11 矢量代数与位置矢量

1矢量分析矢量分析是研究电磁场和其它物理场必不可少的数学工具，它包括矢量代数、正交坐标系以及场函数的微积分运算等内容。1.1矢量代数与位置矢量1.1.1矢量和标量标量：仅有大小的量，用英文字母或希腊字母表示，女叭g、申、屮等。矢量：既有大小又有方向的量，用黑体英文字母或加上箭头的英文字母表示，如A或A、a或a等，印刷中采用A或a,在书写中采用A或aoA的模记作|A|或A。直角坐标中A及其各分矢量图直角坐标中A及其各分矢量图在右手直角坐标系中，A起于坐标原点，它的三个坐标分量(即A在x、y、z轴上的投影)分别为Ax、Ay、AzyzA=eA+eA+eA (1.1.1)xxyyzz式中：ex、ev,e分别为沿坐标x、y、z方向的xyz单位矢量。它的模A=(A2+A2+A2)1/2 (1.1.2)xyz1.1.2矢量运算矢量A和B相加定义为两矢量的和，用新矢量A+B表示。用的平行四边形法则或首尾相接法则进行A和B相减定义为两矢量的差，用新矢量A-B表示。写为A-B=A+(-B)，按B反向再与A相加。矢量的加(减)运算法则：交换律A+B=B+A(1.1.3)结合律A交换律A+B=B+A(1.1.3)结合律A+B-C=A+(B-C)=(A+B)-C(1.1.4)两矢量相加A点积。其量值为两矢量的模与两矢量间夹角0(0点积。其量值为两矢量的模与两矢量间夹角0(0W0Wf与A相乘图若已知A=eA+eA+eAxxyyzzB=eB+eB+eBxxyyzzA土B=(Ax土Bx)ex+(Ay土By)ey+(Az土◎J "丄5)A土B|=[(Ax土Bx)2+(Ay土By)2+(Az土Bz)2M (1.1.6)180°)的余弦之积A-B二ABCOS0 (1.1.8)特点：两矢量的点积为一标量，其正、负取决于0是锐角还是钝角；点积遵从交换律，即A-B=B-A；A与B相互垂直，A•B二0,反之亦然-----两矢量正交的充要条件

(4)A自身的点积A•A=A2。-ex

•eye-ex

•eye=1ze=0x二e•e=e

yy=e•e=eyz可得A•BA•B=AxBx+AyBy+AzBz1.1.9)1.1.10)1.1.11)式中，0为A与B间的夹角，e是AxB的单位矢量，它与A、1.1.10)1.1.11)式中，0为A与B间的夹角，e是AxB的单位矢量，它与A、B相垂直，e的方向由n右手定则确定。特点：1)两矢量的叉积是一个矢量；2)叉积不遵从交换率，应是AxB=-(BxA)；3)A、B相平行(0=0或180°)时，AxB=0,反之亦然 两矢量平行的充要条件；4)A自身的叉积为零，即AxA=0。AxB的右手定则图在直角坐标下A、B的叉积运算，应将两矢量的各分矢量逐项叉乘。考虑到单位矢量的叉乘关系矢量的点积遵循分配率(A+B)•C=A-C+B-CA和B的矢量积表示为AxB,又称为叉积，定义式AxB=ABsin0enexe=xxexe=exe=0yyzzexe=e(eyxe=-e)xyzyxzexe=e(ezxe=-e)yzxzyxexe=e(exxe=-e)zxyxzy推导可得

AxB=e(AB-AB)+e(AB一AB)+e(AB-AB)xyzzyyzxxzzxyyxeeeTOC\o"1-5"\h\zx y zAAAx y zBBBx y z（1.1.12）A与B+C的叉积遵循分配率1.1.13)Ax（B+C）=AxB+AxC1.1.13)三矢量的乘积（三重积）有两种：（1）标量三重积A-（BxC）=A-（BxC）=B・（Cx」标量三重积可写成易于记忆的行列式形式A)=C.(axB)AAAxyzBBBA・(BxC)= xyzCCCxyz（2）矢量三重积。有如下矢量恒等式Ax(BxC)=B(A-C)-C(A.B)1.1.14)1.1.15)1.1.16)设P点的坐标为（x,y,z）位置矢量与相对位置矢量图r=xex+yey+zez （1.1.17）其模r=（x2+y2+z2）1/2 （1.1.18）对于另一点P（x,y',z'）的位置矢量r，有r，=x，ex+yq+ze （1丄19）r=（X2+yr2+z2）1/2 （1.1.20）相对位置矢量可表示空间任意两点之间的位置关系。是以P点为起点、P点为终点的空间矢量，它的模表示P点相对于P点的距离，它的方向表示P点相对于P点所处的方位，则称R为P点相对于P点的相对位置矢量。R及模R应分别为R=r一rf=（x一x'）ex+（y一y'）ey+（z-z'）ez （1.1.21）R=lr一rfl=[（x一x'）2+（y一yJ2+（z-z'）2]1/2 （1.1.22）若考虑P'点相对于P点的相对位置矢量R，则R的方向是由P点指向P点，有R'=一R任何真实的物理场，都有其产生的根源即所谓的场源，例如静止电荷是静电场的场源，恒定电流是恒定磁场的场源，等等。场源和它所产生的物理场总是与空间概念联系在一起的。以后我们将要研究的电磁场和它的源之间存在的关系，其中场源所在位置的点和需要确定场量（如电场强度矢量和磁场强度矢量）的点需要在名称和符号上加以明确的区分。场源所在位置的点简称原点，用加撇的源点坐标（x',y',z'）或尸表示；需要确定场量的点简称场点，用不带撇的场点坐标（x,y,z）或r表示。于是，R（或r-r'）就具有了场点相对于源点的相对位置矢量的特殊含义。至于空间普通两点的相对位置矢量，可通过加双下标予以区别，如将P2点相对于P］点的相对位置矢量记为R］2，其方向是由P］点指向P2点。相对坐标函数与相对位置矢量有关的一类函数，其变量为场点与源点的坐标差