流体力学全册配套完整课件3

流体力学全册配套完整课件3《流体力学》汪志明教授2/24第一章流体的流动性质§1流体力学的基本概念§2流体的连续介质假设§3状态方程§4传导系数§5表面张力与毛细现象《流体力学》汪志明教授3/24§1流体力学的基本概念力学连续介质力学弹塑性力学流体力学静力学、运动学和动力学质点力学刚体力学理论计算实验《流体力学》汪志明教授4/24§1流体力学的基本概念

时（一般数量级约为10-10m）斥力等于引力，合力为零。固体和液体分子间距离一般等于这个值；

时，由于分子受引力，后引力衰减为零；不容易液化的气体，在一个大气压条件下，分子间距一般离大于，不再受引力，此时的气体可以看作为是理想气体；

时，由于分子受引力，且随减小，斥力急剧增大。这就是固体和液体具有很大的抗压缩性的原因《流体力学》汪志明教授5/24§1流体力学的基本概念

流体质点具有大的流动性，具有平移、旋转和振动等运动形式。相比之下，固体分子的迁移受到限制，仅能在相对固定的位置振动或转动。在外力的作用下，流体和固体表现出不同的行为特征。固体有抗拉强度，流体(除粘弹性流体之外的)却没有抗拉强度。流体无固定形状，它们的形状随盛装容器的形状的改变而改变，流体仅在容器中能承受压力。固体在弹性极限范围内能承受剪切应力，而流体只要有剪切作用存在，将立即产生形变。固体间摩擦力取决于其接触面的压力；而流体摩擦力与施加的压力无关。固体在静止状态下仍存在摩擦力，而流体在静止状态下不存在剪切应力。流体是各向同性的，与大多数固体相比。流体运动与受力相关特性。

流体定义：被认为是在外力作用下能产生连续变形的各向同性的物质。流体运动的特征形式是流体流动，此流动可用三维欧几里得空间的连续变换来表征。《流体力学》汪志明教授6/24§1流体力学的基本概念，其分子有效直径的数量级为

液体的分子间距和分子有效直径差不多是相等的，当夜体受压时，由于分子间距稍有缩小，就会表现出强大的分子斥力来抵抗外力。也就是说，液体分子间距很难缩小，通常把液体称为不可压缩流体。另一方面，由于分子引力的作用，液体有力求自身表面面积收缩到最小的特性，所以在大容器里只能占据一定的体积，而在上面形成自由的分界面。液体表面存在表面张力。一般说来，气体分子间距较大，分子间引力很小。分子间距比分子有效直径大得多。只有当气体分子间距缩小很多时，才会出现分子斥力，故气体可压缩。又因为气体分子间距离很大，分子间引力很小，这就使得气体即没有一定的形态，也没有一定的体积。因此一定量气体进入较大容器内，由于分子不断的运动，结果使气体均匀充满整个容器，而不会形成自由液面。气体没有表现张力行为。液体与气体差别《流体力学》汪志明教授7/24第一章流体的流动性质§1流体力学的基本概念§2流体的连续介质假设§3状态方程§4传导系数§5表面张力与毛细现象《流体力学》汪志明教授8/24§2流体的连续介质假设虽然流体的真实结构是由分子构成，分子间有一定的孔隙，但流体力学研究的并不是个别分子微观的运动，而是研究大量分子组成的宏观流体在外力的作用下所引起的机械运动。因此在流体力学中引入连续介质假设：即认为流体质点是微观上充分大，宏观上充分小的流体微团，它完全充满所占空间，没有孔隙存在。这就摆脱了复杂的分子运动，而着眼于宏观机械运动。《流体力学》汪志明教授9/24第一章流体的流动性质§1流体力学的基本概念§2流体的连续介质假设§3状态方程§4传导系数§5表面张力与毛细现象《流体力学》汪志明教授10/24§4状态方程状态方程定压热膨胀系数等温压缩系数等容压力系数任意温度下的密度《流体力学》汪志明教授11/24§4状态方程

图1.5-1.6图1.7《流体力学》汪志明教授12/24§4状态方程内能和焓：不可压缩流体、理想气体《流体力学》汪志明教授13/24第一章流体的流动性质§1流体力学的基本概念§2流体的连续介质假设§3流体的性质及其分类§4状态方程§5传导系数§6表面张力与毛细现象《流体力学》汪志明教授14/24§5传导系数在机械作用情况下，应力为动量的传导量。对于一维流体运动，剪切应力为——剪切应力，单位时间穿过单位面积的动量流率，——为速度梯度工程单位：泊／Ｐ——为动力粘性系数，国际单位厘泊／mＰ许多水动力学方程中，我们常用到粘度与密度的比值——运动粘度国际单位

工程单位：斯、厘斯《流体力学》汪志明教授15/24§5传导系数

动力粘度是流体的特征属性，其是温度、压力和剪切速率的函数。最简单的情况是，动力粘度仅是温度的函数。对等温流体，粘度为常数。如果流体的粘度与剪切速率无关，称此流体为牛顿流体。在定压条件下，所有牛顿流体的粘度均随温度的升高而减小；而气体的粘度刚好相反，纯液体的粘度在很大程度上取决于温度，而对压力变化不敏感。在极高的压力下（～100Mpa），液体的粘度随压力的增加而显著增加。低压条件下气体的粘度可根据运动学理论计算。压力达到0.8－1Mpa以上时，压力的影响就比较明显了。动力粘度变化规律《流体力学》汪志明教授16/24在系统与环境间有热作用时，对于一维问题，热通量为

q热通量，w/m2K热传导系数，w/(m.k)§5传导系数《流体力学》汪志明教授17/24第一章流体的流动性质§1流体力学的基本概念§2流体的连续介质假设§3流体的性质及其分类§4状态方程§5传导系数§6表面张力与毛细现象《流体力学》汪志明教授18/24§6表面张力与毛细现象

在液体的表面存在一种使外表面收缩的作用现象。从微观角度看，液体表面这种作用存在于一个厚度约为分子有效作用距离（约米数量级）的薄层上，称这一薄层为表面层。

设在一薄层液膜的表面上取一截线，线两边的液面存在相互作用的拉力，其方向与截线垂直并位于液面内，称这种力为液体的表面张力，记为称为表面张力系数，单位《流体力学》汪志明教授19/24§6表面张力与毛细现象液体分子间存在吸引力，当液体与固壁接触时，液体分子和固体分子间也存在作用力，称为附着力。当吸引力小于附着力时，液体能湿润固体《流体力学》汪志明教授20/24§6表面张力与毛细现象《流体力学》汪志明教授21/24液体曲面的压强§6表面张力与毛细现象

