第38讲高阶常系数线性微分方程

第五节高阶常系数线性微分方程二阶常系数齐线性方程二阶常系数非齐线性方程特征方程特征根一、二阶常系数齐次线性微分方程形如的方程，称为二阶常系数齐线性微分方程，即特征方程二阶常系数齐线性微分方程的特征方程为是方程(1)的两个线性无关的解，故方程(1)的通解为二阶常系数齐线性微分方程的特征方程为由求根公式由刘维尔公式求另一个解：于是，当特征方程有重实根时，方程(1)的通解为二阶常系数齐线性微分方程的特征方程为3)特征方程有一对共轭复根：是方程(1)的两个线性无关的解，其通解为利用欧拉公式去掉表达式中虚数单位i。欧拉公式：由线性方程解的性质：均为方程(1)的解，且它们是线性无关的：故当特征方程有一对共轭复根时，原方程的通解可表示为二阶常系数齐线性微分方程特征方程特征根通解形式

例解

例解

例解故所求特解为

例解此时弹簧仅受到弹性恢复力f

的作用。求反映此弹突然放手，开始拉长，簧运动的规律（设其弹性系数为

k）。

例解此时弹簧仅受到弹性恢复力f

的作用。求反映此弹突然放手，开始拉长，簧运动的规律（设其弹性系数为

k）。取x轴如如图所示。由力学的虎克定理，有（恢复力与运动方向相反）由牛顿第二定律，得它能正确描述我们的问题吗？记拉长后，突然放手的时刻为我们要找的规律是下列初值问题的解：从而，所求运动规律为简谐振动二、n

阶常系数齐线性微分方程形如的方程，称为n阶常系数齐线性微分方程，n阶常系数齐线性微分方程的特征方程为特征根通解中的对应项

例解

例解在研究弹性地基梁时，遇到一个微分方程试求此方程的通解。三、二阶常系数非齐线性微分方程形如的方程，称为二阶常系数非齐线性微分方程，它对应的齐方程为我们只讨论函数f(x)的几种简单情形下，(2)的特解。方程(2)对应的齐方程(1)的特征方程及特征根为单根二重根一对共轭复根

你认为方程应该有什么样子的特解？假设方程有下列形式的特解：则代入方程(2)，得即方程(3)的系数与方程(2)的特征根有关。由方程(3)及多项式求导的特点可知，应有方程(2)有下列形式的特解:由多项式求导的特点可知，应有方程(2)有下列形式的特解:由多项式求导的特点可知，应有方程(2)有下列形式的特解:定理1当二阶常系数非齐线性方程它有下列形式的特解：其中：

例解对应的齐方程的特征方程为特征根为对应的齐方程的通解为将它代入原方程，得比较两边同类项的系数，得故原方程有一特解为综上所述，原方程的通解为

例解对应的齐方程的特征方程为特征根为对应的齐方程的通解为将它代入原方程，得请同学们自己算上式即故原方程有一特解为综上所述，原方程的通解为

例解对应的齐方程的通解为综上所述，原方程的通解为

你有什么想法没有？欧拉公式：性质4的一个特解。

例解代入上述方程，得从而，原方程有一特解为

例解代入上述方程，得比较系数，得从而，原方程有一特解为故

例解由上面两个例题立即可得

例解对应的齐次方程的通解为将它代入此方程中，得从而，原方程有一特解为故原方程的通解为第六节、欧拉方程形如的方程，称为

n

阶欧拉方程，其中关于变量t的常系数线性微分方程。引入算子记号：由数学归纳法可以证明：

例解这是三阶欧拉方程，作代数运算后，得即这是一个三阶常系数线性非齐微分方程，且方程(1)对应的齐方程的通解为为方程(1)特解形式，代入方程(1)中，得从而故原欧拉方程的通解为第七节、常系数线性微分方程组求解举例

我们介绍微分方程组的两种求解方法:消元法和首次积分法,这两种方法对求解一些简单的微分方程组是很有效的方法,但在学习这两种方法时必需注意它们的局限性.一、微分方程组的消元法

将一阶微分方程组：中的未知函数只保留一个，消去其他未知函数，得到一个未知函数的高阶方程，其他未知函数.这种方法常用于二个或三个先求出这个未知函数，然后再由其他方程求出方程构成的常系数微分方程组的求解.例1求解方程组解保留,消去.由第二个方程解出，得对上式两边关于求导,得代入原方程组的第一个方程得:二阶常系数线性齐次方程,通解为故原方程组的通解为其中是任意常数.一阶线性非齐次方程的通解为出现了三个任意常数因此为避免出现增解，在求出一个未知函数后，是一个多余的任意常数.不要再用求积分的方法来求其他的未知函数.如果?例2求解方程组解将第一个方程求导得代入第二个方程得不显含自变量t再由第一个方程得二微分算子与线性微分方程组

这里介绍微分算子D

及其用消元法解线性微分方程组的应用.设是定义在某区间I上的具有n阶连续导数的函数，微分算子D

被定义为相应地定义算子多项式：L是线性算子!例如设则微分算子法求解常系数线性微分方程组.仅依赖于变量的一个高阶微分方程……解:设例3求解方程组二阶线性常系数非齐次微分方程通解为代入原方程组的第一个方程中得一阶线性非齐次微分方程通解为代入原系统的第二个方程中得积分可以得到未知函数组合形式的解，三微分方程组的首次积分法经适当组合化为一个可积分的微分方程.首次积分法是将方程组这个方程的未知函数可能是方程组中几个未知函数组合