【创新方案】高考数学 第七章第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系 A

1．以下四个命题中，正确命题的个数是(

)①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④首尾依次相接的四条线段必共面．A．0

B．1C．2D．3解析：①正确，可以用反证法证明；②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面内．答案：B2．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是(

)A．平行或异面

B．相交或异面C．异面

D．相交解析：假设a与b是异面直线，而c∥a，则c显然与b不平行．(否则c∥b，则有a∥b，矛盾)；因此c与b可能相交或异面．答案：B3．对于直线m、n和平面α，下列命题中的真命题是(

)A．如果m⊂α、n⊄α，m，n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α、n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α、n∥α，m，n是共面直线，那么n∥mD．如果m⊂α、n∥α，m，n是异面直线，那么n与m相交解析：由图可知，A错误；由图可知，n与α可以平行，所以B错误；D显然错误，故选C.答案：C4．若直线l上有两点到平面α的距离相等，则直线l与平面α的关系是____________．解析：当这两点在α的同侧时，l与α平行；当这两点在α的异侧时，l与α相交．答案：平行或相交5．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：把正方体的平面展开图还原成原来的正方体如图所示，则AB⊥EF，EF与MN为异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．答案：①③1．平面的基本性质名称图示文字表示符号表示公理1如果一条直线上的

在一个平面内，那么这条直线在此平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒两点l⊂α名称图示文字表示符号表示公理2过

上的三点，有且只有一个平面A、B、C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A、B、C∈α不在一条直线名称图示文字表示符号表示公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们

过该点的公共直线P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l有且只有一条2．空间两直线的位置关系相交平行任何(1)(2)平行公理公理4：

的两条直线互相平行——空间平行线的传递性．(3)等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角

．平行于同一直线相等或互补(4)异面直线所成的角①定义：设a、b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的

叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：．锐角(或直角)3．直线与平面的位置关系位置关系图示符号表示公共点个数直线l在平面α内直线l与平面α相交直线l与平面α平行l⊂αl∩α＝Al∥α无数个一个0个4.平面与平面的位置关系位置关系图示符号表示公共点个数两平面平行两平面相交

＝l无数个(这些公共点均在交线l上)α∥βα∩β0个考点一平面的基本性质及平行公理的应用如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连接EH.(1)求AH∶HD；(2)求证：EH、FG、BD三线共点．考点二空间两条直线位置关系的判定如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由．(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．(2)是异面直线，理由如下：∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴B、C、C1、D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，∴D1、B、C、C1∈α，∴与ABCD－A1B1C1D1是正方体矛盾．∴假设不成立，∴D1B与CC1是异面直线．本例中，条件N改为：N分B1C1的比为1∶2则AM和CN是否是异面直线？请说明理由.解：是异面直线，理由如下：假设AM和CN共面，即AM和CN同在一个平面AMNC内，∵MN⊂平面A1C1，AC⊂平面AC，又MN，AC⊂平面AMNC，平面A1C1∥平面AC，∴MN∥AC，而A1C1∥AC，∴A1C1∥MN，又M为A1B1中点，∴N为B1C1中点，这与已知条件N分B1C1之比为1∶2矛盾，∴假设不成立．故AM和CN是异面直线．a，b，c是空间中的三条直线，下面四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线；④若a，b与c成等角，则a∥b.上述命题中正确的命题是________．(只填序号)解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故③不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故④不正确．答案：①如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．(1)求异面直线AE和PB所成角的余弦值．(2)求三棱锥A－EBC的体积．考点三(理)异面直线所成角的计算(2011·宁波质检)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．异面直线的判定、异面直线所成的角是高考对这部分内容的常考题型，难度属中、低档题，重点考查空间直线、平面间的位置关系的概念，异面直线所成角的定义及求法，同时考查反证法，以及学生的空间想象能力．[考题印证]

(2010·湖南高考)(12分)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．(1)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；(2)证明：平面ABM⊥平面A1B1M.1．三点共线的证明(1)证明三点共线通常有两种方法：一是首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，于是可得这三点都在交线上，即三点共线；二是选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在这条直线上，从而得三点共线．(2)证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题化归到证明点在直线上的问题．通常是先证两条直线的交点在两个平面的交线上而第三条直线恰好是两个平面的一条交线．2．异面直线的证明(1)定义法(不易操作)；(2)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到；(3)客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．3．异面直线所成角的求法(1)常用的解法．①平移法：即选点平移其中一条或两条使其转化为平面角问题．②补形法：即采用补形法作出平面角．(2)求异面直线所成角的一般步骤．①一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；②二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；③三求：在三角形中求得直线所成的角的某个三角函数值．4．公理4的应用公理4是证明两条直线平行的一种重要方法，即要证两线平行，只要找(作)第三线．再分别证明两线均与该线平行即可．1．有以下命题：①若平面α与平面β相交，则它们只有有限个公共点；②经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；③经过两条相交直线有且只有一个平面；④两两相交且不共点的三条直线确定一个平面．其中，真命题的个数是(

)A．4个B．3个C．2个

D．1个解析：①错，因为有无限个公共点，②、③、④均正确，故选B.答案：B2．(2011·珠海模拟)下列四个命题：①若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面；②若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交；③若a∥b，则a、b与c所成的角相等；④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中真命题的个数是(

)A．4B．3C．2D．1解析：只有③正确，故选D.答案：D答案：C4．空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，那么四边形EFGH的形状是________．答案：平行四边形5．(2011·黄浦模拟)关于直线m，n与平面α，β，有以下四个命题：①若m∥α，