毛细现象造成液面呈曲面，这样再分析液面与固壁交界处的液面表面张力，因其作用方向指向液内，使曲面两侧出现压强差，称这种由表面张力引起的附加压强为毛细压强。《流体力学》汪志明教授22/241-12作业1-8 1-5 23/34§1

静压强及其特性§2

流体静力学平衡方程§3

压力测量§4

作用在平面上的静压力§5

作用在曲面上的静压力§6

物体在流体中的潜浮原理第二章流体静力学24/34§1静压强及其特性流体静力学主要研究流体在外力作用下保持静力平衡的规律。所谓静止是一个相对概念，若流体随容器一起运动，但相对容器没有运动，则对于固定在容器上的参考坐标系来说，容器中的流体是静止的，我们称此种情况下的流体处于相对静止或相对平衡状态

流体静力学25/34§1静压强及其特性流体静力学主要研究流体在外力作用下保持静力平衡的规律。所谓静止是一个相对概念，若流体随容器一起运动，但相对容器没有运动，则对于固定在容器上的参考坐标系来说，容器中的流体是静止的，我们称此种情况下的流体处于相对静止或相对平衡状态

流体静力学26/34§1静压强及其特性

在静止流体中，不存在切应力。因此，流体中的表面力就是沿受力面法线方向的正压力或法向力。

就是流体单位面积上所受到的垂直于该表面的力，即物理学中的压强，称为流体静压力，简称压力

27/34§1静压强及其特性

特性一(方向)

静压力沿着作用面的内法线方向，即垂直地指向作用面。图2-1静压力垂直于作用面特性二(大小)

静止流体中任何一点上各个方向的静压力大小相等，与作用方向无关。只与空间位置有关28/34§1静压强及其特性29/34§1静压强及其特性30/34§1

静压强及其特性§2

流体静力学平衡方程§3

压力测量§4

作用在平面上的静压力§5

作用在曲面上的静压力§6

物体在流体中的潜浮原理第二章流体静力学31/34§2流体静力学平衡方程

通过分析静止流体中流体微团的受力，可以建立起平衡微分方程式，然后通过积分便可得到各种不同情况下流体静压力的分布规律。因此，首先要建立起流体平衡微分方程式。现在讨论在平衡状态下作用在流体上的力应满足的关系，建立平衡条件下的流体平衡微分方程式。

why32/34§2流体静力学平衡方程欧拉平衡方程

下式即为欧拉平衡方程，又称为流体静力学平衡方程它表征了单位质量流体在质量力和表面力共同作用下的平衡条件。

无论平衡流体受的质量力是哪种类型，流体是否压缩，有无粘性，该方程都普遍适用

33/34§2流体静力学平衡方程—推导34/34§2流体静力学平衡方程概念1.等压面即等势面2.通过任一点的等压面必与该点所受质量力垂直3.两种互不相混流体处于平衡状态时，其分界面必为等压面势函数定义U=U(x,y,z)等势面与等压面关系35/34§2流体静力学平衡方程欧拉平衡方程将以上三式分别乘以、、，相加得

若X,Y,Z与某函数具备以下关系

Step1:等压面Step2:势函数代入Step3:整理得到：36/34§2流体静力学平衡方程练习通常海平面上压强为，温度为。当海拔高度（大气对流层）时，线性温度梯度为，当海拔高度（大气平流层）时，温度恒。37/34§2流体静力学平衡方程练习通常海平面上压强为，温度为。当海拔高度（大气对流层）时，线性温度梯度为，当海拔高度（大气平流层）时，温度恒。38/34大气对流层大气平流层〖例2-1〗若普通人在温度为的海平面地区每分钟平均呼吸为

15次，则在海拔高度为的珠穆朗玛峰顶要得到同样的供氧量，问应将呼吸频(设线性温度梯度为)§2流体静力学平衡方程例题率调整到多少?39/34〖解〗海平面气温，

处的气温为：珠峰顶与海平面上的压强比值为：§2流体静力学平衡方程例题相应的呼吸频率之比与空气密度成反比：珠峰顶与海平面上的空气密度比值为：40/34§1

静压强及其特性§2

流体静力学平衡方程§3

压力测量§4

作用在平面上的静压力§5

作用在曲面上的静压力§6

物体在流体中的潜浮原理第二章流体静力学41/34水银压力计

§3压力测量图示差压计弹簧管压力表压力传感器42/34图2.3水银压力计

§3压力测量图示43/34图2.4差压计§3压力测量图示44/34图2.5弹簧管压力表

§3压力测量图示45/34§3压力测量图示

压力传感器是一种先进的、精度更高、适用范围更广的压力感应仪表。当流体作用在压力传感器的感应膜片上时，它将产生一电信号，并传输到示波器或数字显示仪表上记录下来。最常用的感应膜片是电阻线圈，当测量快速变化的压力载荷时，可以采用更先进的压电传感器。测量压强时，将压电传感器感应产生的模拟信号通过转化器转为数字信号，然后输入计算机进行处理。46/34§1

静压强及其特性§2

流体静力学平衡方程§3

压力测量§4

作用在平面上的静压力§5

作用在曲面上的静压力§6

物体在流体中的潜浮原理第二章流体静力学47/34§4作用在平面上的静压力合力大小

合力作用点，压心48/34§4作用在平面上的静压力强调比较形心与压心面积矩合力作用点，压心49/34§4作用在平面上的静压力推导强调比较形心与压心面积矩惯性矩50/34〖例2-2〗如图，某蓄水池水面下倾角为的边坡上装有一个矩形闸门，宽度为，长度为，由上缘A处的固定铰轴定位，A点沿坡面到水面长度为

。若忽略闸门自重，求提升闸门所需的力。§4作用在平面上的静压力例题51/34§1

静压强及其特性§2

流体静力学平衡方程§3

压力测量§4

作用在平面上的静压力§5

作用在曲面上的静压力§6

物体在流体中的潜浮原理第二章流体静力学52/34§5作用在曲面上的静压力x方向分力y方向分力强调：与平面区别（表述方法不同）53/34§5作用在曲面上的静压力54/34§5作用在曲面上的静压力压力体

压力体可以表述为：压力体是由受力曲面、液体的自由表面（或其延长面）以及两者间的铅垂面所围成的封闭体积。压力体是从积分式得到的一个体积，它是一个纯数学的概念，与这一体积内是否充满液体无关。

引入定义：如果压力体与形成压力的液体在曲面的同侧，则称这样的压力体为实压力体如果压力体与形成压力的液体在曲面的异侧，则称这样的压力体为虚压力体。55/34〖例2-3〗盛水容器底部有一个半径

