对角阵，其对角元素即为矩阵a的特征值。2/3/202340例：计算特征值和特征矢量。a=[34

25

15;18

35

9;41

21

9]e=eig(a)[v,d]=eig(a)e=

68.5066

15.5122

-6.0187v=

-0.6227

-0.4409

-0.3105

-0.4969

0.6786

-0.0717

-0.6044

-0.5875

0.9479d=

68.5066

0

0

0

15.5122

0

0

0

-6.01872/3/202341Matlab中给一维向量排序是使用sort函数：sort（A），排序是按升序进行的，其中A为待排序的向量；若欲保留排列前的索引，则可用[sA,index]=sort(A)，排序后，sA是排序好的向量，index是向量sA中对A的索引。索引使排列逆运算成为可能。

2/3/202342MATLAB函数flipud（X）表示把1*N矩阵元素逆序排列。diag函数diag(D)%取D阵的对角元

2/3/202343K-L变换的最大优点是去相关性好，可用于数据压缩和图像旋转主要困难是由于协方差矩阵CX求特征值λ和特征向量解方程的计算量大，同时K-L变换是非分离的，二维不可分，一般情况下，K-L变换没有快速算法K-L变换优缺点2/3/202344奇异值分解设K为矩阵A的秩，则通过奇异值分解，矩阵A可以被分成三个矩阵：其中矩阵U是左奇异矩阵，V是右奇异矩阵，S是对角矩阵，其对角元素是矩阵A的奇异值，且满足s1≥s2≥…sK>0。在实际中一般保留前R个奇异值，从而达到降维去噪音的目的。

2/3/202345奇异值分解在matlab中的实现格式s=svd(X)%返回矩阵X的奇异值向量

[U,S,V]=svd(X)%返回一个与X同大小的对角矩阵S，两个正交矩阵U和V，且满足=U*S*V‘。若A为m×n阵，则U为m×m阵，V为n×n阵。奇异值在S的对角线上，非负且按降序排列。

[U,S,V]=svd(X,0)%得到一个“有效大小”的分解，只计算出矩阵U的前n

列，矩阵S的大小为n×n。2/3/202346K-L变换的具体过程如下：

第一步，根据原始图像数据矩阵X，求出它的协方差矩阵S，X的协方差矩阵为：

式中：（即为第i个波段的均值）2/3/202347S是一个实对称矩阵。

第二步，求S矩阵的特征值λ和特征向量，并且成变换矩阵T。考虑特征方程：

式中，I为单位矩阵，U为特征向量。2/3/202348解上述的特征方程即可求出协方差矩阵S的各个特征值将其按排列，求得各特征值对应的单位特征向量（经归一化）Uj：2/3/202349若以各特征方量为列构成矩阵，即U矩阵满足：UTU=UUT=I（单位矩阵），则U矩阵是正交矩阵。

U矩阵的转置矩阵即为所求的K-L变换的变换矩阵T。

有了变换矩阵T，将其代入Y=TX，则：2/3/202350式中Y矩阵的行向量为第j主成分。2/3/202351经过K-L变换后，得到一组（m个）新的变量（即Y的各个行向量），它们依次被称为第一主成分、第二主成分、…第m主成分。这时若将Y矩阵的各行恢复为二维图像时，即可以得到m个主成分图像。K-L变换是一种线性变换，而且是当取Y的前p（p<m）个主成分经反变换而恢复的图像和原图像X在均方误差最小意义上的最佳正交变换。2/3/202352它具有以下性质和特点：

（1）由于K-L变换是正交线性变换，所以变换前后的方差总和不变，变换只是把原来的方差不等量的再分配到新的主成分图像中。

（2）第一主成分包含了总方差的绝大部分（一般在80%以上），其余各主成分的方差依次减小。

2/3/202353K-L（Karhunen-Loeve）变换K-L（Karhunen-Loeve）变换也叫做主成分分析或主分量分析，是在统计特征基础上的多维（如多波段）正交线性变换，它也是遥感数字图像处理中最常用也是最有用的一种变换算法。

由于遥感图像的不同波段之间往往存在着很高的相关性，从直观上看，就是不同波段的图像很相