2023年湖南省株洲市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)

2023年湖南省株洲市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.设∫0xf(t)dt=xsinx，则f(x)=()A.sinx+xcosxB.sinx-xcosxC.xcosx-sinxD.-(sinx+xcosx)

2.设y1，y2为二阶线性常系数微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个特解，则C1y1+C2y2()．A.A.为所给方程的解，但不是通解B.为所给方程的解，但不一定是通解C.为所给方程的通解D.不为所给方程的解

3.级数()。A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与k有关

4.曲线y=x+(1/x)的凹区间是

A.(-∞，-1)B.(-1，+∞)C.(-∞，0)D.(0，+∞)

5.

6.设f(x)在点x0的某邻域内有定义，且，则f'(x0)等于()．A.-1B.-1/2C.1/2D.1

7.

8.函数y=x2-x+1在区间[-1，3]上满足拉格朗日中值定理的ξ等于()．

A.-3/4B.0C.3/4D.1

9.A.A.yxy-1

B.yxy

C.xylnx

D.xylny

10.设函数z=sin(xy2)，则等于()。A.cos(xy2)

B.xy2cos(xy2)

C.2xyeos(xy2)

D.y2cos(xy2)

11.

12.

A.0

B.

C.1

D.

13.设函数为()．A.A.0B.1C.2D.不存在

14.

15.

16.A.1B.0C.2D.1/2

17.

A.2e-2x+C

B.

C.-2e-2x+C

D.

18.A.3B.2C.1D.1/2

19.A.1-cosxB.1+cosxC.2-cosxD.2+cosx

20.在特定工作领域内运用技术、工具、方法等的能力称为（）

A.人际技能B.技术技能C.概念技能D.以上都不正确

二、填空题(20题)21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

三、计算题(20题)41.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

42.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

43.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

44.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

45.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

46.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

47.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

48.

49.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

50.

51.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

52.证明：

53.

54.

55.求微分方程的通解．

56.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

57.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

58.

59.

60.

四、解答题(10题)61.

62.求微分方程y"-y'-2y=3ex的通解．

63.

64.

65.计算

66.

67.

68.设D是由曲线x=1-y2与x轴、y轴,在第一象限围成的有界区域.求:(1)D的面积S;(2)D绕x轴旋转所得旋转体的体积V.

69.

70.设ex-ey=siny，求y’

五、高等数学(0题)71.设

则当n→∞时，x,是__________变量。

六、解答题(0题)72.(本题满分8分)

参考答案

1.A

2.B本题考查的知识点为线性常系数微分方程解的结构．

已知y1，y2为二阶线性常系数齐次微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个解，由解的结构定理可知C1y1+C2y2为所给方程的解，因此应排除D．又由解的结构定理可知，当y1，y2线性无关时，C1y1+C2y2为y"+p1y'+p2y=0的通解，因此应该选B．

本题中常见的错误是选C．这是由于忽略了线性常系数微分方程解的结构定理中的条件所导致的错误．解的结构定理中指出：“若y1，y2为二阶线性常系数微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个线性无关的特解，则C1y1+C2y2为所给微分方程的通解，其中C1，C2为任意常数．”由于所给命题中没有指出)y1，y2为线性无关的特解，可知C1y1+C2y2不一定为方程的通解．但是由解的结构定理知C1y1+C2y2为方程的解，因此应选B．

3.A本题考查的知识点为级数的绝对收敛与条件收敛。

由于的p级数，可知为收敛级数。

可知收敛，所给级数绝对收敛，故应选A。

4.D解析：

5.D解析：un、vn可能为任意数值，因此正项级数的比较判别法不能成立，可知应选D。

6.B由导数的定义可知

可知，故应选B。

7.D

8.D解析：本题考查的知识点为拉格朗日中值定理的条件与结论．

由于y=x2-x+1在[-1，3]上连续，在(-1，3)内可导，可知y在[-1，3]上满足拉格朗日中值定理，又由于y'=2x-1，因此必定存在ξ∈(-1，3)，使

可知应选D．

9.A

10.D本题考查的知识点为偏导数的运算。由z=sin(xy2)，知可知应选D。

11.A

12.A

13.D本题考查的知识点为极限与左极限、右极限的关系．

由于f(x)为分段函数，点x=1为f(x)的分段点，且在x=1的两侧，f(x)的表达式不相同，因此应考虑左极限与右极限．

14.C解析：

15.D解析：

16.C

17.D

18.B，可知应选B。

19.D

20.B解析：技术技能是指管理者掌握和熟悉特定专业领域中的过程、惯例、技术和工具的能力。

21.2．

本题考查的知识点为二阶导数的运算．

22.

23.

解析：

24.1．

本题考查的知识点为反常积分，应依反常积分定义求解．

25.由可变上限积分求导公式可知

26.

本题考查的知识点为二元函数的偏导数．

27.

28.

29.y''=x(asinx+bcosx)

30.

31.[*]

32.1

33.

34.

本题考查的知识点为隐函数的求导．

35.坐标原点坐标原点

36.

37.ln|x-1|+c

38.2m

39.

解析：

40.本题考查的知识点为求二元函数的全微分．

通常求二元函数的全微分的思路为：

41.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

42.

43.由等价无穷小量的定义可知

44.

45.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

46.

47.

48.

49.

列表：

说明

50.

51.由二重积分物理意义知

52.

53.

54.

55.

56.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

57.函数的定义域为

注意

58.由一阶线性微分方程通解公式有

59.

则

60.

61.

62.相应的齐次微分方程为y"-y'-2y=0．其特征方程为r2-r-2=0．其特征根为r1=-1，r2=2．齐次方程的通解为Y=C1e-x+C2e2x．由于f(x)=3ex，1不是其特征根，设非齐次方程的特解为y*=Aex．代入原方程可得

原方程的通解为

本题考查的知识点为求解二阶线性常系数非齐次微分方程．

由二阶线性常系数非齐次微分方程解的结构定理可知，其通解y=相应齐次方程的通解Y+非齐次方程的一个特解y