随机变量及其分布列复习经典讲义

随机变量及其分布列复习经典讲义随机变量及其分布列复习经典讲义随机变量及其分布列复习经典讲义随机变量及其分布列一．古典概型和几何概型mA中所含的基本领件数1、(1)古典概型的概率：P(A)＝n＝基本领件总数.构成事件A的地域长度面积或体积(2)几何概型的概率：P(A)＝试验的所有结果所构成的地域长度面积或体积.例1、盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球，从中任意拿出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是________(结果用最简分数表示)．例2、以以下图，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自暗影部分的概率为________练习：1、在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为________2、现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．2．互斥事件与对峙事件的关系;对峙是互斥，互斥未必对峙；例1、某项选拔共有四轮核查，每轮设有一个问题，能正确回答以下问题者进入下一轮核查，否则即被裁减．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为45、35、25、1，且各轮问题能否正确回答互不影响．5(1)求该选手进入第四轮才被裁减的概率；(2)求该选手至多进入第三轮核查的概率．二、随机变量与分布列PAB1、条件概率：在A发生的条件下B发生的概率：P(B|A)＝PA.2、相互独立事件同时发生的概率：P(AB)＝P(A)P(B)．3、独立重复试验：假如事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为kkn－k，k＝0,1,2，，n.Pn(k)＝Cnp(1－p)4、失散型随机变量的分布列(1)设失散型随机变量ξ可能取的值为x1，x2，，xi，，ξ取每一个值xi的概率为P(ξ＝xi)＝pi，则称下表：ξx123xi为失散型随机变量ξ的分布列．xxPpp123i(2)失散型随机变量ξ的分布列性质：①pi≥0，②p1＋p2＋＋pi＋＝1(i＝1,2,3，)．ξ015、常有的失散型随机变量的分布P1－pp(1)两点分布：分布列为(此中0<p<1)(2)二项分布：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数ξ是一个随机变量，其所有可能取的值为0,1,2,3，，n，而且kkn－k(此中k＝0,1,2，，n，q＝1－p)．P(ξ＝k)＝Cnpqnkkn－k明显P(ξ＝k)≥0(k＝0,1,2，，n)，∑＝1.Cnpqk＝0称这样的随机变量ξ遵从参数n和p的二项分布，记为ξ～B(n，p)．6、失散型随机变量的希望与方差若失散型随机变量ξ的分布列为ξx1x2xnP12pnpp则称E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋＋xnpn＋为ξ的数学希望，简称希望．D(ξ)＝(x1－E(ξ))2·p1＋(x2－E(ξ))2·p2＋＋(xn－E(ξ))2·pn＋叫做随机变量ξ的方差．7、失散型随机变量的均值或数学希望的性质：（1）若遵从两点分布，则Ep．（2）若ξ～B(n，p)，则Enp．（3）Ec2),则E（5）E(ab)aEbc，c为常数（4）ξ～N(，三、典型例题题型一、失散型随机变量的分布列失散型随机变量的分布列在现实生活中的应用极为广泛，求分布列时要解决好以下两个问题①求出随机变量X的所有可能取值②求出随机变量X的每个取值的概率，这是最难的也是最要点的。（一般要用到摆列、组合知识，等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率等知识进行解决）例1、一袋中装有6个相同大小的黑球，编号分别为1,2,3,4,5,6，此刻从中随机地拿出的3个球中，设X表示拿出的球中的最大编号，球X的分布列.例2、为了拉动经济增加，某市决定新建一批要点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的1,1,1.现有3名工人独立地从中任选一个项目参加建设.236（1）求他们选择的项目所属类型互不相同的概率；（2）记为3人中选择的项目属于基础设施工程或家产建设工程的人数，求的分布列及数学希望.题型二、互斥事件与相互独立事件的概率互斥事件与相互独立事件的概率是高考的热门，这两种概率一般综合在一起观察，解题时先要注意判断事件的种类，是互斥、相互独立，还是独立重复试验，而后选择相应的概率公式解题。（1）、当事件A,B互斥时，则事件A+B（A,B中有一个发生）的概率等于事件A,B分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)2）当事件A,B相互独即刻，则AB(A,B)同时发生)的概率等于事件A，B分别发生的概率之积，即P(AB)=P(A)P(B)例3、某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28，命中8环的概率是0.19，不够8环的概率是0.29，计算这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率.题型三、二项分布在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．假如在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是Pn(k)Cnkpkqnkq1p）．，（k＝0,1,2,，n，于是获取随机变量ξ的概率分布以下：ξ01knPCn0p0qnCn1p1qn1CnkpkqnkCnnpnq0称这样的随机变量ξ遵从二项分布，记作ξ～B(n，p)，此中n，p为参数。例4、甲乙两人投掷硬币，甲用一枚平均的硬币投掷3次，记正面向上的次数为X,乙用这枚硬币投掷2次，记正面向上的次数为Y.1）分别求出X和Y的数学希望.2）规定：若X>Y，则甲胜；若X<Y，则乙胜.分别求出甲和乙获胜的概率。惯例试题训练1、某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9，假如命中就停止射击，不然向来到子弹用尽，求耗用子弹数的分布列．2、已知随机变量的分布列为－2－10123P134121121212121212分别求出随机变量11,22的分布列．23，某班3名同学商定明日分别就同一问题3、某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为4咨询该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数的分布列．4、盒中装有大小相等的球10个，编号分别为0，1，2，，9，从中任取1个，观察号码是“小于5”“等于5”“大于5”三类状况之一．规定一个随机变量，并求其概率分布列．5、一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以表示拿出的3只球中的最大号码，写出随机变量的分布列．6、一批部件中有9个合格品与3个不合格品．安装机器时，从这批部件中任取一个．假如每次拿出的不合格品不再放回去，求在获得合格品从前已拿出的不合格品数的分布列．、袋中有1个红球，2个白球，3个黑球，现从中任取一球观察其颜色．确立这个随机试验中的随机变量，并指出在这个随机试验中随机变量可能取的值及取每个值的概率．概率、随机变量及其分布列提升训练1111．