北京冬奥会里的数学

第第页，共7页14⑴⑴50⑺刁74（2）分布列见解析，期望为35分析】（1）⑴记“在这两天每天随机观看一个项目，恰好看到冰球和跳台滑雪'为事件A，利用古典概型能求出恰好看到冰球和跳台滑雪的概率．（ii）记“在这两天每天随机观看一场决赛，两场决赛恰好在同一赛区”为事件B，利用古典概型及对立事件能求出两场决赛不在同一赛区的概率．（2）随机变量X的所有可能取值为1,2,3,分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．1)⑴记“在这两天每天随机观看一个项目，恰好看到冰球和跳台滑雪'为事件A.由表可知，在这两天每天随机观看一个项目，共有10xlO=100种不同方法，其中恰好看到冰球和跳台滑雪，共有2种不同方法．21所以，恰好看到冰球和跳台滑雪的概率P（A）=而=50•（ii）记“在这两天每天随机观看一场决赛，两场决赛恰好在同一赛区”为事件B.由表可知，在这两天每天随机观看一场决赛共有6x7=42种不同方法，其中两场决赛恰好在北京赛区共有2种不同方法，在张家口赛区共有4x4=16.所以P所以P(B)=2+164211+6+12+4233534所以两场决赛不在同一赛区得概率为1万方2)随机变量X的所有可能取值为1，2，3.C34根据题意，p（x二1）二C3二石,7…c、C1-C2+C1-C2+C1C2+C2C1P(X=2)=12142424C1-C1C1-C1-C1—124835随机变量X的分布列是：X123P_423_8_35353574357435数学期望e（x）=lx35+2235+3335=4兀b8.（I）答案见解析；（II）V=ab2，体积之比为—.A3a分析】（I）由题意，直接画出阴影即可，然后分别求出图①中圆的面积及图②中圆环的面积即可证明；（II）类比（I）可知，椭圆的长半轴为a,短半轴为b,构造一个底面半径为b,高为0的圆柱，把半椭球与圆柱放在同一个平面上，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，即挖去的圆锥底面半径为b,高为a，证明截面面积相等，由祖暅原理求出出椭球A的体积，同理求出椭球B的体积，作比得出答案.【详解】（I）由图可知，图①几何体的为半径为R的半球，图②几何体为底面半径和高都为R的圆柱中挖掉了一个圆锥，与图①截面面积相等的图形是圆环（如阴影部分）证明如下：在图①中，设截面圆的圆心为O’】，易得截面圆O』勺面积为K（R2-d2）,在图②中，截面截圆锥得到的小圆的半径为d,所以，圆环的面积为冗62-d2）,所以，截得的截面的面积相等（II）类比（I）可知，椭圆的长半轴为，短半轴为b,构造一个底面半径为b,高为0的圆柱，把半椭球与圆柱放在同一个平面上（如图），在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，即挖去的圆锥底面半径为b,高为a；

在半椭球截面圆的面积兀竺C2-d2),a2在圆柱内圆环的面积为兀b2-K—d2=K—C2-d2)a2a2・••距离平面Q为d的平面截取两个几何体的平面面积相等,根据祖暅原理得出椭球A的体积为:4K=ab2，3V=4K=ab2，3A圆柱圆锥同理：椭球B的体积为Vb=亍2bb所以，两个椭球Ab所以，两个椭球A，B的体积之比为-.a点睛】关键点点