的圆孔，并用半径实心圆球封闭。已知容器水深求提升球体所需拉力。§5作用在曲面上的静压力例题，重56/34〖例2-3〗盛水容器底部有一个半径

的圆孔，并用半径实心圆球封闭。已知容器水深求提升球体所需拉力。§5作用在曲面上的静压力例题，重57/34§1

静压强及其特性§2

流体静力学平衡方程§3

压力测量§4

作用在平面上的静压力§5

作用在曲面上的静压力§6

物体在流体中的潜浮原理第二章流体静力学58/34图2.10潜体§6物体在流体中的潜浮原理59/34§6物体在流体中的潜浮原理60/34§6物体在流体中的潜浮原理61/62第三章流体运动学§1流体运动的拉格朗日描述和欧拉描述§2速度场与加速度场§3无穷小流体质点的运动§4有旋流动62/62第三章流体运动学流体力学：研究流体在运动中其流动参量之间的相互关系，以及引起运动的原因和流体对周围物体的影响；流体运动学：研究流体运动的方式和速度、加速度、位移、转角等参量随空间和时间的变化；流体动力学：研究引起运动的原因和决定作用力、力矩、动量和能量的方法。63/62一、拉格朗日方法

§1流体运动的拉格朗日法定义

拉格朗日法着眼流体质点，设法描述出单个流体质点随时间的运动过程，或运动轨迹。通过运动轨迹，研究流体质点的速度、加速度、密度、压力等描述流体运动的参数随时间的变化规律。特点，

强调位置质点含义公式分析64/62一、拉格朗日方法

§1流体运动的拉格朗日法特点

拉格朗日法着眼流体质点，设法描述出单个流体质点随时间的运动过程，或运动轨迹。

特点，

强调位置质点含义公式分析1、(X,Y,Z）不是变量，是质点标记符号。2、给予某个质点（X,Y,Z），令t改变，描述的是初始时刻位于坐标（X,Y,Z）处的这一流体质点的运动规律；

1、物质（或随体）导数是质点力学方法的直接延伸２、所有流体质点在流动过程中的运动轨迹都被跟踪65/62§1

流体运动的拉格朗日法速度与加速度通过运动轨迹，研究流体质点的速度、加速度、密度、压力等描述流体运动的参数随时间的变化规律，以及相邻流体质点之间这些参数的变化规律。P42-3.4-Q速度加速度66/62§1

流体运动的欧拉描述定义、特点拉格朗日质点描述法缺点：研究质点运动空间位置－场内位置流动参数信息－欧拉描述方法比较同样上式中的变量（x,y,z,t），称为欧拉变数。当（x,y,z）固定t改变时，各函数代表空间中某固定点上各物理量随时间的变化规律。当t固定（x,y,z）改变时，它代表的是某一时刻各物理量在空间中的分布规律。公式分析67/62（A）由拉格朗日法到欧拉法的转化§1拉格朗日法和欧拉法的转化68/62（B）由欧拉法到拉格朗日法的转化§1

流体运动的拉格朗日描述和欧拉描述积分69/62第三章流体运动学§1流体运动的拉格朗日描述和欧拉描述§2速度场与加速度场§3无穷小流体质点的运动§4有旋流动70/62速度场加速度场§2速度场与加速度场（欧拉描述下）71/62§2欧拉法描述下加速度计算72/62§2欧拉速度场加速度公式分析第一项是局部加速度（或当地加速度）项，表示的是在空间坐标系中该点上的速度场的时间变化率。如果局部加速度分量为零，即，则流动为稳定流动。第二项为迁移加速度项，其表示的是流体质点所在的空间位置的变化而引起的速度变化率。流体质点在不均匀的速度场中运动，就会产生迁移加速度。加速度公式分析迁移加速度机理局部加速度机理两类加速度性质分析73/62§2加速度分量、矢量、张量表示矢量形式张量形式P38-3.1-Q174/62§2速度场分类稳定流动：如果流场中每一空间点上的所有运动参数均不随时间变化，则称为稳定流动。一些书中也称作恒定流动或定常流动。不稳定流动：如果流场中每一空间点上的部分或所有运动参数随时间变化，则称为不稳定流动，也称作非恒定流动或非定常流动

描述流动要三个空间坐标（x，y，z）。这种需要三个空间坐标才能描述的流动，称为三元流动或空间流动。依此类推，只需要两个空间坐标就能描述的流动，称为二元流动或平面流动。仅仅需要一个空间坐标就能描述的流动，称为一元流动。75/62迹线（pathline）§2速度场与加速度场迹线流线是流体运动质点的欧拉描述迹线是流体运动质点的拉格朗日描述稳定流中质点的迹线与流线重合

流体质点在不同时刻的运动轨迹称为迹线。显然迹线是与拉格朗日法相适应的。也可从欧拉方程中导出。76/62拉格朗日法迹线的参数方程

从参数方程中消去参数t，并给定（a,b,c）的值，就可以得到初始时刻位于（a,b,c）点处的流体质点的迹线。欧拉方程出发推导迹线方程求解微分方程和积分常数并消去参数t可得迹线方程。流体质点在不同时刻的运动轨迹称为迹线。显然迹线是与拉格朗日法相适应的。也可从欧拉方程中导出。§2速度场与加速度场迹线77/621.流线的定义流线是用来描述流场中各点流动方向的曲线。流线也就是速度场的矢量线。由此可以定义流线是流场中这样的曲线：在某一时刻该曲线上任意一点的速度矢量总是在该点与此曲线相切。显然，流线是与欧拉法相适应的。oyxz§2速度场与加速度场流线78/622.流线的性质

1）在空间每一点只能有一个速度方向，所以流线不相交，但可以相切（流线在驻点或奇点处可以相交）；

2）稳定流动的速度分布与时间无关，流线的形状和位置不随时间变化，迹线与流线重合。因为流体质点沿着流线运动，否则流线上将有非切线速度分量；

3）对于不稳定流动，如果不稳定仅仅是由速度的大小随时间变化引起的，则流线的形状和位置不随时间变化，迹线也与流线重合；如果不稳定包含速度的方向随时间变化，则流线的形状和位置就会随时间变化，迹线也不会与流线重合；

4）在流场中，过每一空间点都有一条流线，所有的流线构成流线簇。由流线簇，称为流谱。流谱不仅能够反映速度的方向，而且能够反映出流速的大小。流线密的地方速度大，流线稀的地方速度小。§2速度场与加速度场流线79/62§2速度场与加速度场流线

