概率论课件连续型随机变量

连续型随机变量及其概率密度定义如果对随机变量的分布函数负可积函数使得对任意实数有则称为连续型随机变量，称的概率密度函数，简称为概率密度或密度函数.的性质，由定义及分布函数(1)(2)存在非易见概率密度具有下列性质：注：上述性质有明显的几何意义.连续型随机变量及其概率密度定义如果对随机变量的分布函数负可积1连续型随机变量及其概率密度(1)(2)易见概率密度具有下列性质：注：上述性质有明显的几何意义.连续型随机变量及其概率密度(1)(2)易见概率密度具有下列2连续型随机变量及其概率密度(1)(2)易见概率密度具有下列性质：注：上述性质有明显的几何意义.反之，可证一个函数若满足上述性质，则该函数一定可以作为某一连续型随机变量的概率密度函数.完连续型随机变量及其概率密度(1)(2)易见概率密度具有下列3连续型随机变量分布函数的性质1.对一个连续型随机变量若已知其密度函数则概据定义，可求得其分布函数同时，还可求得的取值落在任意区间上的概率：2.连续型随机变量取任一指定值的概率连续型随机变量分布函数的性质1.对一个连续型随机变量若已知其4连续型随机变量分布函数的性质2.连续型随机变量取任一指定值的概率连续型随机变量分布函数的性质2.连续型随机变量取任一指定值5连续型随机变量分布函数的性质2.连续型随机变量取任一指定值的概率故对连续型随机变量有为0.3.若在点处连续，则(1)连续型随机变量分布函数的性质2.连续型随机变量取任一指定值6连续型随机变量分布函数的性质3.若在点处连续，则(1)连续型随机变量分布函数的性质3.若在点处连续，则(1)7连续型随机变量分布函数的性质3.若在点处连续，则(1)由定义和积分上限函数导数公式即得，由(1)式得：(2)可将上式理解为：在点的密度恰好是落在区间上的概率之比的极限(比与区间长度连续型随机变量分布函数的性质3.若在点处连续，则(1)由定义8连续型随机变量分布函数的性质在点的密度恰好是落在区间上的概率之比的极限(比与区间长度连续型随机变量分布函数的性质在点的密度恰好是落在区间上的概率9连续型随机变量分布函数的性质在点的密度恰好是落在区间上的概率之比的极限(比与区间长度较线密度的定义）.由(2)式，若不计高阶无穷小，则有即，落在小区间上的概率近似等于完连续型随机变量分布函数的性质在点的密度恰好是落在区间上的概率10例1设随机变量的密度函数为求其分布函数解当当例1设随机变量的密度函数为求其分布函数解当当11解当当解当当12解当当当故完解当当当故完13例2设随机变量具有概率密度(1)确定常数(2)求的分布函数(3)求完例2设随机变量具有概率密度(1)确定常数(2)求的分布函数(14例2设随机变量具有概率密度(1)确定常数解由得解得于是的概率密度为例2设随机变量具有概率密度(1)确定常数解由得解得于是的概率15解由得解得于是的概率密度为解由得解得于是的概率密度为16解由得解得于是的概率密度为其它.完解由得解得于是的概率密度为其它.完17例2设随机变量具有概率密度(2)求的分布函数解的分布函数为例2设随机变量具有概率密度(2)求的分布函数解的分布函数为18解解19解.完解.完20例2设随机变量具有概率密度(3)求解例2设随机变量具有概率密度(3)求解21例2设随机变量具有概率密度(3)求解例2设随机变量具有概率密度(3)求解22例2设随机变量具有概率密度(3)求解或完例2设随机变量具有概率密度(3)求解或完23例3设随机变量的分布函数为求(1)概率(2)的密度函数.解由连续型随机变量分布函数的性质,有(1)(2)的密度函数为例3设随机变量的分布函数为求(1)概率(2)的密度函数.解由24例3设随机变量的分布函数为求(2)的密度函数.解(2)的密度函数为例3设随机变量的分布函数为求(2)的密度函数.解(2)的密度25例3设随机变量的分布函数为求(2)的密度函数.解(2)的密度函数为完例3设随机变量的分布函数为求(2)的密度函数.