二项式定理.版块六.二项式定理的应用3近似计算或估计.学生版

近似计算或者估计知识内容1．二项式定理⑴二项式定理nCn1an1bCn2an2b2...CnnbnnNabCn0an这个公式表示的定理叫做二项式定理．⑵二项式系数、二项式的通项Cn0anCn1an1bCn2an2b2...Cnnbn叫做abn的二项展开式，其中的系数Cnrr0,1,2,...,n叫做二项式系数，式中的Cnranrbr叫做二项展开式的通项，用Tr1表示，即通项为展开式的第r1项：Trrnrr．1Cnab⑶二项式展开式的各项幂指数二项式ann1b的展开式项数为项，各项的幂指数状况是①各项的次数都等于二项式的幂指数n．②字母a的按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零，字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n．⑷几点注意①通项Trrnrr是abn1项，这里r0,1,2,...,n．1Cnab的展开式的第r②二项式an的r1项和banrnrr是有区别的，应用二项式b的展开式的第r1项Cnba定理时，其中的 a和b是不能随便交换的．③注意二项式系数（ Cnr）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是annb这个标准形式下而言的，如ab的二项展开式的通项公式是r（只须把b看成b代入二项式定理）rnrr是不同的，在这Tr11Cnranrbr这与Tr1Cnab1Cnr，但项的系数一个是1r，一个是Cnr，可看出，里对应项的二项式系数是相等的都是Cnr二项式系数与项的系数是不同的概念．⑤设a1,bx，则得公式：1xn...Cnrxr...xn．1Cn1xCn2x2⑥通项是Tr1Cnranrbrr0,1,2,...,n中含有Tr1,a,b,n,r五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n不是很大，x比较小时可以用展开式的前几项求(1x)n的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于n是较小的正整数时， 可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理， 二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是 1．其余各数都等于它肩上两个数字的和． ”⑵二项式系数的性质：an012n，从函数的角度看r可以看成是r为自b展开式的二项式系数是：Cn,Cn,Cn,...,CnCn变量的函数fr，其定义域是：0,1,2,3,...,n．当n6时，fr的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和n 6时f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质．①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式 Cnm Cnnm得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．2由于展开式各项的二项式系数顺次是Cn01,Cn1n,Cn2nn1，112Cn3nn1n2，．．．，123Cnk1nn12n2...nk2，Cnknn1n2...nk2nk1，．．．，13....k1123...k1kCnn1．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如n,n1,n2,...），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，⋯）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k依次取1，2，3，⋯等值时，Cnr的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．当n是偶数时，n 1是奇数，展开式共有 n 1项，所以展开式有中间一项，并且这一项的n二项式系数最大，最大为Cn2．当n是奇数时，n1是偶数，展开式共有n1项，所以有中间两项．n1n1这两项的二项式系数相等并且最大，最大为Cn2Cn2．③二项式系数的和为2n，即Cn0Cn1Cn2...Cnr...Cnn2n．④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0 2 4 1 3 5 n1Cn Cn Cn ... Cn Cn Cn ..