设流线上某一点处，沿流线取一微元矢量为dr，该点处的速度为u

3直角坐标系中流线微分方程

由于流线是对某一时刻而言的，所以在对上述方程积分时，变量t被当作常数处理。在非稳定流动的情况下，流体速度u是空间坐标（x,y,z）和时间t的函数，不同时刻t有不同的流线形状和位置。80/62流面：穿过速度场任意曲线的所有流线形成流面。

§2速度场与加速度场流面81/62流管§2速度场与加速度场流管：穿过速度场任一封闭曲线的流线形成流管。

82/62第三章流体运动学§1流体运动的拉格朗日描述和欧拉描述§2速度场与加速度场§3无穷小流体质点的运动§4有旋流动83/62流体质点的运动84/62流体质点的运动85/62流体质点的运动86/62§3无穷小流体质点的运动平动

流体的运动方式除了有与刚体运动相同的平移运动和旋转运动外，还包括变形运动，变形运动包括线变形和角变形两种。一般情况下流体微团的运动可以分解为平动、转动、线变形和角变形等四种运动方式87/62§3无穷小流体质点的运动，，­88/62

定义流体微团在x方向的线变形速率为：单位时间内单位长度所产生的线变形，用来表示

同理可得另外两个方向上的线变形速率为1）线变形特征量

xyoABDCB2C2D2线变形速率:§3无穷小流体质点的运动—线变形89/62膨胀（收缩）运动§3无穷小流体质点的运动

速度的散度等于三个相互垂直方向上的线变形速率之和，也等于体积膨胀速率线变形速率:可以看出，速度场的散度是流体体积膨胀率的量度。90/62§3无穷小流体质点的运动角变形角变形速度

流体力学中，将流体微团上xy平面内的任意直角的变形速度的一半定义为角变形速度，用εxy来表示

xyoABDCB3C3D3dθdθ同理则91/62同理xyoABDCB3C3D3dθdθ§3无穷小流体质点的运动—角变形92/62§3无穷小流体质点的运动应变率张量可以看出，速度场的散度是流体体积膨胀率的量度。93/62

流体微团上xy平面内的任意两条直角边旋转角速度的平均值，或者把任意两条直角边的对角线的旋转角速度定义为流态微团绕z轴的旋转角速度，用ωz来表示。；

xyoABDCB3C3D3dθdθ§3无穷小流体质点的运动—旋转94/62同理

xyoABDCB3C3D3dθdθ§3无穷小流体质点的运动—旋转95/62流体的涡动张量

反对称涡动张量将矢量转换成了一个与其自身相正交的向量。§3无穷小流体质点的运动--涡量96/62变形速度张量或应变率张量

可以看出，速度场的散度是流体体积膨胀率的量度。§3无穷小流体质点的运动97/62第三章流体运动学§1流体运动的拉格朗日描述和欧拉描述§2速度场与加速度场§3无穷小流体质点的运动§4有旋流动98/62赫尔姆霍茨（Helmholtz）旋涡矢量

涡旋场

或

涡线方程

涡管：过非涡线不自交封闭曲线上每一点作涡线组成的管状曲面。涡管密度：过任意横截面的旋涡矢量的通量。

§4有旋流动99/62赫尔姆霍茨（Helmholtz）第二定理:注：定理仅在流动的瞬态成立。§4有旋流动100/62〖例2-8〗：已知一流动的速度势为,则相应的流场是怎样的？

解:速度分量

流速场

§4有旋流动例题101/57系统与控制体

系统与控制体所谓系统，就是确定物质的集合。系统以外的物质称为环境。系统与环境的分界面称为边界。系统具有如下的特点：

1系统始终包含着相同的流体质点；

2系统的形状和位置可以随时间变化；

3边界上可有力的作用和能量的交换，但不能有质量的交换。所谓控制体，是指根据需要所选择的具有确定位置和体积形状的流场空间。控制体的表面称为控制面。控制体具有以下的特点：

1控制体内的流体质点是不固定的；

2控制体的位置和形状不会随时间变化；

3控制面上不仅可以有力的作用和能量交换，而且还可以有质量交换。102/57流体力学基本定律

物理学中的质量守恒定律、动量定理、能量守恒定律等，都是针对固定的系统而言的。但是，由于流体所具有的流动性，流体系统的位置和形状都不固定，所以数学上描述起来困难。控制体就是为了解决这一问题提出的。流体力学中的流动方程建立，就是把各种适用于系统的物理定律改写成适用于控制体的数学表达式。本章的任务质量守恒定律、动量定理、能量守恒定律改写成适用于控制体的连续性方程，下面讨论的方法在以后的各章中还将用于其它方程的建立。103/57质量输运定理系统与控制体关联公式104/57一般物理量输运定理质量输运定理输运定理105/57质量守恒定律积分形式高斯散度定理微分形式控制体表述106/57各种微分形式散度矢量形式散度展开形式直角坐标形式不可压缩流体一维流体107/57积分形式方程应用例子微分形式方程应用---(以后讲述)积分形式方程应用例子积分形式不可压缩积分形式应用:例题4.1

习题4.1,4.3,4.6公式需要记忆108/57不可压缩流体散度为零应用不可压缩流体〖例4-2〗习题4-2

公式需要记忆109/57积分形式动量方程系统出发定义输运定理控制体出发定义110/57控制体积分形式动量方程详解控制体矢量形式直角坐标分量形式输运定理111/57二阶应力张量介绍112/57微分形式动量定理代入或者113/57各种微分形式动量定理

张量形式矢量形式柯西方程柯西方程直角坐标形式质量守恒方程114/57柯西方程详解

115/57动量方程应用实例微分形式动量方程应用----后续会讲述积分形式动量方程应用三维直角坐标分量形式习题_4.9,4.11116/57角动量守恒原理，，

角动量方程重要结果117/57能量守恒方程从系统出发开放物质系统能量的变化取决于它和环境的相互作用。若一个系统和它的环境有力的作用，则总能量变化指动能和内能之和的变化：对开放系统，能量守恒方程为：动能和内能变化率体积力做功表面力做功热通量

能量守恒定律可表述为：系统从外界吸热的速率与系统对外界做功的速率之差等于系统能量的变化率。比内能118/57

应用欧拉输运定理，以控制体为研究对象能量守恒方程为：外界对控制体做功的速率控制体由外界传热的速率控制体净输出的能量流量控制体内的能量变化率对开放系统，能量守恒方程为：动能和内能变化率体积力做功表面力做功热通量能量守恒方程控制体出发119/57运用散度定理，得到微分形式的能量守恒方程：或能量守恒方程微分形式120/57习题－积分形式方程组应用质量守恒方程积分形式动量方程能量守恒方程问题：求出口速度、流体与边界作用力、机械能损失121/57

