不可压缩流体动力学基础

第七章不可压缩流体动力学基础在面前的章节中，我们主要讨论了理想流体和黏性流体的一元流体，为解决工程实际中的大量存在的一元流动问题奠定了理论基础。但是，许多实际流体的流动差不多都是空间的流动，即流场中流体的速度和压力等流动参数在二个或三个坐标轴方向都发生变化。本章论述流体的三元流动，主要内容是有关流体运动的基本概念和基本原理，以及描述不可压缩流体流动的基本方程和定解条件。前述流体静力学和一元流动的基本方程，即是本章三元流动的基本方程在一元流动特殊条件下的简化结果。因此，学习时，可将本章与第二、三章相联系，次序上也可前后调整。第一节流体微团运动的分析从理论力学知道，刚体的运动可以分解为平移和旋转两种基本运动。流体运动要比刚体运动复杂得多，流体微团基本运动形式有平移运动，旋转运动和变形运动等，而变形运动又包括线变形和角变形两种。流体微团的运动形式与微团内各点速度的变化有关。为了便于讨论，为研究二元流动的情况。设方形流体微团中心点M的流速分量为u和u（图7—1）,则微团各侧边的xy中点A、B、C、D的流速分量分别为：MABCDuii dudxiidudyII_1 •Jii du dxu”•dyxuxF•2x dy 2ux+lT•豆x dy 2u口dUdx■dudyU+y•口du dxU-1 IL•udu.dyu y-•yy dxy•2y dy 2***1 y•y dx 2yd2可见，微团上每一点的速度都包含中心点的速度以及坐标位置不同所引起的速度增量两个组成部分。微团上各点公有的分速度U和U使它们在dt时间内均沿x方向移动一距离Udt,沿y方向移动一距离U•dto因此，我们把中心点乂的速度U和U定义为流x y xy体微团的平移运动速度。du微团左、右两侧的A点和C点沿x方向的速度差为dxx•dx,当这速度差值为正时，微团沿x方向发生伸长变形；当他为负时，微团沿x方向发生缩短变形。单位时间，单位长度的线变形称为线变形速度。du

dxx以度的线变形称为线变形速度。du

dxx以°表示流体微团沿x方向的线变形速度，则:x•dx•dt0x=dx•dtdux^\——X-da同理可得沿y方向的线变形速度0du0F推广到三元流动的普遍情况，则流体微团的线变形速度为:du0「女现在研究微团的旋转和角变形。AMC线上各点的y方向速度分量不相等，C点相对于A点有一y方向速度分量的du增量k•dx。同样，BMD 线上各点的x方向速度分量也不相等，B点相对于D点有du一x方向速度分量的增量dyx•dy。因而这两条直线绕中心点乂发生旋转。同理，通过M点的各直线均绕M点发生旋转，但各直线的旋转角速度是不相等的。设流体微团从初始位置ABCD（图7—2）,经dt时间后，由于上述原因运动到ABCD"的位置处。这个运动过程可以视为是下述两种基本运动形式的组合过程：先是流体微团绕M点作无角变形的旋转运动，微团由ABCD位置旋转到A'BCD'处（图7—2b）,然后，由于过M点各直线的旋转角速度不相等而产生角变形运动，使方形微团为菱形，最后到达ABCD的位置（图7—2c）。设沿逆时针方向旋转为正，则AMC线的旋转角速度为dudx蓟•七dudx=dxx丁duBMD线的旋转角为-dyx。对角线emf的旋转角速度是这两条直角边的旋转角速度的平均，记为①

10U 0U3，=2(0r—0y*)我们把对角线EMF的旋转角速度定义为整个流体微团oxy平面上的旋转角速度。推广到三元流动的情况，可得流体微团的旋转角速度分量为:(0U 0U0zX―0xz\(0U0U0r—行I一，八 *，八 t，,、 r因而角速度矢量为：3 =3 i+3 j+3 kxyz角速度的大小为：3=\；32+32+32'xyz角速度矢量的方向规定为沿微团的旋转方向按右手定则确定。我们把直角边AMC（或BMD边）与对角线EMF的夹角的变形速度定义为流体微团的角变形速度，并记为8z，因而0U0U 0U~dx—3z=0x(0U0U女—中I对于三元流动，流体微团的角变形速度为:’0u0u0r+0x

(

’0u0u

次+&y(8的下标表示发生角变形的所在平面的法线方向。在一般情况下，流体微团的运动是由上述四种基本运动形式复合而成的。设流体微团内的某点M（x,y,z）的流速分量为u、u、u（图7-3），邻近于与M点的另一点M（x+dx、y+dy、z+dz）的流速分量为u=u+duxx0 xu=u+duyy0 yu=u+du将速度增量du按泰勒级数展开:du=xx0u-du=xx0u-x(0x7M0dx+0uI"7M0dy+JM0dz于是，M点的流速分量u又可写为:x(八\0u—x(八\0u—x(0x7M00u一0x71dy+-0uy0x7M0dz0u

x0u

x__z0x7M0上0u+—0x7M0dz将（7-1-1）式，（7-1-2）式和（7-1-3）式代入上式中得：U=U+0dx-①dy+8dy+①dz+^dz同理可写出其余两个速度分量的表达式。因此，M点的速度可以表达为：u=u一①dy+①dz+0dx+8dy+8dz〜x x0 z y x z yu=u一①dz+①dx+0dy+8dz+8dxy y0 x z y x zU=U一①dX+①dy+0dz+^dX+^dy上列三式中，右边第一项为平移速度，第二、第三项是微团的旋转运动所产生的速度增量，第四项和第五、六项分别为线变形运动和角变形运动所引起的速度增量。可见，流体微团的运动可以分解为平移运动，旋转运动，线变形运动和角变形运动之和。这就是亥姆霍兹速度分解定理。例7-1已知流速分布(1)u=-ky,u=+kx,u=0,(2)u=- —,u= -,u=0求旋转角速度、线变形速度和角变形速度。x x2+y2yx2+y2z解(1)当u=-ky,u=kxyCucyX=-k①=—(k+k