中考数学一轮复习考点突破 二次函数最值问题

中考数学一轮复习考点突破二次函数最值问题1.为了美化环境，学校准备在如图所示的矩形ABCD空地上进行绿化，规划在中间的一块四边形MNQP上种花，其余的四块三角形上铺设草坪，要求AM=AN=CP=CQ，已知BC=24米，AB=40米，设米，种花的面积为平方米，草坪面积平方米．（1）分别求和与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）（2）当AD的长为多少米时，种花的面积为440平方米？（3）若种花每平方米需200元，铺设草坪每平方米需100元，现设计要求种花的面积不大于440平方米，设学校所需费用W（元），求W与之间的函数关系式，并求出学校所需费用的最大值．2.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为A，与y轴交于点C，线段轴，交该抛物线于另一点B．(1)求点B的坐标及直线的解析式：(2)当二次函数的自变量x满足时，此函数的最大值为p，最小值为q，且．求m的值：(3)平移抛物线，使其顶点始终在直线上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围．3.阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数的最大值．他画图研究后发现，和时的函数值相等，于是他认为需要对进行分类讨论．他的解答过程如下：∵二次函数的对称轴为直线，∴由对称性可知，和时的函数值相等．∴若1≤m＜5，则时，的最大值为2；若m≥5，则时，的最大值为．请你参考小明的思路，解答下列问题：（1）当-2≤x≤4时，二次函数的最大值为；（2）若p≤x≤2，求二次函数的最大值；（3）若t≤x≤t+2时，二次函数的最大值为31，则的值为．4.如图，直线与抛物线相交于和，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作轴于点D，交抛物线于点C（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求为直角三角形时点P的坐标5.对于二次函数，在函数值的情况下，只有一个自变量的值与其对应．(1)求二次函数的解析式；(2)若在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为3，求的值．6.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿着边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B开始沿着边BC向点C以4cm/s的速度移动，P、Q分别到达B、C后运动停止．若P、Q两点同时移动t（s）；(1)当t为何值时，△BPQ的面积为32．(2)设四边形APQC的面积为S（），当移动几秒时，四边形APQC的面积为108？(3)在P、Q运动过程中，△BPQ面积是否有最大值？若有，求出△BPQ面积最大时t的值；若没有，请说明理由．7.定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x﹣1，它的相关函数为．（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；（2）已知二次函数．①当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；②当﹣3≤x≤3时，求函数的相关函数的最大值和最小值；（3）在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连结MN．直接写出线段MN与二次函数的相关函数的图象有两个公共点时m的取值范围．8.已知二次函数．（1）当时，求该二次函数图象的顶点坐标．（2）判断该二次函数图象与x轴交点的个数，并说明理由．（3）当时，该函数有最小值，求a的值．9.2022年2月4日，冬奥会在北京举行，某公司抓住商机开发研制了两款冬奥会开幕式吉祥物纪念章，深受人们喜爱，投入市场后发现其日销售量（套）与销售单价（元）之间的函数图象如图所示（要求每套销售价格不能低于每套成本，每套成本100元）．北京2022冬奥会开幕式纪念章(1)试求关于的函数关系式；(2)如果物价管理部门规定每套销售利润不能高于每套成本的45%，则此时每套定价是多少元时，所获得的日利润最大，最大利润为多少元？10.某电子科技公司研发生产一种儿童智力玩具，每件成本为65元，零售商到公司一次性批发x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍．（1）当时，求y与x的函数关系式．（2）某零售商一次性批发180件，需要支付多少元？