所有的流体运动都要满足基本方程组，但在通常情况下只有确定了初始条件和边界条件之后，才有独一无二的形态。也就是说基本方程组中包含的任意函数需要结合相应的定解条件来求解未知量，否则方程组得不到唯一确定的解。定解条件包括初始条件和边界条件。初始条件和边界条件初始条件是指流动在初始时刻，流体运动应该满足的初始状态。（1）初始条件为已知函数。122/57边界条件是指流体运动的边界上方程组的解应满足的条件。（2）边界条件a)无穷远处初始条件和边界条件123/57b)两介质界面

两介质的界面可以是气、液、固三相中任取两个不同相的界面，也可以是同一相不同组成的界面。两介质交界面条件：初始条件和边界条件124/57c)固壁边界

固壁边界条件是两介质界面处边界条件的重要特例，此时两介质中有一个是固体，另一个是流体。若固壁静止，粘性流体在固壁处速度为零，即称为粘附条件或无滑移条件；理想流体的固壁边界条件则是流体沿固壁法线方向的流速为零，即。初始条件和边界条件125/57定解条件在方程求解中是一个不可缺失的环节，因此为一个具体的物理或工程问题确定定解条件是一件十分重要的事情．d)自由面

自由面是正常条件下气-液界面，是两介质界面处边界条件的另一重要特例。若气相运动远强于液相运动，则可认为自由表面上液体压强与气相相等，两介质的法向速度分量为零。如果两介质的界面上存在剪切应力，则需满足条件：初始条件和边界条件126/57〖例3-１〗密度为的不可压缩均质流体以均匀速度进入半径为的水平直圆管，出口处的速度分布为,式中为待定常数，是点到管轴的距离，如果进出口处压力分别为和，求管壁对流体的作用力。第四章基本方程组应用127/57解：

第四章基本方程组应用128/57〖例3-２〗密度为的两股不同速度的不可压缩流体合流，通过一段平直圆管，混合后速度与压力都均匀，如图所示。若两股来流面积均为，压力相同，一股流速为，另一股流速为，假定管壁摩擦力不计，流动定常绝热。证明单位时间内机械能损失为。第四章基本方程组应用129/57解：第四章基本方程组应用130/57〖例3-３〗为了测定圆柱体的阻力系数，将一个直径为，长度为的圆柱放在二维定常不可压缩流中，实验在风洞中进行，在图中1-1，2-2截面上测得的近似的速度分布如图所示，这两个截面上的压力都是均匀的，数值为。试求圆柱体的阻力系数，的定义式为，其中为圆柱绕流时的阻力，为流体密度，为来流速度。第四章基本方程组应用131/57解:第四章基本方程组应用132/57〖例3-４〗如图所示为明渠中水流经过闸门。设水为理想不可压缩流体，密度为。在1-1和2-2截面上，流速为、分布均匀。证明：在垂直于x-y平面方向单位宽度上闸门所受总力为:第四章基本方程组应用133/57解:第四章基本方程组应用134/57作业4.114.12135/46第五章理想流体流动实际上，理想流体在自然界中是不存在的，它只是真实流体的一种近似。但是，在分析和研究许多实际流体流动问题时，采用理想流体模型能够大大简化研究对象，容易得到流体运动的基本规律。理想流体

无粘性流体的运动方程（欧拉方程）线性化粘度流体的运动方程（纳维－斯托克斯方程）非牛顿流体的运动方程。流体运动的应力方程136/46§５.1理想流体欧拉方程137/46普适的动量方程守恒形式非守恒形式直角坐标形式138/46理想流体欧拉方程普适动量方程理想流体欧拉方程139/46欧拉方程不同形式张量形式矢量形式直角坐标形式140/46拉姆－欧拉运动方程欧拉方程拉姆欧拉方程无旋拉姆欧拉方程141/46§5.2伯努利（Bernoulli）方程及应用142/46直角坐标系下伯努力方程伯努力方程拉姆欧拉方程动量方程改写定常无旋条件沿梯度方向143/46定常流线坐标系144/46流线坐标系下定常流动动量方程145/46流线坐标系下动量方程分析线加速度角加速度零加速度146/46流线坐标系下伯努力方程线加速度伯努力方程147/46直角与流线坐标系下方程对比梯度＝物理量最速下降方向＝流线切向148/46理想流体积分形式控制方程质量方程定常无旋形式能量方程－伯努力方程能量方程动量方程149/46普朗特管测速U形管流速、流量、泄流时间的测量普朗特管150/46文丘里管测流量151/46封闭容器的泄流带泄流口的柱状容器小孔出流152/46〖例5-1〗如图，固定喷嘴喷出高速水射流冲击一倾斜平板，已知射流速度，射流截面积，平板倾角，忽略重力和粘性，试求以下两种情况中平板所受的冲力与分流流量Q1与Q2（1）平板固定水平向右运动。例题5-1（2）平板以速度153/46（1）取控制体如图应用伯努利方程：，因各截面压强都为大气压，则：总流的动量方程x向投影：y向投影：解得冲力:流量（2）（3）（4）例题5-1〖解〗154/46（2）设坐标固定在车上，则观察到的流动是定常的，此时喷射截面积仍，而速度为，由三截面压强相等得出速度相等；例题5-1〖解〗155/46习题5.3156/46习题5.8157/46习题5.9158/465.3

不可压缩无旋流体位势流动159/46理想流体微分形式控制方程不可压无旋一般形式特殊形式160/46三维速度势函数无旋速度势函数，，

161/46二维平面速度势函数，，

162/46速度势函数性质163/46二维平面流函数164/46流函数性质165/46流函数与势函数垂直关系板书166/46求解思路不可压无旋＋边界条件１控制方程2方程的解3速度场求法4压力场求法167/46均匀位势流动xyφ=cψ=cO势函数流函数ux=a，uy=b，a、b均为常数168/46点源位势流动θMrψ=cxyOQ点源强度定义169/46点汇位势流动θMrψ=cxyO点源点汇170/46不同流动叠加

叠加两个或更多的流动组成一个新的复合流动，要想得到该复合流动的流函数（势函数），只要把各原始流动的流函数（势函数）简单地代数相加起来就可以了。可以复杂的流动分解成几个简单的流动，分别推导出这些简单流动的流函数（势函数），然后把它们进行代数相加，即可得到所欲求的复杂流动的流函数（势函数）。势流的叠加原理171/46例题

