2023中考冲刺数学专题6

PAGEPAGE102023中考冲刺数学专题6——综合型问题例题1〔2023四川攀枝花〕如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=2,点P是边BC上的动点〔点P不与点B、C重合〕，过点P作直线PQ∥BD,交CD边于Q点，再把△PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点。设CP=x,△PQR与矩形ABCD重叠局部的面积为y。〔1〕求∠CPQ的度数。〔2〕当x取何值时，点R落在矩形ABCD的边AB上？〔3〕当点R在矩形ABCD外部时，求y与x的函数关系式。并求此时函数值y的取值范围。例题3〔2023浙江义乌〕如图1，∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点〔点P与点B不重合〕，连结AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连结QE并延长交射线BC于点F.〔1〕如图2，当BP=BA时，∠EBF=°，猜想∠QFC=°；〔2〕如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明；图1ACBEQFP图2ABEQPFC图1ACB图1ACBEQFP图2ABEQPFC图1ACBEQFP例题4〔2023重庆〕：如图〔1〕，在直角坐标系xOy中，边长为2的等边△的顶点在第一象限，顶点在轴的正半轴上.另一等腰△的顶点在第四象限，，．现有两动点，分别从，两点同时出发，点以每秒1个单位的速度沿向点运动，点以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止．〔1〕求在运动过程中形成的△的面积与运动的时间之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；〔2〕在等边△的边上〔点除外〕存在点，使得△为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；〔3〕如图(2)，现有，其两边分别与，交于点，，连接．将绕着点旋转〔旋转角〕，使得，始终在边和边上．试判断在这一过程中，△的周长是否发生变化？假设没变化，请求出其周长；假设发生变化，请说明理由．例题5〔2023甘肃兰州〕如图1，矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E〔4,0〕〔1〕当x取何值时，该抛物线的最大值是多少？〔2〕将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒〔0≤t≤3〕，直线AB与该抛物线的交点为N〔如图2所示〕.①当时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；②以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5，假设有可能，求出此时N点的坐标；假设无可能，请说明理由．图1图2例题7〔2023四川成都〕在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点〔点在点的左侧〕，与轴交于点，点的坐标为，假设将经过两点的直线沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线．〔1〕求直线及抛物线的函数表达式；〔2〕如果P是线段上一点，设、的面积分别为、，且，求点P的坐标；〔3〕设⊙Q的半径为l，圆心在抛物线上运动，那么在运动过程中是否存在⊙Q与坐标轴相切的情况？假设存在，求出圆心的坐标；假设不存在，请说明理由．并探究：假设设⊙Q的半径为，圆心在抛物线上运动，那么当取何值时，⊙Q与两坐轴同时相切？解答：〔1〕∵沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点，∴，。将代入，得。解得。∴直线AC的函数表达式为。∵抛物线的对称轴是直线∴解得∴抛物线的函数表达式为。〔2〕如图，过点B作BD⊥AC于点D。∵，∴∴。过点P作PE⊥x轴于点E，∵PE∥CO，∴△APE∽△ACO，∴，∴∴，解得∴点P的坐标为〔3〕〔Ⅰ〕假设⊙Q在运动过程中，存在与坐标轴相切的情况。设点Q的坐标为。当⊙Q与y轴相切时，有，即。当时，得，∴当时，得，∴当⊙Q与x轴相切时，有，即当时，得，即，解得，∴当时，得，即，解得，∴，。综上所述，存在符合条件的⊙Q，其圆心Q的坐标分别为，，，，。〔Ⅱ〕设点Q的坐标为。当⊙Q与两坐标轴同时相切时，有。由，得，即，∵△=∴此方程无解。由，得，即，解得∴当⊙Q的半径时，⊙Q与两坐标轴同时相切。例题8〔2023湖南常德〕如图,抛物线与轴交于A(－4，0)和B(1，0)两点，与轴交于C点．