（3）零售商厂一次性批发件，该公司的利润为w元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？11.已知点A（t，1）为函数y＝ax2+bx+4（a，b为常数，且a≠0）与y＝x图象的交点．（1）求t；（2）若函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴只有一个交点，求a，b；（3）若1≤a≤2，设当≤x≤2时，函数y＝ax2+bx+4的最大值为m，最小值为n，求m﹣n的最小值．12.某牧场准备利用现成的一堵“7”字型的墙面（如图中粗线表示墙面，已知，米，米）和总长为36米的篱笆围建一个“日”形的饲养场（细线表示篱笆，饲养场中间也是用篱笆隔开），如图，点可能在线段上，也可能在线段的延长线上．（1）当点在线段上时，①设的长为米，则米（用含的代数式表示）；②若要求所围成的饲养场的面积为66平方米，求饲养场的宽；（2）饲养场的宽为多少米时，饲养场的面积最大？最大面积为多少平方米？13.校园聚集现象是现在的热点话题，为了错开上学时间，某校中午13：30至13：40之间的十分钟是九年级同学们上学的集中时间，规定时间内到达学校门口的累积九年级学生数y（人数）随时间x（分钟）的变化情况如图所示，已知这十分钟的变化情况可以看成是二次函数，并在第10分钟累积学生数达到最多．（1）求y关于x的函数解析式；（2）当前疫情防控处于常态化，学生们进入校园均需进行体温检测，已知该校同时开启南门、西门、北门的三个体温检测点，己知每个检测点每分钟可以检测40人，已知第x分钟学校门口排队人数为z人，求z关于x的解析式，并求出z的最大值．14.小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，售后统计，盆景平均每盆利润是160元，花卉平均每盆利润是19元．调研发现：①盆景每增加1盆，盆景平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景平均每盆利润增加2元；②花卉平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2(单位：元)．(1)用含x的代数式分别表示W1，W2；(2)当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大？最大总利润是多少？15.在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A．（1）求顶点A的坐标（用含有字母m的代数式表示）；（2）若点，在抛物线上，且，则m的取值范围是；（直接写出结果即可）（3）当时，函数y的最小值等于6，求m的值．

参考答案1.【答案】（1）y1=-2x2+64x，y2=2x2-64x+960；（2）10米或22米；（3）W=-200(x-16)2+147200，140000元．【分析】（1）根据三角形面积公式可得y2的解析式，再用长方形面积减去四个三角形面积，即可得y1的函数解析式；（2）根据题意知y1＝440，即可得关于x的方程，解方程即可得；（3）根据题意，列出总费用的解析式，将其配方成顶点式，根据花的面积不大于440平方米可得x的范围，结合此范围根据二函数性质可得函数的最大值，从而得解.【详解】解：（1）根据题意，y2=2××x×x+2×(40-x)(24-x)=2x2-64x+960，y1=40×24-y2=-2x2+64x；（2）根据题意，知y1=440，即-2x2+64x=440，解得：x1=10，x2=22，故当AN的长为10米或22米时种花的面积为440平方米；（3）设总费用为W元，则W=200(-2x2+64x)+100(2x2-64x+960)=-200(x-16)2+147200，由（2）知当0<x≤10或22≤x≤24时，y1≤440，在W=-200(x-16)2+147200中，当x<16时，W随x的增大而增大，当x>16时，W随x的增大而减小，∴当x=10时，W取得最大值，最大值W=140000，当x=22时，W取得最大值，最大值W=140000，∴学校至少要准备140000元．2.