位于点坐标原点的源强度为24m2/s，沿水平向自右向左运动的均匀直线流流速为u0=10m/s。求两点流动叠加后的势函数、流函数、速度场以及驻点位置。172/46习题173/46174/46175/46176/46177/46178/46179/461、平面势流运动的速度势及其性质(1)速度势函数可以允许相差任一常数，而不影响流体运动；(2)是等势线，其法线方向与速度矢量方向重合；(3)(4)可以是多值函数§5速度势函数与流函数180/46(3)

(4)在单连通域内，若无源或汇，则流函数为单值函数；若在在单连通域内有源汇及在双连通域内，流函数一般多为多值函数，即2、平面势流运动的流函数及其性质

(1)流函数可允许相差任意常数，而不影响流动；

(2)流函数为常数时代表流线，它的切线方向和速度矢量方向重合；

§5速度势函数与流函数181/46柯西-黎曼条件等势线流线正交

各自满足拉普拉斯方程§5速度势函数与流函数182/46〖例5-3〗若不可压缩流场流速为定值，求流动的势函数和流函数。〖解〗整理后，得势函数合并两式，得流函数为常数。§5速度势函数与流函数183/461、以速度势函数为未知数（Neuman问题）寻求物体C外无界区域内速度势函数，求解方程及初边条件

（A）在物体C上

（B）在无穷远处

势流问题的数学提法184/462、以流函数为未知数（Dirichlet问题）寻求物体C外无界区域内流函数，求解方程及初边条件

（A）在物体C上

（B）在无穷远处

势流问题的数学提法185/461、均匀直线流动--线性函数2、源汇流动--对数函数基本势流186/463、点涡流动--对数函数基本势流187/464、倒数函数与偶极子流动基本势流188/461、均流与点源的叠加（半无限体绕流）势流叠加189/462、均流与等强度源汇的叠加（Rankine卵形体绕流）

势流叠加190/463、均流与偶极子（绕圆柱无环量绕流运动）

势流叠加191/46边界条件能量方程表面压力系数势流叠加192/464、均流与偶极子、点涡的叠加（绕圆柱有环量绕流运动）势流叠加193/46势流叠加194/46势流叠加195/46第五章理想流体流动实际上，理想流体在自然界中是不存在的，它只是真实流体的一种近似。但是，在分析和研究许多实际流体流动问题时，采用理想流体模型能够大大简化研究对象，容易得到流体运动的基本规律。理想流体196/46§５.1理想流体微分形式动量方程与伯努利方程§５.3理想流体积分形式控制方程§５.2伯努利方程简单应用§５.4理想流体微分方程解析解197/46理想流体欧拉方程普适动量方程理想流体欧拉方程198/46不同坐标系下欧拉方程

199/46流线坐标系下动量方程分析线加速度角加速度零加速度200/46流线坐标系下伯努力方程线加速度伯努力方程201/46§５.1理想流体微分形式动量方程与伯努利方程§５.3理想流体积分形式控制方程§５.2伯努利方程简单应用§５.4理想流体微分方程解析解202/46普朗特管测速普朗特管203/46文丘里管测流量204/46封闭容器的泄流带泄流口的柱状容器小孔出流205/46§５.1理想流体微分形式动量方程与伯努利方程§５.3理想流体积分形式控制方程§５.2伯努利方程简单应用§５.4理想流体微分方程解析解206/46理想流体积分形式控制方程质量方程定常无旋形式能量方程－伯努力方程能量方程动量方程207/46〖例5-1〗如图，固定喷嘴喷出高速水射流冲击一倾斜平板，已知射流速度，射流截面积，平板倾角，忽略重力和粘性，试求以下两种情况中平板所受的冲力与分流流量Q1与Q2（1）平板固定水平向右运动。例题5-1（2）平板以速度208/46（1）取控制体如图应用伯努利方程：，因各截面压强都为大气压，则：总流的动量方程x向投影：y向投影：解得冲力:流量（2）（3）（4）例题5-1〖解〗209/46（2）设坐标固定在车上，则观察到的流动是定常的，此时喷射截面积仍，而速度为，由三截面压强相等得出速度相等；例题5-1〖解〗210/46习题5.8211/46习题5.95256212/46习题：5.91.建立控制体2.控制方程与边界条件入口条件出口条件物面条件3.质量方程求解代入已知条件，非定常项为0，壁面流量为0则：Qin=Qout,则v2=Q/A24.伯努利方程求解沿流线5.动量方程求解代入已知条件，非定常项为0，壁面动量为0，重力忽略则：则：设F为管内流体与管外大气与管道的作用力则可求得F=213/46§５.1理想流体微分形式动量方程与伯努利方程§５.3理想流体积分形式控制方程§５.2伯努利方程简单应用§５.4理想流体微分形式方程解析解214/46理想流体微分形式控制方程不可压无旋一般形式特殊情况215/46三维速度势函数无旋速度势函数，，

216/46二维平面速度势函数，，

217/46速度势函数性质218/46二维平面流函数219/46流函数性质220/46流函数与势函数垂直关系板书221/46求解思路不可压无旋＋边界条件１控制方程2方程的解3速度场求法4压力场求法222/46均匀位势流动xyφ=cψ=cO势函数流函数ux=a，uy=b，a、b均为常数223/46点源位势流动θMrψ=cxyOQ点源强度定义224/46点汇位势流动θMrψ=cxyO点源点汇225/46不同流动叠加

叠加两个或更多的流动组成一个新的复合流动，要想得到该复合流动的流函数（势函数），只要把各原始流动的流函数（势函数）简单地代数相加起来就可以了。可以复杂的流动分解成几个简单的流动，分别推导出这些简单流动的流函数（势函数），然后把它们进行代数相加，即可得到所欲求的复杂流动的流函数（势函数）。势流的叠加原理226/46例题

位于坐标原点的点源强度为24m2/s，沿水平向自右向左运动的均匀直线流流速为u0=10m/s。求流动叠加后的势函数、流函数、速度场以及驻点位置。227/46习题例题5.3228/46229/46230/46231/46232/46233/46234/461、平面势流运动的速度势及其性质(1)速度势函数可以允许相差任一常数，而不影响流体运动；(2)是等势线，其法线方向与速度矢量方向重合；(3)(4)可以是多值函数§5速度势函数与流函数235/46(3)

(4)在单连通域内，若无源或汇，则流函数为单值函数；若在在单连通域内有源汇及在双连通域内，流函数一般多为多值函数，即2、平面势流运动的流函数及其性质

(1)流函数可允许相差任意常数，而不影响流动；

(2)流函数为常数时代表流线，它的切线方向和速度矢量方向重合；

§5速度势函数与流函数236/46柯西-黎曼条件等势线流线正交

各自满足拉普拉斯方程§5速度势函数与流函数237/46〖例5-3〗若不可压缩流场流速为定值，求流动的势函数和流函数。〖解〗整理后，得势函数合并两式，得流函数为常数。§5速度势函数与流函数238/461、以速度势函数为未知数（Neuman问题）寻求物体C外无界区域内速度势函数，求解方程及初边条件