〔1〕求此抛物线的解析式；〔2〕设E是线段AB上的动点，作EF//AC交BC于F，连接CE，当△CEF的面积是△BEF面积的2倍时，求E点的坐标;〔3〕假设P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标．解答：〔1〕由二次函数与轴交于、两点可得：解得：故所求二次函数的解析式为．〔2〕∵S△CEF=2S△BEF,∴∵EF//AC,∴,∴△BEF～△BAC,∴得故E点的坐标为(,0). 〔3〕解法一：由抛物线与轴的交点为，那么点的坐标为〔0，－2〕．假设设直线的解析式为，那么有解得：故直线的解析式为．假设设点的坐标为，又点是过点所作轴的平行线与直线的交点，那么点的坐标为〔．那么有：＝＝即当时，线段取大值，此时点的坐标为〔－2，－3〕解法二：延长交轴于点，那么．要使线段最长，那么只须△的面积取大值时即可.设点坐标为〔，那么有:＝＝＝＝＝＝－即时，△的面积取大值，此时线段最长，那么点坐标为〔－2，－3〕【技巧提炼】解数学综合题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的根底知识和熟练的根本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想纵观最近几年各地的中考压轴题，绝大局部都是与坐标系有关的，其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。2、以直线或抛物线知识为载体，运用函数与方程思想直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数，即一次函数与二次函数所表示的图形。因此，无论是求其解析式还是研究其性质，都离不开函数与方程的思想。例如函数解析式确实定，往往需要根据条件列方程或方程组并解之而得。3、利用条件或结论的多变性，运用分类讨论的思想分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性，常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考察，有些问题，如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。4、综合多个知识点，运用等价转换思想任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想，初中数学中的转换大体包括由向未知，由复杂向简单的转换，而作为中考压轴题，更注意不同知识之间的联系与转换，一道中考压轴题一般是融代数、几何、三角于一体的综合试题，转换的思路更要得到充分的应用。【体验中考】1．〔2023福建德化〕：如图，点是正方形的对角线上的一个动点(、除外)，作于点，作于点，设正方形的边长为，矩形的周长为，在以下列图象中，大致表示与之间的函数关系的是〔〕.xyxy0Axy0Dxy0Byx0CPDABCCEF2．〔2023四川南充〕如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移．⊙O的半径为1，∠1＝60°．以下结论错误的是〔〕．l1l2ABMNO1〔A〕

〔B〕假设MN与⊙O相切，那么

〔C〕假设∠MON＝90°，那么MN与⊙O相切l1l2ABMNO13．〔2023湖北鄂州〕如下列图，四边形OABC为正方形，边长为6，点A、C分别在x轴，y轴的正半轴上，点Ｄ在OA上，且Ｄ点的坐标为〔2，0〕，P是OB上的一个动点，试求PD+PA和的最小值是〔〕A．B．C．4D．64．〔2023湖北宜昌〕如图,在圆心角为90°的扇形MNK中，动点P从点M出发，沿MNeq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(NK))KM运动，最后回到点M的位置。设点P运动的路程为x，P与M两点之间的距离为y，其图象可能是〔〕。5．〔2023湖南怀化〕图9是二次函数的图象，其顶点坐标为M(1,-4).〔1〕求出图象与轴的交点A,B的坐标；〔2〕在二次函数的图象上是否存在点P，使,假设存在，求出P点的坐标；假设不存在，请说明理由；〔3〕将二次函数的图象在轴下方的局部沿轴翻折，图象的其余局部保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象答复：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围.6．〔2023湖北鄂州〕如图，在直角坐标系中，A〔-1，0〕，B〔0，2〕，一动点P沿过B点且垂直于AB的射线BM运动，P点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM与x轴交与点C．〔1〕求点C的坐标．〔2〕求过点A、B、C三点的抛物线的解析式．〔3〕假设P点开始运动时，Q点也同时从C出发，以P点相同的速度沿x轴负方向向点A运动，t秒后，以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形．〔点P到点C时停止运动，点Q也同时停止运动〕求t的值．