【答案】(1)B（2，-3），直线AC为：y=-x-3；(2)m=或m=；(3)n=或1＜n≤4；【分析】（1）求得抛物线与y轴交点C，再由对称轴x=1求得点B坐标，由点A、C坐标待定系数法求直线AC解析式即可；（2）利用二次函数的对称性分情况讨论：①当m+2≤1时，x=m时取最大值，x=m+2时取最小值，②当m+2＞1且m＜1，1-m＞m+2-1时，x=m时取最大值，x=1时取最小值，③当m+2＞1且m＜1，1-m＜m+2-1时，x=m+2时取最大值，x=1时取最小值，④当m≥1时，x=m+2时取最大值，x=m时取最小值；根据列方程求解即可；（3）过点A作直线AE⊥BC于E，作直线AF⊥y轴于F，根据坐标特征求得AECF是正方形，于是点A沿直线AC平移时，横纵坐标平移距离相等；结合图形可得设抛物线向左平移到与直线AB只有1个交点时与射线BA也只有一个交点，由平移后的抛物线与直线BA联立求值即可；当抛物线由点A向右平移至左半部分过点B时，与射线BA也只有一个交点，将B点坐标代入平移后的抛物线计算求值即可；（1）解：，∴顶点坐标A（1，-4），对称轴x=1，当x=0时y=-3，即C（0，-3），点B、C关于对称轴x=1对称，则B（2，-3），设直线AC：y=kx+b，由A（1，-4），C（0，-3），可得，解得：∴直线AC为：y=-x-3；（2）解：①当m+2≤1时，即m≤-1时，x=m时取最大值，x=m+2时取最小值，∴，解得：，不符合题意；②当m+2＞1且m＜1，1-m＞m+2-1时，即-1＜m＜0时，x=m时取最大值，x=1时取最小值，∴，解得：m=，或m=（舍去），③当m+2＞1且m＜1，1-m＜m+2-1时，即0＜m＜1时，x=m+2时取最大值，x=1时取最小值，∴，解得：m=，m=（舍去），④当m≥1时，x=m+2时取最大值，x=m时取最小值，∴，解得：，不符合题意；m=0时，二次函数在0≤x≤2上最大值-3，最小值-4，-3-（-4）=1不符合题意；综上所述：m=或m=；（3）解：由题意作图如下，过点A作直线AE⊥BC于E，作直线AF⊥y轴于F，由A（1，-4）、B（2，-3）可得直线AB解析式为：y=x-5，∵C（0，-3），∴F（0，-4），E（1，-3），∵AF=1，AE=1，CF=1，CE=1，∠AEC=90°，∴四边形AECF是正方形，∴∠CAE=∠CAF=45°，根据对顶角相等，可得当点A沿直线AC平移m长度时，横坐标平移m•cos45°，纵坐标平移m•cos45°，即点A沿直线AC平移时，横纵坐标平移距离相等，设抛物线向左平移m单位后，与直线AB只有1个交点，则令△=0，解得：m=，∴n=1-=，由图象可得当抛物线由点A向右平移至左半部分过点B时，与射线BA只有一个交点，设抛物线向右平移m单位后，左半部分过点B，则B（2，-3）在抛物线上，，解得：m=0（舍去）或m=3，∴1＜n≤4，综上所述n=或1＜n≤4；3.【答案】（1）49；（2）若p≤-4，则当x=p时，y的最大值为2p2+4p+1，若-4＜p≤2，则当x=2时，y的最大值为17；（3）t的值为1或-5．【分析】试题分析：（1）先求出抛物线的对称轴为直线x=-1，然后确定当x=4时取得最大值，代入函数解析式进行计算即可得解；（2）先求出抛物线的对称轴为直线x=-1，再根据对称性可得x=-4和x=2时函数值相等，然后分p≤-4，-4＜p≤2讨论求解；（3）根据（2）的思路分t＜-2，t≥-2时两种情况讨论求解．【详解】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=-1，∴当-2≤x≤4时，二次函数y=2x2+4x+1的最大值为：2×42+4×4+1=49；（2）∵二次函数y=2x2+4x+1的对称轴为直线x=-1，∴由对称性可知，当x=-4和x=2时函数值相等，∴若p≤-4，则当x=p时，y的最大值为2p2+4p+1，若-4＜p≤2，则当x=2时，y的最大值为17；（3）t＜-2时，最大值为：2t2+4t+1=31，整理得，t2+2t-15=0，解得t1=3（舍去），t2=-5，t≥-2时，最大值为：2（t+2）2+4（t+2）+1=31，整理得，（t+2）2+2（t+2）-15=0，解得t1=1，t2=-7（舍去），所以，t的值为1或-5．4.【答案】（1）；（2）存在，；（3）或【分析】（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，通过待定系数法即可求得解析式；（2）设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，可得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，再化成顶点式即可；（3）当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解即可．【详解】（1）∵在直线上，∴，∴，∵、在抛物线上，∴，解得，∴抛物线的解析式为．（2）设动点P得坐标为，则C点得坐标为，∴，∵，∴当时，线段PC最大且为．（3）∵为直角三角形，①若点A为直角顶点，．由题意易知，，，因为此种情形不存在；②若点A为直角顶点，则．如图1，过点作于点N，则，．过点A作，交x轴于点M，则由题意易知，为等腰直角三角形，∴，∴，∴．设直线AM得解析式为，则：，解得，所以直线AM得解析式为：又抛物线得解析式为：②联立①②式，解得：或（与点A重合，舍去）∴，即点C、M点重合．