甲射击命中目标的概率是2，乙命中目标的概率是3，丙命中目标的概率是4.此刻三人同时射击目标，则目标被击中的概率为________．2．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学希望为1(不计其余得分的状况)，则ab的最大值为________．3．将一枚平均的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________．4．甲，乙，丙三个同学同时报名参加某要点高校2012年自主招生，高考前自主招生的程序为审查资料和文化测试，只有审查过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获取自主招生当选资格．由于甲，乙，丙三人各有优势，甲，乙，丙三人审查资料过关的概率分别为0.5,0.6,0.4，审查过关后，甲，乙，丙三人文化测试合格的概率分别为0.6,0.5,0.75.求甲，乙，丙三人中只有一人经过审查资料的概率；求甲，乙，丙三人中最少有两人获取自主招生当选资格的概率．5．乒乓球竞赛规则规定：一局竞赛，两方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，挨次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的竞赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的输赢结果相互独立．甲、乙的一局竞赛中，甲先发球．(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；(2)ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的希望．6．某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次核查，规定：按序次核查，一旦考核合格就不用参加此后的核查，不然还需要参加下次核查．若小李参加每次核查合格的11概率挨次构成一个公差为8的等差数列，他参加第一次核查合格的概率超出2，且他直到参加第二次核查才合格的概率为9.(1)求小李第一次参加核查就合格的概率1；(2)求小32P李参加核查的次数X的分布列和数学希望E(X)．概率、随机变量及其分布列高考真题演练1、从以以下图的长方形地域内任取一个点M（x,y）,则点M取自暗影部分的概率为.2、甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们商定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行旅游，每个景点观光1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（）（A）1（B）1（C）5（D）13693663、如图，在矩形地域的，两点处各有一个通讯基站，假设其信号的覆盖范围分别ABCDAC是扇形地域ADE和扇形地域CBF(该矩形地域内无其余信号本源，基站工作正常)．若在该矩形地域内随机地选一地点，则该地点无．信号的概率是()．1ππ2ππB．212D．4A．4C．4、高l为平面上过(0,1)的直线,l的斜率等可能地取22,3,5,0,5,3,22,l的距离,由随机变量22用表示坐标原点到的数学希望E=___________5、设甲、乙、丙三台机器能否需要照料相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照料的概率为0.05，甲、丙都需要照料的概率为0.1，乙、丙都需要照料的概率为0.125，（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照料的概率分别是多少；（Ⅱ）计算这个小时内最少有一台需要照料的概率.1216、甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是3,5,2.(Ⅰ)现3人各投篮1次,求3人都没有投进的概率;(Ⅱ)用ξ表示乙投篮3次的进球数,求随机变量ξ的概率分布及数学希望Eξ.7、某项选拔共有三轮核查，每轮设有一个问题，能正确回答以下问题者进入下一轮考试，不然即被裁减，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为4、3、2，且各555轮问题能否正确回答互不影响.（Ⅰ）求该选手被裁减的概率；（Ⅱ）该选手在选拔中回答以下问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数数希望.（注：本小题结果可用分数表示）8、某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即停止射击，第i次击中目标得1~i(i1，2，3)分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响．（Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率；（Ⅱ）该射手的得分记为，求随机变量的分布列及数学希望．9、某食品企业一个月内被花费者投诉的次数用表示，椐统计，随机变量的概率分布如下：(Ⅰ)求a的值和的数学希望；0123（Ⅱ）假设一月份与二月份被花费者投诉的次数互不影p0.10.32aa响,求该企业在这两个月内共被花费者投诉2次的概率。10、为认识学生身高状况，某校以10%的比率对全校700名学生按性别进行分层抽样检查，测得身高状况的统计图以下：（Ⅰ）预计该校男生的人数；（Ⅱ）预计该校学生身高在170~185cm之间的概率；（Ⅲ）从样本中身高在165~180cm之间的女生中任选2人，求最少有1人身高在170~180cm．．之间的概率.11、如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，经过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在个时间段内的频率以下表：时间（分钟）10~2020~3030~4040~5050~60L1的频率0.20.2L2的频率00.1现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．（1）为了尽最大可能在各自同意的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？（2）用X表示甲、乙两人中在同意的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求X的分布列和数学希望.12、某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间相互独立，且都是整数分钟，对过去顾客办理业务所需的时间统计结果以下：办理业务所需的时间（分）12345频率0.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时．（1）预计第三个顾客恰好等候4分钟开始办理业务的概率；（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X

的分布列及数学希望．13、在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至最受欢迎歌手．各位观众须相互独立地在选票上选他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选

5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出3名歌