解(2)的密度26均匀分布定义若连续型随机变量的概率密度为其它易见，记为上服从均匀分布，则称在区间注：在区间上服从均匀分布的随机变量其取值落在中任意等长度的子区间内的概率是相同的，且与子区间的长度成正比.事实上，子区间任取均匀分布定义若连续型随机变量的概率密度为其它易见，记为上服从27均匀分布是相同的，且与子区间的和度成正比.事实上，子区间任取均匀分布是相同的，且与子区间的和度成正比.事实上，子区间任取28均匀分布是相同的，且与子区间的和度成正比.事实上，子区间任取易求得的分布函数完均匀分布是相同的，且与子区间的和度成正比.事实上，子区间任取29例4某公共汽车站从上午7时起,每15分钟来一班车,即7:00,7:15,7:30,7:45等时刻有汽车到达此站,如果乘客到达此站时间是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率.解以7:00为起点0,以分为单位,依题意例4某公共汽车站从上午7时起,每15分钟来一班车,即30解以7:00为起点0,以分为单位,依题意解以7:00为起点0,以分为单位,依题意31解以7:00为起点0,以分为单位,依题意为使候车时间少于5分钟,乘客必须在7:10到7:15之间,或在7:25到7:30之间到达车站,故所求概率为即乘客候车时间少于5分钟的概率是1/3.完解以7:00为起点0,以分为单位,依题意为使候车时间少32指数分布定义若随机变量的概率密度为其中则称服从参数为的指数分布，简记为易见，的几何图形如图.注：指数分布常用来描述对某一事件发生的等待时间，例如，乘客在公交指数分布定义若随机变量的概率密度为其中则称服从参数为的指数分33指数分布注：指数分布常用来描述对某一事件发生的等待时间，例如，乘客在公交指数分布注：指数分布常用来描述对某一事件发生的等待时间，例如34指数分布注：指数分布常用来描述对某一事件发生的等待时间，例如，乘客在公交车站等车的时间，电子元件的寿命等，易求得的分布其它服从指数分布的随机变量具有无记忆性，有因而它在可靠性理论和排队论中有广泛的应用.函数即对任意()*指数分布注：指数分布常用来描述对某一事件发生的等待时间，例如35指数分布服从指数分布的随机变量具有无记忆性，有即对任意()*指数分布服从指数分布的随机变量具有无记忆性，有即对任意(36指数分布服从指数分布的随机变量具有无记忆性，有即对任意()*若表示某一元件的寿命，使用了小时，它总共能使用至少则式表明：()*已知元件指数分布服从指数分布的随机变量具有无记忆性，有即对任意(37指数分布若表示某一元件的寿命，使用了小时，它总共能使用至少则式表明：()*已知元件指数分布若表示某一元件的寿命，使用了小时，它总共能使用至少则38指数分布若表示某一元件的寿命，使用了小时，它总共能使用至少则式表明：()*已知元件概率与从开始使用时算起率相等，一性质是指数分布具有广泛应用的重要原因.即元件对它使用过小时没有记忆,完它至少能使用小时的概具有这小时的条件指数分布若表示某一元件的寿命，使用了小时，它总共能使用至少则39例5某元件的寿命服从指数分布,已知其参数求3个这样的元件使用1000小时,至少已有一个损坏的概率.解由题设知,的分布函数为由此得到各元件的寿命是否超过1000小时是独立的,用表示三个元件中使用1000小时损坏的元件数,例5某元件的寿命服从指数分布,已知其参数求3个这样的元件40例5某元件的寿命服从指数分布,已知其参数求3个这样的元件使用1000小时,至少已有一个损坏的概率.解各元件的寿命是否超过1000小时是独立的,用表示三个元件中使用1000小时损坏的元件数,例5某元件的寿命服从指数分布,已知其参数求3个这样的元件41例5某元件的寿命服从指数分布,已知其参数求3个这样的元件使用1000小时,至少已有一个损坏的概率.解各元件的寿命是否超过1000小时是独立的,用表示三个元件中使用1000小时损坏的元件数,所求概率为则完例5某元件的寿命服从指数分布,已知其参数求3个这样的元件42正态分布定义若随机变量的概率密度为其中和都是常数，则称服从参数为和的正态分布，记为易见，又利用泊松积分参见相关知识点①易证，正态分布定义若随机变量的概率密度为其中和都是常数，则称服从参43正态分布易证，正态分布易证，44正态分布易证，注：正态分布是概率论中最重要的连续型分布，在十九世纪前叶由高斯加以推广，故又常称为高斯分布.