当时，，∴；③若点C为直角顶点，则．∵，∴抛物线的对称轴为直线．如图2，作点关于对称轴得对称点C，则点C在抛物线上，且，当时，．∵点、均在线段AB上，∴综上所述，为直角三角形时，点P得坐标为或．5.【答案】(1)(2)0或-6【分析】（1）把y=−1代入函数解析式中，得关于x的一元二次方程，由题意此方程有两个相等的实数根，由判别式=0即可求得b，从而可求得二次函数解析式；（2）分三种情况：m≥−2；−4≤m<−2；m<−4，利用二次函数的图象与性质即可求解．（1）当y=−1时，即，∴．由题意知，上述一元二次方程有两个相等的实数解，则，解得：b=4或b=0（舍去），则所求函数解析式为：．（2）∵，∴抛物线的对称轴为直线x=−2．①当m≥−2时，m+2≥0，∴当时，函数值y随自变量x的增大而增大，∴当x=m时，y取得最小值，即，解得：m=0或m=−4（舍去）．②当−4≤m<−2时，−2≤m+2，∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，∴函数在x=−2时，y取得最小值，且最小值为-1．即这样的m不存在．③当m<−4时，m+2<−2，∴当时，y随x的增大而减小，∴当x=m+2时，y取得最小值，即，解得：m=−6或m=−2（舍去）．综上，m的取值为0或−6．6.【答案】(1)t=2或t=4(2)t=3(3)有，t=3，最大为36【分析】（1）根据题意，BQ=4t，AP=2t，PB=12-2t，根据直角三角形的面积公式建立等式求解即可．（2）根据题意，四边形APQC的面积等于直角三角形ABC的面积减去直角三角形BPQ的面积，建立等式求解即可．（3）根据题意，BQ=4t，AP=2t，PB=12-2t，根据直角三角形的面积公式构造二次函数求解即可．（1）根据题意，BQ=4t，AP=2t，PB=12-2t，所以，整理得，解得t=2或t=4，故t=2或t=4，△BPQ的面积为32．（2）根据题意，BQ=4t，AP=2t，PB=12-2t，所以S=，整理得，解得t=3，故t=3，四边形APQC的面积为108．（3）在P、Q运动过程中，△BPQ面积有最大值，且为36．理由如下：根据题意，BQ=4t，AP=2t，PB=12-2t，设△BPQ为p，所以p=，因为a=-1＜0，所以p有最大值，且当t=3时，p最大，最大为36．7.【答案】（1）1；（2）①m=2﹣或m=2+或m=2﹣；②最大值为，最小值为﹣；（3）﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤．【分析】（1）函数y=ax﹣3的相关函数为，将然后将点A（﹣5，8）代入y=﹣ax+3求解即可；（2）二次函数的相关函数为，①分为m＜0和m≥0两种情况将点B的坐标代入对应的关系式求解即可；②当﹣3≤x＜0时，，然后可此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当﹣3≤x≤3时的最大值和最小值；（3）首先确定出二次函数的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围．【详解】解：（1）函数y=ax﹣3的相关函数为，将点A（﹣5，8）代入y=﹣ax+3得：5a+3=8，解得：a=1．（2）二次函数的相关函数为；①当m＜0时，将B（m，）代入得，解得：m=2+（舍去）或m=2﹣．当m≥0时，将B（m，）代入得：，解得：m=2+或m=2﹣．综上所述：m=2﹣或m=2+或m=2﹣．②当﹣3≤x＜0时，，抛物线的对称轴为x=2，此时y随x的增大而减小，∴此时y的最大值为．当0≤x≤3时，函数，抛物线的对称轴为x=2，当x=0有最小值，最小值为﹣，当x=2时，有最大值，最大值y=．综上所述，当﹣3≤x≤3时，函数的相关函数的最大值为，最小值为﹣；（3）如图1所示：线段MN与二次函数的相关函数的图象恰有1个公共点．所以当x=2时，y=1，即﹣4+8+n=1，解得n=﹣3．如图2所示：线段MN与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点∵抛物线与y轴交点纵坐标为1，∴﹣n=1，解得：n=﹣1，∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点．如图3所示：线段MN与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线经过点（0，1），∴n=1．如图4所示：线段MN与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点．∵抛物线经过点M（﹣，1），∴+2﹣n=1，解得：n=，∴1＜n≤时，线段MN与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点．