福建省泉州市2021-2022学年高二上学期期末教学质量检测数学试题

期末考试试题(高中)PAGEPAGE12福建省泉州市2021-2022学年高二上学期期末教学质量检测数学试题一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知点是点在坐标平面内的射影，则点的坐标为（）A. B. C. D.2.设等差数列的前n项和为．若，则（）A.19 B.21 C.23 D.383.设分别是椭圆的左、右焦点，P是C上的点，则的周长为（）A.13 B.16 C.20 D.4.已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角为（）A. B. C. D.5.在棱长均为1的平行六面体中，，则（）A. B.3 C. D.66.已知数列满足，则（）A. B.1 C.2 D.47.抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为F，一条平行于y轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则经点B反射后的反射光线必过点（）A. B. C. D.8.已知点与不重合的点A，B共线，若以A，B为圆心，2为半径的两圆均过点，则的取值范围为（）A B. C. D.二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.圆与圆的位置关系可能是（）A.外离 B.外切 C.相交 D.内含10.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详析九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（）A. B.C. D.11.已知曲线，分别为C的左、右焦点，点P在C上，且是直角三角形，下列判断正确的是（）A.曲线C的焦距为B.若满足条件的点P有且只有4个，则m的取值范围是且C.若满足条件的点P有且只有6个，则D.若满足条件的点P有且只有8个，则m的取值范围是12.已知边长为的正三角形中，为中点，动点在线段上（不含端点），以为折痕将折起，使点到达的位置．记，异面直线与所成角为，则对于任意点，下列成立的是（）A.B.C.存在点，使得D.存在点，使得平面三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将〖答案〗填在答题卡的相应位置．13.已知，且，则_____________．14.若等比数列满足，则的前n项和____________．15.已知P是椭圆的上顶点，过原点的直线l交C于A，B两点，若的面积为，则l的斜率为____________．16.设O为坐标原点，F为双曲线的焦点，过F的直线l与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，且的内切圆的半径为，则C的离心率为____________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知抛物线的焦点为F，点在C上．（1）求p的值及F的坐标；（2）过F且斜率为的直线l与C交于A，B两点（A在第一象限），求．18.公差不为0的等差数列中，，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和为．若，求的取值范围．19.如图，在正四棱锥中，为底面中心，，为中点，．（1）求证：平面；（2）求：（ⅰ）直线到平面的距离；（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

20.已知数列的前n项和．（1）证明是等比数列，并求的通项公式；（2）在和之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前n项和．21.某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米．在建筑物底面中心O的东北方向米的点A处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度．（1）在西辅道上距离建筑物1米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内？（2）求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度．

22.曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，C上的点M满足，且直线的斜率之积等于．（1）求C的方程；（2）过点的直线l交C于A，B两点，若，其中，证明：．

▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、单选题1.D 2.A 3.B 4.D 5.C 6.B 7.D 8.D二、多选题9.ABC 10.BC 11.AC 12.ABC三、填空题13.2 14. 15. 16.四、解答题17.解：（1）将代入，得，解得，所以（2）由（1）得抛物线方程为，直线l的方程为，联立消y得，解得或，因为A在第一象限，所以，所以，，所以18.解：（1）依题意，，，所以，设等差数列的公差为，则，解得，所以（2），则数列是递增数列，，所以，若，则.19.（1）证明：连接，则为的中点，且，在正四棱锥中，平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、、，，设平面的法向量为，，，则，取，则，因为，则，又因为平面，所以，平面.（2）解：（i），所以，直线到平面的距离为.（ii），则，因此，直线与平面所成角的正弦值为.20.解：（1）因为，当时，，所以，当时，，又，解得，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，故（2）因为，所以，，，，所以，所以21.解：（1）以O为原点，正东方向为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系.则，观景直道所在直线的方程为，依题意得：游客所在点为，则直线AB的方程为，化简得，所以圆心O到直线AB的距离，故直线AB与圆O相交，所以游客不在该摄像头监控范围内.（2）由图易知：过点A的直线l与圆O相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡，所以设直线l过A且恰与圆O相切，①若直线l垂直于x轴，则l不可能与圆O相切；②若直线l不垂直于x轴，设，整理得所以圆心O到直线l的距离为，解得或，所以直线l的方程为或，即或，设这两条直线与交于D，E由，解得，由，解得，所以，观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为17.5米.22.解：（1）因为C上的点M满足，所以C表示焦点在x轴上的椭圆，且，即，，所以，设，则，①所以直线的斜率，