中考数学新定义题型之角度问题、线段取值范围

新定义1、如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，称这条边上的中线为“好玩线”．

（1）如图1，以线段BC为三角形的一边，请用直尺和圆规画一个△ABC，且△ABC是“好玩三角形”(保留作图痕迹，不写作法)；

(2)如图2，在平面直角坐标系中，已知A(-3，0)，B(3，0)，M(-5，0)，点D是以点M为圆心4为半径的圆上除x轴外的任意一点，且D为AC中点．①描述点C的轨迹：；②若点D不在x轴上，且△ABC中有两条“好玩线”，求出此时△ABC的面积。

2、在平面直角坐标系xOy中，点A在直线l上，以A为圆心，OA为半径的圆与y轴的另一个交点为E．给出如下定义：若在线段OE，⊙A和直线l上分别存在点B、点C和点D，使得四边形ABCD是矩形（点A，B，C，D顺时针排列），则称矩形ABCD为直线l的“理想矩形”．例如，图①中的矩形ABCD为直线l的“理想矩形”．（1）如图②，已知点A（﹣1，2）在直线x＝﹣1上，四边形ABCD为直线x＝﹣1的“理想矩形”，直接写出点D的坐标；（2）如图③，已知一次函数y＝kx+1（k≠0）的图象是直线l，点A（1，2）在直线l上，求直线l的“理想矩形”ABCD的面积；（3）已知点A（1，3）在直线l上，若直线l的“理想矩形”ABCD是正方形，求点D的坐标．解：（1）如图1，点D的坐标为（﹣1，0）．故答案为：（﹣1，0）；（2）过点A作AF⊥y轴于点F，连接AO、AC，如图2．∵点A的坐标为（1，2），∴AC＝AO＝，AF＝1，OF＝2．∵点A（1，2）在直线y＝kx+1上，∴k+1＝2，解得k＝1．设直线y＝x+1与y轴相交于点G，当x＝0时，y＝1，点G（0，1），OG＝1，∴FG＝OF﹣OG＝2﹣1＝1＝AF，∴∠FGA＝45°，AG＝．在Rt△GAB中，AB＝AG•tan45°＝．在Rt△ABC中，BC＝＝．∴所求“理想矩形”ABCD面积为AB•BC＝；（3）设“理想矩形”的一组邻边长分别为x、y，则有x2+y2＝AC2＝AO2＝12+32＝10．∵（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝10﹣2xy≥0，∴xy≤5．当且仅当x＝y时，xy取最大值是5，此时“位置矩形”是正方形．①当点D在第四象限时，如图3，过点A作x轴的平行线，交y轴于点M，交过点D平行于y轴的直线于点N，∵∠BAM+∠DAN＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，∴∠ABM＝∠DAN，在RtAMB和Rt△DNA中，∠AMB＝∠DNA，∠ABM＝∠DAN，AB＝AD，∴Rt△AMB≌Rt△DNA（AAS），则有AN＝BM＝2，DN＝AM＝1，∴点D的坐标为（1+2，﹣3+1），即（3，﹣2）．②当点D在第三象限时，如图4，过点A作x轴的平行线，交y轴于点N，交过点D平行于y轴的直线于点M，同①的方法得：Rt△ANB≌Rt△DMA（AAS），则有DM＝AN＝1，AM＝BN＝2，∴点D的坐标为（1﹣2，﹣3+1）即（﹣1，﹣2）．故答案为：5、（3，﹣2）或（﹣1，﹣2）．3、我们不妨约定：如图①，若点D在△ABC的边AB上，且满足∠ACD=∠B(或∠BCD=∠A)，则称满足这样条件的点为△ABC边AB上的“理想点”。(1)如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC=，AB=4.试判断点D是不是△ABC边AB上的“理想点”，并说明理由。(2)如图②，在⊙O中，AB为直径，且AB=5，AC=4.若点D是△ABC边AB上的“理想点”，求CD的长。(3)如图③，已知平面直角坐标系中，点A(0，2)，B(0，−3)，C为x轴正半轴上一点，且满足∠ACB=45°，在y轴上是否存在一点D，使点A是B，C，D三点围成的三角形的“理想点”，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：(1)结论：点D是△ABC的“理想点”。理由：如图①中，∵D是AB中点，AB=4，∴AD=DB=2，∵AC2==8，ADAB=8，∴AC2=ADAB，∴，∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴∠ACD=∠B，∴点D是△ABC的“理想点”，(2)如图②中，∵点D是△ABC的“理想点”，∴∠ACD=∠B或∠BCD=∠A，当∠ACD=∠B时，∵∠ACD+∠BCD=90°，∴∠BCD+∠B=90°，∴∠CDB=90°，当∠BCD=∠A时，同法证明：CD⊥AB，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵AB=5，AC=4，∴BC=，∵ABCD=ACBC，∴CD=.(3)如图③中，存在。有三种情形：过点A作MA⊥AC交CB的延长线于M，作MH⊥y轴于H.∵∠MAC=∠AOC=∠AHM=90°,∠ACM=45°，∴∠AMC=∠ACM=45°，∴AM=AC，∵∠MAH+∠CAO=90°,∠CAO+∠ACO=90°，∴∠MAH=∠ACO，∴△AHM≌△COA(AAS)，∴MH=OA,OC=AH,设C(a,0)，∵A(0,2),B(0,−3)，∴OA=MH=2，OB=3.AB=5，OC=AH=a，BH=a−5，∵MH∥OC，∴，∴，解得a=6或−1(舍弃)，经检验a=6是分式方程的解，∴C(6,0)，OC=6，①当∠D1CA=∠ABC时,点A是△BCD1的“理想点”。设D1(0,m)，∵∠D1CA=∠ABC,∠CD1A=∠CD1B，∴△D1AC∽△D1CB，∴=D1A⋅D1B，∴m2+62=(m−2)(m+3)，解得m=42，∴D1(0,42).②当∠BCA=∠CD2B时,点A是△BCD2的“理想点”。易知：∠CD2O=45°，∴OD2=OC=6，∴D2(0，6).综上所述，满足条件的点D坐标为(0，42)或(0，6).【分析】（1）结论：点D是△ABC的“理想点”．只要证明△ACD∽△ABC即可解决问题；