（A）在物体C上

（B）在无穷远处

势流问题的数学提法239/462、以流函数为未知数（Dirichlet问题）寻求物体C外无界区域内流函数，求解方程及初边条件

（A）在物体C上

（B）在无穷远处

势流问题的数学提法240/461、均匀直线流动--线性函数2、源汇流动--对数函数基本势流241/463、点涡流动--对数函数基本势流242/464、倒数函数与偶极子流动基本势流243/461、均流与点源的叠加（半无限体绕流）势流叠加244/462、均流与等强度源汇的叠加（Rankine卵形体绕流）

势流叠加245/463、均流与偶极子（绕圆柱无环量绕流运动）

势流叠加246/46边界条件能量方程表面压力系数势流叠加247/464、均流与偶极子、点涡的叠加（绕圆柱有环量绕流运动）势流叠加248/46势流叠加249/46势流叠加250/112第六章粘性流体流动自然界中的各种流体都是粘性流体。由于流体中存在着粘性，流体运动时要克服摩擦阻力，因此流体的一部分机械能将不可逆地转化为热能，流动过程呈现出许多复杂现象。本章在介绍粘性流体的基本运动规律。自然界中的所有流体都是具有粘性的，粘度不为0的流体称为粘性流体或者实际流体。但在有些研究中却要引入一种理想化了的流体—没有粘性的流体，称为无粘流体或理想流体，尽管这种流体实际上并不存在。理想流体粘性流体251/1125.1广义牛顿内摩擦定律252/112粘性流体本构关系提示＝?253/112粘性流体本构关系—广义牛顿内摩擦定律＝＋＋254/1125.2Navier-Stokes方程255/112Navier-Stokes方程及一般流体方程组N-S方程质量方程能量方程256/1125.5不可压缩粘性流体基本流动性质257/112不可压缩粘性流体基本流动性质粘性流体运动有三个基本性质：粘性流体运动的有旋性：在不可压缩粘性流体运动中，除极个别的几个特殊情况外，运动都是有旋的，且涡量一般在边界上产生；而对理想流体来说，若体积力有势且流体是正压的，初始时刻运动无旋，则以后各时刻流体运动都保持无旋；若体力无势，流体是斜压的，则理想流体中可能产生涡流。机械能的耗损性：由式(6.20)耗损函数的表达式可知，由于粘性应力将一部分体积力和表面力所做的功不可逆地以热能的形式耗损掉，因此粘性流体运动中总能量是减少的。涡旋的扩散性：由于流动边界处是生产涡旋的地方，涡旋由强度大的地方向强度小的地方输送直至涡量相等为止，也即涡旋由流动边界向内部扩散。258/112粘性伯努力方程沿着流线或涡线的稳定流动

259/1125.6圆管中稳定不可压缩流动260/112定常圆管层流261/112定常圆管层流1.控制方程与边界条件边界条件：流体为粘性不可压缩流体，流动是稳定的、充分发展的等温层流，垂直管道轴线方向没有流速2.控制方程化简3.微分方程求原函数代边界条件4.流场分析262/112定常平板平板层流263/112定常圆管层流1.控制方程与边界条件边界条件：流体为粘性不可压缩流体，流动是稳定的、充分发展的等温层流，垂直方向没有流速2.控制方程化简3.微分方程求原函数代边界条件4.流场分析264/1125.4相似理论和量纲分析265/112

由于粘性流体微分方程的复杂性，纳维-斯托克斯（Navier-Stokes）方程只在少数情况下有解析解，通常采用建模型做实验的方法获得流动现象的信息，例如流速分布、流型、压降等等。如果要得出精确的定量的实验结果，必须满足一些相似定律。§4

相似和量纲分析266/112几何相似指一个流动系统的几何尺寸与另一个流动系统的几何尺寸对应成线性比例。几何相似是两个物理过程相似的必要条件，但不是充分条件。§4

相似和量纲分析概念267/112运动相似指几何相似的两个流动系统，时空相似点上无量纲速度、加速度等流动参数相等。运动相似的流场中对应流线是相似的。§4

相似和量纲分析概念268/112动力相似指两个性质完全相同的几何相似流动中，所有时空相似点上受力方向相同并且大小成比例。§4

相似和量纲分析概念269/112（1）因次，是指一套用于描述物理量的单位制中相互独立的、不能互换的基本单位；如长度单位：米，时间单位：秒都是基本单位。量纲分析中常用到如下概念：（2）量纲，是指物理量的单位与基本单位之间的关系。一般地，常用的基本因次有长度、质量、时间；其相应的单位是米、千克和秒。§4

相似和量纲分析概念270/112§4

相似和量纲分析271/112§4

相似和量纲分析概念定理内容：若有m个基本量纲，则这些变量可以组成个独立的无量纲量满足：在一个包含n个变量的量纲和谐的物理问题中：若在n个重复变量中选择个满足相互独立条件，则该物理问题可用个无量纲量的函数关系描述。272/112〖例6-4〗在粘性流体中运动的小球，受到的阻力与流体的密度、动力粘性系数、小球直径、速度有关，运用量纲分析法，确定其关系。〖解〗设阻力与影响因素关系式为§4

相似和量纲分析例题273/112消去力的因次消去时间因次§4

相似和量纲分析-例题得阻力与各量的无量纲关系：消去长度因次274/112斯德鲁哈尔（Strouhal）数运动相似两个运动相似的微分方程应有相同的解连续性方程时间比例系数275/112完全动力相似的条件动力相似两个动力相似的微分方程应有相同的解动量方程：276/112雷诺数弗劳德数欧拉数动力相似_详解完全动力相似的条件277/112能量相似能量完全相似的条件278/1121.埃克特（Eckert）数2.普朗特（Prandtl）数3.佩克莱特（Peclet）数4.傅立叶（Fourier）数5.努塞尔特（Nusselt）数§4

相似和量纲分析能量完全相似的条件279/112〖例6-5〗在强制对流中，单位面积上的热传递系数是流速、物体的特征长度、流体属性及导热系数的函数，试以无因次的函数表示之。〖解〗各变量的单位可写为：§4

