曲边梯形的面积,定积分的概念

1.5.1曲边梯形的面积这些图形的面积该怎样计算？说教学设想

1.曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图形叫做曲边梯形。Ox

y

a

b

y=f(x)一.

求曲边梯形的面积x=ax=b

①、只有一边是曲线

②、其他三边是特殊直线

y=f(x)bax

yO

A1AA1.用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，得AA1+A2用两个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得

y=f(x)bax

yOA1A2AA1+A2+A3+A4用四个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得

y=f(x)bax

yOA1A2A3A4

y=f(x)bax

yOAA1+A2++An将曲边梯形分成n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的面积A近似为A1AiAn——以直代曲,无限逼近

2．曲边梯形的面积求曲边梯形的面积即求下的面积——分成很窄的小曲边梯形，然后用矩形面积代后求和。若“梯形”很窄，可近似地用矩形面积代替在不很窄时怎么办？——以直代曲

例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积.

解:把底边[0,1]分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线,这样曲边三角形被分成n个窄条,用矩形来近似代替,然后把这些小矩形的面积加起来,得到一个近似值:因此,我们有理由相信,这个曲边三角形的面积为:1、分割；2、近似代替；3、求和；4、取极限1、分割；2、近似代替；3、求和；4、取极限用黄色部分的面积来代替曲边梯形的面积，当曲边梯形分割的越细，蓝色部分面积就越小，就越接近曲边梯形的面积.1、分割将曲边梯形分割为等高的小曲边梯形分割梯形分割x轴分割定义域“等分”“等分”“等分”区间长度：2、近似代替第i个小曲边梯形…3、求和4、取极限第i个小曲边梯形第i个小直边“梯形”思考2、近似代替…3、求和4、取极限从小于曲边梯形的面积来无限逼近从大于曲边梯形的面积来无限逼近第i个小曲边梯形求曲边梯形的面积；其中曲边为函数y=x2练习小结:求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法有理由相信，分点越来越密时，即分割越来越细时，矩形面积和的极限即为曲边形的面积。（1）分割

（2）求面积的和

把这些矩形面积相加作为整个曲边形面积S的近似值。

（3）取极限

小结汽车行驶的路程引入思考结论一、定积分的定义如果当n∞时，S的无限接近某个常数，这个常数为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”:分割---近似代替----求和------取极限得到解决.定积分的定义：定积分的相关名称：

———叫做积分号，

f(x)——叫做被积函数，

f(x)dx—叫做被积表达式，

x———叫做积分变量，

a———叫做积分下限，

b———叫做积分上限，

[a,b]—叫做积分区间。被积函数被积表达式积分变量积分下限积分上限按定积分的定义，有

(1)由连续曲线y=f(x)(f(x)0)，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为

(2)设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间[a,b]内运动的距离s为定积分的定义：1x

yOf(x)=x2Ov

t12

说明：

(1)定积分是一个数值,

它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即òbaf(x)dx

=òbaf

(x)dx

-(3)(2)定积分的几何意义：Ox

yab

yf(x)

x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积。当f(x)0时，由yf(x)、xa、xb

与x

轴所围成的曲边梯形位于x

轴的下方，x

yO=-．ab

yf(x)

y-f(x)=-S上述曲边梯形面积的负值。

定积分的几何意义：=-Sab

yf(x)Ox

y探究:根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?ab

yf(x)Ox

y三:定积分的基本性质性质1.性质2.三:定积分的基本性质定积分关于积分区间具有可加性性质3.Ox

yab

yf(x)Ｃ

性质3

不论a，b，c的相对位置如何都有ab

y=f(x)cOx

y例1：利用定积分的定义,计算的值.

例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1例3：解：xyf(x)=sinx1-1

利用定积分的几何意义，判