综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤．8.【答案】（1）；（2）当时，有1个交点；当且时，有2个交点；见解析；（3）或【分析】（1）由配方法可求顶点坐标；（2）由根的判别式即可求解；（3）分a＞0或a＜0两种情况讨论，由二次函数的性质可求解．【详解】解：（1）当时，；∴顶点坐标为：；（2）根据题意，，当时，有1个交点；当且时，有2个交点；（3）对称轴：①当对称轴：ⅰ）即时∴（舍）ⅱ），即时∴（舍）②当对称轴：∵离对称轴更远∴∴综上所述，∴或9.【答案】(1)与的函数关系式是；(2)要取得最大利润，定价应为145元，最大利润为元.【分析】(1)设与的函数关系式为，利用待定系数法即可求解；(2)设日利润为元，根据题意列出函数关系式，利用二次函数的最值问题即可求解．【详解】（1）设与的函数关系式为，由题意，得，解得，

即与的函数关系式是；（2）（2）设日利润为元，由题意可得，，由题意可得，解得，∵，∴要取得最大利润，定价应为145元，最大利润为元．10.【答案】（1）；（2）16560元；（3），w的值最大，最大值为5250元．【分析】（1）设y与x的函数关系式为，根据图象利用待定系数法求解析式即可．（2）根据（1）求出此时的批发单价，再乘以批发数量即可．（3）分类讨论①当时和②当时，结合利润=销售量×（售价-成本）列出w与x的函数关系即可得出答案．【详解】（1）当时，设y与x的函数关系式为，根据图象可知该一次函数过点(100，100)和点(300，80)．∴，解得：．故当时，y与x的函数关系式为．（2）根据题意可知一次性批发180件时，批发单价为元．故共需支付元．（3）①当时，根据题意可列等式：，∵x为10的整数倍．∴当x取220或230时，w有最大值，且最大值为元．②当时，可列等式：，即当x=350时，w有最大值，且最大值为元，综上，当x=350时，w最大，且为5250．11.【答案】（1）t＝1；（2）或；（3）m﹣n的最小值【分析】（1）把A（t，1）代入y＝x即可得到结论；（2）根据题意得方程组，解方程组即可得到结论；（3）把A（1，1）代入y＝ax2＋bx＋4得，b＝−3−a，得到y＝ax2−（a＋3）x＋4的对称轴为直线x＝，根据1≤a≤2，得到对称轴的取值范围≤x≤2，当x＝时，得到m＝−，当x＝2时，得到n＝−，即可得到结论．【详解】解：（1）把A（t，1）代入y＝x得t＝1；（2）∵y＝ax2+bx+4的图象与x轴只有一个交点，∴，∴或；（3）把A（1，1）代入y＝ax2+bx+4得，b＝﹣3﹣a，∴y＝ax2﹣（a+3）x+4＝a（x﹣）2﹣，∴对称轴为直线x＝，∵1≤a≤2，∴≤x＝≤2，∵≤x≤2，∴当x＝时，y＝ax2+bx+4的最大值为m＝﹣，当x＝2时，n＝﹣，∴m﹣n＝，∵1≤a≤2，∴当a＝2时，m﹣n的值最小，即m﹣n的最小值．12.【答案】（1）①；②饲养场的宽为11米；（2）饲养场的宽为8米时，饲养场的面积最大，最大面积为96平方米．【分析】（1）①根据矩形的性质求出GH和DB的长度，进而求出AD的长度，再根据篱笆总长度为36米，做减法即可求出DE的长度．②根据矩形的面积公式列出一元二次方程并求解即可．（2）根据题意，对点F是在线段BC上还是在线段BC的延长线上进行分类讨论，然后根据矩形的面积公式列出饲养场BDEF的面积S与EF的长度x的关系式，再根据二次函数的性质求出当x为何值时，S取到最大值．【详解】解：（1）①∵饲养场BDEF是一个“日”形，∴四边形BDEF是由矩形BDGH和矩形FEGH组成的矩形．∴DE=BF，DB=GH=EF．∵EF=x，∴DB=GH=EF=x．又∵AB=3，∴．∴．∴．故答案为：（）．②∵要求所围成的饲养场的面积为66平方米，∴．∴．解得，，∵点在线段上，且BC=9，∴，即．解得．∴x=11，即饲养场的宽为11米．答：饲养场的宽为11米．（2）设饲养场的面积为，的长为米．①当点在线段上时，根据（1）可得：，∵，∴当时，有最大值，最大值为，且当时，随的增大而减小．∵当点在线段上时，需满足，∴时，有最大值，最大值为（平方米）．此时，满足点F在线段BC上．②当点在线段的延长线上时，设DE为y米，由（1）可得DB=GH=EF=x，DE=BF=y，，∵BC=9，∴．∴．∴．解得．∴．∴．∵，∴当时，有最大值，最大值为（平方米）．此时，满足点F在线段BC的延长线上．∵，∴饲养场的宽为8米时，饲养场的面积最大，最大面积为96平方米．答：饲养场的宽为8米时，饲养场的面积最大，最大面积为96平方米．13.【答案】（1）y=-12（x-10）2+1200；（2）z=-（x-10）2+100，100【分析】（1）由题意，知道顶点坐标和经过原点，利用待定系数法，即可求出答案；（2）由题意，，