相似和量纲分析例题同理则280/112281/112282/112283/112粘性流体层流流动现象雷诺实验中的层流流动现象284/112粘性流体层流流动现象粘性流体层流流动285/112粘性流体层流流动现象粘性流体层流流动286/112粘性流体层流流动现象红血球在毛细血管中的流动287/112粘性流体层流流动现象轮船航行中的边界层现象288/112粘性流体层流流动现象圆柱后部发生的流动分离形成一对涡旋猫眼289/112粘性流体层流流动现象半球形固体的阻力290/112粘性流体层流流动现象高尔夫球飞行中承受阻力291/112粘性流体层流流动现象球形固体的阻力292/112粘性流体层流流动现象协和式飞机着陆时的流场293/112第六章粘性流体层流流动§1

广义牛顿内摩擦定律§2Navier-Stokes方程§3

动能平衡与内能平衡方程§4

相似和量纲分析§5

不可压缩粘性流体流动的基本特性§6

圆管和环空中稳定不可压缩流动§7

层流边界层§8

球形固体的层流阻力

294/112§1

广义牛顿内摩擦定律任何物质的应力状态都可以由下图表示：295/112§1

广义牛顿内摩擦定律任一点的应力状态可以表示为：296/112§1

广义牛顿内摩擦定律

P可以用张量的形势表示，即应力张量：297/112

在流体内任取一体积元V，其界面为S，在V内任取一点O为参考点，利用作用在S面上的合面力矩为零，可得：OVS§1

广义牛顿内摩擦定律298/112§1

广义牛顿内摩擦定律推导299/1121.运动流体的应力张量在运动停止后应趋于静止流体的应力张量。据此将应力张量写成各向同性部分,和各向异性部分之和，即：§1

广义牛顿内摩擦定律结论运动流体的压力函数偏应力张量300/112§1

广义牛顿内摩擦定律结论2.偏应力张量的各分量是局部速度梯度张量各分量的线性齐次函数，其作用就是力图使速度恢复到均匀分布情形。表征流体粘性的常数，共有81个301/1123.流体是各向同性的。偏应力和旋转无关，它只和变形有关，即§1

广义牛顿内摩擦定律结论302/112

求以M中心，以r为半径的无限小球面S上法应力的平均值，则有§1

广义牛顿内摩擦定律推导303/112（1）对不可压缩流体，平均法应力等于运动流体的压力，本构方程中只有一个粘性系数。（2）对可压缩流体，本构方程中有两个粘性系数，流体运动时体积变化将改变平均法应力。§1

广义牛顿内摩擦定律结论由上式可以看出：304/112§1

广义牛顿内摩擦定律表达式由牛顿内摩擦定理可得：矢量形式：张量形式：305/112§1

广义牛顿内摩擦定律表达式压力P可以表示为：矢量形式：张量形式：306/112§1

广义牛顿内摩擦定律推导对压力取旋度：307/112§1

广义牛顿内摩擦定律推导308/112§1

广义牛顿内摩擦定律应力向量流体表面所受的作用力可用应力向量表示，该向量是位移，时间和力作用面的单位法向矢量的函数。式中T表示一应力张量，它是一个仅与时间和位移有关的连续函数。309/112根据角动量守恒方程可知系数矩阵为一个二阶对称张量。应力张量对于理想流体有§1

广义牛顿内摩擦定律310/112（1）应力张量是一个关于变形速度张量的连续函数，与其他运动参数无关；（2）应力张量仅取决于位移和时间；（3）流体是各向同性的，因而粘度系数是一个标量；（4）当，退化成，即静止时，应力无限趋近于静止流体的压力函数。§1

广义牛顿内摩擦定律斯托克斯（Stokes）为了将牛顿内摩擦定律归纳成张量形式作了如下假设：311/112对于牛顿流体对于不可压缩牛顿流体§1

广义牛顿内摩擦定律312/112〖例6-1〗一不可压缩流场为，流速单位：；位移单位：若流体的粘性系数为

，试求出点

上的粘性应力张量。〖解〗§1

广义牛顿内摩擦定律例题313/112§1广义牛顿内摩擦定律例题314/112第六章粘性流体层流流动§1

广义牛顿内摩擦定律§2Navier-Stokes方程

§3

动能平衡与内能平衡方程§4

相似和量纲分析§5

不可压缩粘性流体流动的基本特性§6

圆管和环空中稳定不可压缩流动§7

层流边界层§8

球形固体的层流阻力

315/112§2Navier-Stokes方程推导柯西通用运动方程牛顿流体的本构关系316/112§2Navier-Stokes方程推导317/112§2Navier-Stokes方程推导单位质量流体的动量的时间变化率体积力压力粘滞力阻碍角变形阻碍体积变形318/112不可压缩流体§2Navier-Stokes方程319/112§2Navier-Stokes方程不可压缩流体，直角坐标系中Navier-Stokes方程的表达形式为：320/112柱坐标系中Navier-Stokes方程的表达形式为：§2Navier-Stokes方程321/112〖例6-2〗一流动中速度矢量为零的驻点，其附近速度场为，

；若不计重力，证明这一驻点附近流场为不可压缩流Navier-Stokes方程的准确解，并计算压力场，说明结果。不可压缩流体在无重力条件下的纳维－斯托克斯方程可写为：§2Navier-Stokes方程例题〖解〗322/112x方向：y方向：y方向压力梯度：x方向压力梯度：§2Navier-Stokes方程例题323/112所以速度场满足N-S方程。上式又可写为：其中C为常数。由此可见：该流场的压能与动能之和为一常量。§2Navier-Stokes方程例题324/112第六章粘性流体层流流动§1

广义牛顿内摩擦定律§2Navier-Stokes方程

§3

动能平衡与内能平衡方程

§4

相似和量纲分析§5

不可压缩粘性流体流动的基本特性§6

圆管和环空中稳定不可压缩流动§7

层流边界层§8

球形固体的层流阻力

325/112动能平衡方程的一般形式是：§3

动能平衡与内能平衡方程推导又326/112§3

动能平衡与内能平衡方程物理意义:作用在某单元体积（V,A）流体上的外部力（体积力、压力和粘滞力）所作功的变化率等于流体的动能、转化成内能中机械能的可逆部分和机械能的不可逆部分的变化率之和。其中的不可逆部分用损耗函数来表示，即对任意用线性本构方程表示的物质，损耗方程可以写为动能平衡方程：327/112在直角坐标系中可写为：在柱坐标系中可写为：§3

动能平衡与内能平衡方程328/112§3

动能平衡与内能平衡方程单位体积流体的动能平衡方程的微分形式是：对于线性粘性不可压缩流体，上述方程改写为：329/112内能方程的一般形式为：§3

动能平衡与内能平衡方程推导330/112§3

动能平衡与内能平衡方