《圆锥曲线的应用》考点透视

《圆锥曲线的应用》考点透视【考点透视】一、考纲指要1．会按条件建立目标函数研究变量的最值问题及变量的取值范围问题，注意运用“数形结合”、“几何法”求某些量的最值．2．进一步巩固用圆锥曲线的定义和性质解决有关应用问题的方法．二、命题落点1．考查地理位置等特殊背景下圆锥曲线方程的应用,修建公路费用问题转化为距离最值问题数学模型求解，如例1;2．考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力，如例2;3．考查双曲线的概念与方程，考查考生分析问题和解决实际问题的能力，如例3.【典例精析】例1：(2022·福建)如图,B地在A地的正东方向4km处,C地在B地的北偏东300方向2km处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向B、C两地转运货物.经测算,从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是（）BBAQPCM东北A．(2eq\r(7)-2)a万元B．5a万元C．(2eq\r(7)＋1)a万元D．(2eq\r(3)＋3)a万元解析:设总费用为y万元,则y＝a·MB＋2a·MC∵河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km∴曲线PG是双曲线的一支,B为焦点,且a＝1,c＝2.过M作双曲线的焦点B对应的准线l的垂线,垂足为D(如图).由双曲线的第二定义,得eq\f(MB,MD)＝e,即MB＝2MD．∴y＝a·2MD＋2a·MC＝2a·(MD＋MC)≥2a·CE.(其中CE是点C到准线BBAQPCM东北EGHD∵CE＝GB＋BH＝(c-eq\f(a2,c))＋BC·cos600＝(2-eq\f(1,2))＋2×eq\f(1,2)＝eq\f(5,2).∴y≥5a(万元).答案:B．例2：(2022·北京,理17)如图,过抛物线y2＝2px(p＞0)上一定点P(x0,y0)(y0＞0),作两条直线分别交抛物线于A(x1，y1),B(x2，y2).（1）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离;（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求的值,并证明直线AB的斜率是非零常数.解析:(1)当y＝eq\f(p,2)时,x＝eq\f(p,8).又抛物线y2＝2px的准线方程为x＝-eq\f(p,2),由抛物线定义得,所求距离为.（2）设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB．由y12＝2px1,y02＝2px0,相减得:,故.同理可得,由PA、PB倾斜角互补知,即,所以,故.设直线AB的斜率为kAB,由,,相减得,所以.将代入得,所以kAB是非零常数.例3：(2022·广东)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m,试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s,相关各点均在同一平面上)解析：如图,以接报中心为原点O,正东、正北方向为x轴、y轴正向,建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点,则A(－1020,0),B(1020,0),C(0,1020).xxyOCPAABN设P(x,y)为巨响发生点,由A、C同时听到巨响声,得|PA|＝|PC|,故P在AC的垂直平分线PO上,PO的方程为y＝－x,因B点比A点晚4s听到爆炸声,故|PB|－|PA|＝340×4＝1360.由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线eq\f(x2,a2)-\f(y2,b2)=1上,依题意得a＝680,c＝1020,∴b2＝c2-a2＝10202-6802＝5×3402,故双曲线方程为eq\f(x2,6802)-\f(y2,5×3402)=1.用y＝－x代入上式,得x＝±680eq\r(5),∵|PB|＞|PA|,∴x＝-680eq\r(5),y＝680eq\r(5),即P(-680eq\r(5),680eq\r(5)),故PO＝680eq\r(10).答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心680eq\r(10)m处.【常见误区】1．圆锥曲线实际应用问题多带有一定的实际生活背景,考生在数学建模及解模上均不同程度地存在着一定的困难,回到定义去,将实际问题与之相互联系,灵活转化是解决此类难题的关键;2．圆锥曲线的定点、定量、定值等问题是隐藏在曲线方程中的固定不变的性质,考生往往只能浮于表面分析问题,而不能总结出其实质性的结论,致使问题研究徘徊不前,此类问题解决需注意可以从特殊到一般去逐步归纳,并设法推导论证.【基础演练】1．(2022·重庆)若动点（）在曲线上变化，则的最大值为（）A．B．C．D．22．(2022·全国)设,则二次曲线的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．3．(2022·精华教育三模)一个酒杯的轴截面是一条抛物线的一部分,它的方程是x2＝2y,y∈[0,10]在杯内放入一个清洁球,要求清洁球能擦净酒杯的最底部(如图),则清洁球的最大半径为（）A．B．1C．D．24．(2022·泰州三模)在椭圆上有一点P,F1、F2是椭圆的左右焦点,△F1PF2为直角三角形,则这样的点P有（）A．2个B．4个C．6个D．8个5．(2022·湖南)设F是椭圆的右焦点,且椭圆上至少有21个不同的点Pi(i＝1,2,3,…),使|FP1|,|FP2|,|FP3|,…组成公差为d的等差数列,则d的取值范围为.6．(2022·上海)教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是.7．(2022·浙江)已知双曲线的中心在原点,右顶点为A(1,0),点P、Q在双曲线的右支上,点M(m,0)到直线AP的距离为1,（1）若直线AP的斜率为k,且|k|[],求实数m的取值范围；（2）当m＝＋1时,△APQ的内心恰好是点M,求此双曲线的方程.8．(2022·上海)如图,直线y＝x与抛物线y＝x2-4交于A、B两点,线段AB的垂直平分线与直线y＝-5交于Q点.（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B)的动点时,求ΔOPQ面积的最大值.9．(2022·北京春)2003年10月15日9时,“神舟”五号载人飞船发射升空,于9时9分50秒准确进入预定轨道,开始巡天飞行.该轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆.选取坐标系如图所示,椭圆中心在原点.近地点A距地面200km,远地点B距地面350km.已知地球半径R＝6371（1）求飞船飞行的椭圆轨道的方程;（2）飞船绕地球飞行了十四圈后,于16日5时59分返回舱与推进舱分离,结束巡天飞行,飞船共巡天飞行了约,问飞船巡天飞行的平均速度是多少km/s？(结果精确到1km/s)(注:km/s即千米/秒)参考答案1.A2.D3.B4.A5.6.用代数的方法研究图形的几何性质．7.(1)由条件得直线AP的方程即因为点M到直线AP的距离为1,∴即.∵∴解得＋1≤m≤3或-1≤m≤1-.∴m的取值范围是(2)可设双曲线方程为由得.又因为M是ΔAPQ的内心,M到AP的距离为1,所以∠MAP＝45º,直线AM是∠PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1.因此,(不妨设P在第一象限)直线PQ方程为.直线AP的方程y＝x-1,∴解得P的坐标是(2＋,1＋),将P点坐标代入得,,所以所求双曲线方程为即8.（1）解方程组,得或,即A(－4,－2),B(8,4),从而AB的中点为M(2,1).由kAB＝,直线AB的垂直平分线方程y－1＝-2(x－2).令y＝－5,得x＝5,∴Q(5,－5)(2)直线OQ的方程为x＋y＝0,设P(x,x2－4).∵点P到直线OQ的距离d＝＝,,∴SΔOPQ＝＝.∵P为抛物线上位于线段AB下方的点,且P不在直线OQ上,∴－4≤x＜4－4或4－4＜x≤8.∵函数y＝x2＋8x－32在区间[－4,8]上单调递增,∴当x＝8时,ΔOPQ的面积取到最大值30.9.(1)设椭圆的方程为,由题设