一般来说，一个随机变量如果受到许多随机因素的影响，而其中每一个因素都不起主导作用，正态分布易证，注：正态分布是概率论中最重要的连续型分布，在十45正态分布一般来说，一个随机变量如果受到许多随机因素的影响，而其中每一个因素都不起主导作用，正态分布一般来说，一个随机变量如果受到许多随机因素的影响，而46正态分布一般来说，一个随机变量如果受到许多随机因素的影响，而其中每一个因素都不起主导作用，则它服从正态分布.例如，产品的质量指标，元件的尺寸，某地区成年男子的身高、体重，测量误差，射击目标的水平或垂直偏差，信号噪声，农作物的产量等等都服从或近似服从正态分布.正态分布的图形特征完正态分布一般来说，一个随机变量如果受到许多随机因素的影响，而47正态分布的图形特征1.密度曲线关于对称；2.曲线当时达到最大值3.曲线在处有拐点且以正态分布的图形特征1.密度曲线关于对称；2.曲线当时达到最大48正态分布的图形特征3.曲线在处有拐点且以正态分布的图形特征3.曲线在处有拐点且以49正态分布的图形特征3.曲线在处有拐点且以轴为渐近线；4.确定了曲线中峰的陡峭程度.的分布函数：完正态分布的图形特征3.曲线在处有拐点且以轴为渐近线；4.确定50标准正态分布正态分布当时称为标准正态分布，此时，其密度函数和分布函数常用和表示：标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.标准正态分布正态分布当时称为标准正态分布，此时，其密度函数和51标准正态分布标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.标准正态分布标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布52标准正态分布标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.定理设则而对标准正态分布的函数人们利用的近似计算方法计算求出其近似值，并编制了标准正态分布表.完标准正态分布标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布53定理设则证明的分布函数为所以证毕.完定理设则证明的分布函数为所以证毕.完54标准正态分布表的使用1.表中给出了时的数值，当时，利用正态分布的对称性(如下图)，易见有2.若则标准正态分布表的使用1.表中给出了时的数值，当时，利用正态分55标准正态分布表的使用2.若则标准正态分布表的使用2.若则56标准正态分布表的使用2.若则3.若则故的分布函数完标准正态分布表的使用2.若则3.若则故的分布函数完57例6设求解这里故查表得0.9772;例6设求解这里故查表得0.9772;58例6设求解£<}6.10{XP;3094.0=例6设求解£<}6.10{XP;3094.0=59例6设求解£<6.10{XP};3094.0=完例6设求解£<6.10{XP};3094.0=完60准则设则同理，如图，尽管正态随机变量的取值范围是准则设则同理，如图，尽管正态随机变量的取值范围是61准则如图，尽管正态随机变量的取值范围是准则如图，尽管正态随机变量的取值范围是62准则如图，尽管正态随机变量的取值范围是但它的值几乎全部集中在范围的可能性仅占不到此为0.3%.这在统计学上称为准则(三倍标准差原则).超出这个完准则如图，尽管正态随机变量的取值范围是但它的值几乎全部集中在63例7设某项竞赛成绩若按参赛人数的10%发奖,问获奖分数线应定为多少?解设获奖分数线为立的即则求使成例7设某项竞赛成绩若按参赛人数的10%发奖,问获奖分数线64例7设某项竞赛成绩若按参赛人数的10%发奖,问获奖分数线应定为多少?