（2）只要证明CD⊥AB即可解决问题；

（3）如图③中，存在．有2种情形：过点A作MA⊥AC交CB的延长线于M，作MH⊥y轴于H．构造全等三角形，利用平行线分线段成比例定理构建方程求出点C坐标，分2种情形求解即可解决问题．新定义--取值范围1.（本小题满分10分）阅读并解答下列问题：如图①，点A是⊙B外一点，⊙B的半径为R，以AB的中点C为圆心，长为半径作⊙C，我们称⊙C是点A关于⊙B的“中位圆”。在平面直角坐标系中，已知点A（-2，0），点B（2，0），以BO长为半径作⊙B.（1）如图②，直线AT与⊙B相切于点T。在图中作出点A关于⊙B的“中位圆”，并判断直线AT与“中位圆”的位置关系，说明理由（作图不写作法，保留作图痕迹）.（2）如图③，过点A作直线交轴于点E，点P是直线AE上一个动点.①若点P从点A运动到点E，直接写出点P关于⊙B的“中位圆”的圆心经过的路径长；②若点P关于⊙B的“中位圆”与轴有公共点，直接写出点P的横坐标的取值范围.2.在平面直角坐标系xOy中，若P、Q为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与x轴，y轴平行，则称该菱形为点P、Q的“相关菱形”。图1为点P、Q的“相关菱形”的一个示意图。已知点A的坐标为（1，4），点B的坐标为（b，0）。（1）若b=3，则R（-1，0），S（5，4），T（6，4）中能成为点A、B的“相关菱形”顶点的是_____

。（2）若点A、B的“相关菱形”为正方形，求b的值。（3）⊙B的半径为，点C的坐标为（2，4）。若⊙B上存在点M，在线段AC上存在点N，使点M、N的“相关菱形”为正方形，请直接写出b的取值范围。（1）R、S。（2）过点A作AH垂直x轴于H点。因为点A、B的“相关菱形”为正方形，所以△ABH为等腰直角三角形。因为点A的坐标为（1，4），所以BH=AH=4，所以b=-3或5。（3）-5≤b≤0或3≤b≤8。3.（9分）阅读理解：如图1，在纸面上画出了直线与，直线与相离，为直线上一动点，过点作的切线，切点为，连接、，当的面积最小时，称为直线与的“最美三角形”．解决问题：（1）如图2，的半径为1，，分别过轴上、、三点作的切线、、，切点分别是、、，下列三角形中，是轴与的“最美三角形”的是②．（填序号）①；②；③（2）如图3，的半径为1，，直线与“最美三角形”的面积为，求的值．（3）点在轴上，以为圆心，为半径画，若直线与的“最美三角形”的面积小于，请直接写出圆心的横坐标的取值范围．【答案】解：（1）如图1，是的切线，，当的半径是定值时，，，要的面积最小，则最小，此时，最小，即，在图2中，轴，是轴与的“最美三角形”，故答案为：②；（3）①当时，如图3，作出如图3所示：是直线与的“最美三角形”，是直角三角形，直线与的“最美三角形”的面积为，，，在中，根据勾股定理得，，点，，在中，根据勾股定理得出，，，过点作轴于，，，点的坐标为，点在直线上，，②当时，同①的方法得，，即的值为1或；（3）记直线与、轴的交点为，，则，，，在中，，，①当在直线右侧时，如图4，是直线与的“最美三角形”，，，在中，，，的半径为，，当直线与相切时，，直线与相离，，此时，，，是直线与的“最美三角形”，，，，，，在中，，，，，②当在直线左侧时，同①的方法得，，即圆心的横坐标的取值范围为或．【分析】（1）先判断出时，面积最小，即可得出结论；（2）①当时，先求出，进而求出，再求出