〔4〕在〔2〕〔3〕的条件下，当CQ=CP时，求直线OP与抛物线的交点坐标．7．〔2023湖北荆州〕如图，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA∥BC，D是BC上一点，BD=OA=，AB=3，∠OAB=45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°．〔1〕直接写出D点的坐标；〔2〕设OE=x，AF=y，试确定y与x之间的函数关系；〔3〕当△AEF是等腰三角形时，将△AEF沿EF折叠，得到△，求△与五边形OEFBC重叠局部的面积．8．〔2023湖北省咸宁〕如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，，，．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t〔秒〕．全品中考网〔2〕当0＜t＜2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；〔3〕当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究是否为定值，假设是，试求这个定值；假设不是，请说明理由．ABABCD〔备用图1〕ABCD〔备用图2〕QABCDlMPE9．〔2023江苏扬州〕在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．〔1〕求线段AD的长；〔2〕假设EF⊥AB，当点E在线段AB上移动时，①求y与x的函数关系式〔写出自变量x的取值范围〕②当x取何值时，y有最大值？并求其最大值；〔3〕假设F在直角边AC上〔点F与A、C两点均不重合〕，点E在斜边AB上移动，试问：是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？假设存在直线EF，求出x的值；假设不存在直线EF，请说明理由．答案1．【答案】A2．【答案】B3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】(1)因为M(1,-4)是二次函数的顶点坐标，所以令解之得.∴A，B两点的坐标分别为A〔-1，0〕，B〔3,0〕(2)在二次函数的图象上存在点P，使设那么，又,∴∵二次函数的最小值为-4，∴.当时，.故P点坐标为〔-2，5〕或〔4，5〕〔3〕如图1，当直线经过A点时，可得当直线经过B点时，可得由图可知符合题意的的取值范围为6．【答案】〔1〕点C的坐标是〔4，0〕；〔2〕设过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c〔a≠0〕，将点A、B、C三点的坐标代入得：解得，∴抛物线的解析式是：y=x2+x+2．〔3〕设P、Q的运动时间为t秒，那么BP=t，CQ=t．以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形，可分三种情况讨论．①假设CQ=PC，如下列图，那么PC=CQ=BP=t．∴有2t=BC=，∴t=．②假设PQ=QC，如下列图，过点Q作DQ⊥BC交CB于点D，那么有CD=PD．由△ABC∽△QDC，可得出PD=CD=，∴，解得t=．③假设PQ=PC，如下列图，过点P作PE⊥AC交AC于点E，那么EC=QE=PC，∴t=〔-t〕，解得t=．〔4〕当CQ=PC时，由〔3〕知t=，∴点P的坐标是〔2，1〕，∴直线OP的解析式是：y=x，因而有x=x2+x+2，即x2-2x-4=0，解得x=1±，∴直线OP与抛物线的交点坐标为〔1+，〕和〔1-，〕．7．【答案】〔1〕D点的坐标是.〔2〕连结OD,如图〔1〕，由结论〔1〕知：D在∠COA的平分线上，那么∠DOE=∠COD=45°,又在梯形DOAB中，∠BAO=45°,∴OD=AB=3由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-45°,又∠2=∠DEA-45°∴∠1=∠2,∴△ODE∽△AEF∴，即：∴y与x的解析式为：〔3〕当△AEF为等腰三角形时，存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3种情况.当EF=AF时，如图〔2〕.∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°,∴△AEF为等腰直角三角形.D在A’E上〔A’E⊥OA〕,B在A’F上〔A’F⊥EF〕∴△A’EF与五边形OEFBC重叠的面积为四边形EFBD的面积.∵∴∴∴〔也可用〕②当EF=AE时，如图〔3〕，此时△A’EF与五边形OEFBC重叠局部面积为△A’EF面积.∠DEF=∠EFA=45°，DE∥AB，又DB∥EA∴四边形DEAB是平行四边形∴AE=DB=∴③当AF=AE时，如图〔4〕，四边形AEA’F为菱形且△A’EF在五边形OEFBC内.∴此时△A’EF与五边形OEFBC重叠局部面积为△A’EF面积.由〔2〕知△