解设获奖分数线为立的即则求使成例7设某项竞赛成绩若按参赛人数的10%发奖,问获奖分数线65例7设某项竞赛成绩若按参赛人数的10%发奖,问获奖分数线应定为多少?解设获奖分数线为立的即则求使成查表得解得定为78分.故分数线可完例7设某项竞赛成绩若按参赛人数的10%发奖,问获奖分数线66例8将一温度调节器放置在内,调节器设定在℃,液体的温度(以℃计)是一个随机变量,且(1)若90℃,求小于89℃的概率;(2)若要求保持液体的温度于0.99,问至少为多少?解(1)所求概率为0.50.5贮存着某种液体的容器至少为80℃的概率不低例8将一温度调节器放置在内,调节器设定在℃,液体的温度(以67例8将一温度调节器放置在内,调节器设定在℃,液体的温度(以℃计)是一个随机变量,且(2)若要求保持液体的温度于0.99,问至少为多少?解贮存着某种液体的容器至少为80℃的概率不低例8将一温度调节器放置在内,调节器设定在℃,液体的温度(以68例8将一温度调节器放置在内,调节器设定在℃,液体的温度(以℃计)是一个随机变量,且(2)若要求保持液体的温度于0.99,问至少为多少?解贮存着某种液体的容器至少为80℃的概率不低(2)按题意需求满足0.50.50.50.5例8将一温度调节器放置在内,调节器设定在℃,液体的温度(以69解(2)按题意需求满足0.50.50.50.5解(2)按题意需求满足0.50.50.50.570解(2)按题意需求满足0.50.50.50.5即0.5亦即故需完解(2)按题意需求满足0.50.50.50.5即0.5亦即故71例9格品的概率.已知某台机器生产的螺栓长度(单位:厘米)根据假设记表示螺栓为合格品.则解于是规定螺服从参数的正态分布.内为合格品,栓长度在试求螺栓为合例9格品的概率.已知某台机器生产的螺栓长度(单位:厘米)根72例9格品的概率.已知某台机器生产的螺栓长度(单位:厘米)根据假设记表示螺栓为合格品.则解于是规定螺服从参数的正态分布.内为合格品,栓长度在试求螺栓为合例9格品的概率.已知某台机器生产的螺栓长度(单位:厘米)根73例9格品的概率.已知某台机器生产的螺栓长度(单位:厘米)根据假设记表示螺栓为合格品.则解于是规定螺服从参数的正态分布.内为合格品,栓长度在试求螺栓为合即螺栓为合格品的概率等于0.9544.完例9格品的概率.已知某台机器生产的螺栓长度(单位:厘米)根74课堂练习1.已知求2.某种型号电池的寿命近似服从正态分布已经其寿命在250小时以上的概率和寿命不超过350小时的概念均为92.36%,为使其寿命在和之间的概率不小于0.9,至少为多少?完课堂练习1.已知求2.某种型号电池的寿命近似服从正态分布已经75练习解答1.已知求解练习解答1.已知求解76练习解答1.已知求解练习解答1.已知求解77练习解答1.已知求解练习解答1.已知求解78练习解答1.已知求解练习解答1.已知求解79练习解答1.已知求解完练习解答1.已知求解完80练习解答2.某种型号电池的寿命近似服从正态分布已经其寿命在250小时以上的概率和寿命不超过350小时的概念均为92.36%,为使其寿命在和之间的概率不小于0.9,至少为多少?解由根据密度函数关于对称,有又由查表得于是练习解答2.某种型号电池的寿命近似服从正态分布已经其寿命在281练习解答解由根据密度函数关于对称,有又由查表得于是练习解答解由根据密度函数关于对称,有又由查表得于是82练习解答解由根据密度函数关于对称,有又由查表得于是故又即查表得于是完练习解答解由根据密度函数关于对称,有又由查表得于是故又即查表83内容小结1.如果对随机变量的分布函数存在非负可积函数使得对于任意实数有则称为连续型随机变量,称为的概率密度函数.连续型随机变量及其概率密度2.常用连续型分布均匀分布指数分布正态分布标准正态分布内容小结1.如果对随机变量的分布函数存在非负可积函数使得对于84内容小结2.常用连续型分布均匀分布指数分布正态分布标准正态分布内容小结2.常用连续型分布均匀分布指数分布正态分布标准正态分85内容小结2.常用连续型分布均匀分布指数分布正态分布标准正态分布其中正态分布应用极为广泛,在本课程中我们一直要和它打交道.在第4章中,还将介绍为什么这么多随机现象完都近似服从正态分布.内容小结2.常用连续型分布均匀分布指数分布正态分布标准正态分86连续型随机变量及其概率密度定义如果对随机变量的分布函数非负可积函数使得对任意实数有则称为连续型随机变量,度函数,简称为概率密度或密度函数.存在称的概率密为基本性质:1.对一个连续型随机变量2.连续型随机变量取任一指定值的概率为0.连续型随机变量及其概率密度定义如果对随机变量的分布函数非负可87连续型随机变量及其概率密度基本性质:1.对一个连续型随机变量2.连续型随机变量取任一指定值的概率为0.连续型随机变量及其概率密度基本性质:1.对一个连续型随机变量88连续型随机变量及其概率密度基本性质:1.对一个连续型随机变量2.连续型随机变量取任一指定值的概率为0.3.若在点处连续,则(1)4.落在小区间上的概率近似等于即,(2)完连续型随机变量及其概率密度基本性质:1.对一个连续型随机变量89均匀分布定义若连续型随机变量的概率密度为其它记为上则称在区间注：在区间上其取值落在中任意等长度的子区间内的概率是相同的,且与子区间的长度成正比.服从均匀分布,服从均匀分布的随机变量均匀分布定义若连续型随机变量的概率密度为其它记为上则称在区间90均匀分布均匀分布注：在区间上其取值落在中任意等长度的子区间内的概率是相同的,且与子区间的长度成正比.服从均匀分布的随机变量均匀分布均匀分布注：在区间上其取值落在中任意等长度的子区间内91均匀分布的分布函数完注：在区间上其取值落在中任意等长度的子区间内的概率是相同的,且与子区间的长度成正比.服从均匀分布的随机变量均匀分布的分布函数完注：在区间上其取值落在中任意等长度的子区92指数分布定义若随机变量的概率密度为则称服从参数为的指数分布,简记为注：指数分布常用来描述时间,例如,乘客在公交车站等车的时间,其它,元件的寿命等,的分布函数因而它在可靠性理论和排队论中有广泛的应用.电子对某一事件发生的等待指数分布定义若随机变量的概率密度为则称服从参数为的指数分布,93指数分布定义若随机变量的概率密度为则称服从参数为的指数分布,简记为其它,的分布函数指数分布定义若随机变量的概率密度为则称服从参数为的指数分布,94指数分布定义若随机变量的概率密度为则称服从参数为的指数分布,简记为其它,的分布函数服从指数分布的随机变量具有无记忆性,有即对其它,完任意指数分布定义若随机变量的概率密度为则称服从参数为的指数分布,95正态分布定义若随机变量的概率密度为其中和都是常数,则称服从参数记为注：正态分布是概率论中在十九世纪前叶由高斯加以推广,故又常称为高斯分布.研究表明:一个随机变量如果受到大量独立因素的影响则它一般服从正态分布.(无主导因素),和的正态分布,为最重要的连续型分布,正态分布定义若随机变量的概率密度为其中和都是常数,则称服从参96正态分布注：正态分布是概率论中在十九世纪前叶由高斯加以推广,故又常称为高斯分布.研究表明:一个随机变量如果受到大量独立因素的影响则它一般服从正态分布.(无主导因素),最重要的连续型分布,正态分布注：正态分布是概率论中在十九世纪前叶由高斯加以推广,97正态分布注：正态分布是概率论中在十九世纪前叶由高斯加以推广,故又常称为高斯分布.研究表明:一个随机变量如果受到大量独立因素的影响则它一般服从正态分布.(无主导因素),最重要的连续型分布,例如,产品的质量指标,元件的尺寸,年男子的身高、体重,测量误差,平或垂直偏差,信号噪声等等,从正态分布.正态分布的图形特征某地区成射击目标的水都服从或近似服完正态分布注：正态分布是概率论中在十九世纪前叶由高斯加以推广,98正态分布的图形特征1.密度曲线关于对称；2.曲线当时达到最大值3.曲线在处有拐点且以轴为渐近线;4.确定了曲线的位置,确定了曲线中峰的陡峭程度.的分布函数：完正态分布的图形特征1.密度曲线关于对称；2.曲线当时达到最大99标准正态分布正态分布当时称为标准正态分布，此时，其密度函数和分布函数常用和表示：标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.标准正态分布正态分布当时称为标准正态分布，此时，其密度函数和100标准正态分布标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.标准正态分布标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布101标准正态分布标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.定理设则而对标准正态分布的函数人们利用的近似计算方法计算求出其近似值，并编制了标准正态分布表.完标准正态分布标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布102标准正态分布表的使用1.2.若则3.若则故的分布函数标准正态分布表的使用1.2.若则3.若则故的分布函数103标准正态分布表的使用3.若则故的分布函数标准正态分布表的使用3.若则故的分布函数104标准正态分布表的使用3.若则故的分布函数完标准正态分布表的使用3.若则故的分布函数完105连续型随机变量及其概率密度定义如果对随机变量的分布函数负可积函数使得对任意实数有则称为连续型随机变量，称的概率密度函数，简称为概率密度或密度函数.的性质，由定义及分布函数(1)(2)存在非易见概率密度具有下列性质：注：上述性质有明显的几何意义.连续型随机变量及其概率密度定义如果对随机变量的分布函数负可积106连续型随机变量及其概率密度(1)(2)易见概率密度具有下列性质：注：上述性质有明显的几何意义.连续型随机变量及其概率密度(1)(2)易见概率密度具有下列107连续型随机变量及其概率密度(1)(2)易见概率密度具有下列性质：注：上述性质有明显的几何意义.反之，可证一个函数若满足上述性质，则该函数一定可以作为某一连续型随机变量的概率密度函数.完连续型随机变量及其概率密度(1)(2)易见概率密度具有下列108连续型随机变量分布函数的性质1.对一个连续型随机变量若已知其密度函数则概据定义，可求得其分布函数同时，还可求得的取值落在任意区间上的概率：2.连续型随机变量取任一指定值的概率连续型随机变量分布函数的性质1.对一个连续型随机变量若已知其109连续型随机变量分布函数的性质2.连续型随机变量取任一指定值的概率连续型随机变量分布函数的性质2.连续型随机变量取任一指定值110连续型随机变量分布函数的性质2.连续型随机变量取任一指定值的概率故对连续型随机变量有为0.3.若在点处连续，则(1)连续型随机变量分布函数的性质2.连续型随机变量取任一指定值111连续型随机变量分布函数的性质3.若在点处连续，则(1)连续型随机变量分布函数的性质3.若在点处连续，则(1)112连续型随机变量分布函数的性质3.若在点处连续，则(1)由定义和积分上限函数导数公式即得，由(1)式得：(2)可将上式理解为：在点的密度恰好是落在区间上的概率之比的极限(比与区间长度连续型随机变量分布函数的性质3.若在点处连续，则(1)由定义113连续型随机变量分布函数的性质在点的密度恰好是落在区间上的概率之比的极限(比与区间长度连续型随机变量分布函数的性质在点的密度恰好是落在区间上的概率114连续型随机变量分布函数的性质在点的密度恰好是落在区间上的概率之比的极限(比与区间长度较线密度的定义）.由(2)式，若不计高阶无穷小，则有即，落在小区间上的概率近似等于完连续型随机变量分布函数的性质在点的密度恰好是落在区间上的概率115例1设随机变量的密度函数为求其分布函数解当当例1设随机变量的密度函数为求其分布函数解当当116解当当解当当117解当当当故完解当当当故完118例2设随机变量具有概率密度(1)确定常数(2)求的分布函数(3)求完例2设随机变量具有概率密度(1)确定常数(2)求的分布函数(119例2设随机变量具有概率密度(1)确定常数解由得解得于是的概率密度为例2设随机变量具有概率密度(1)确定常数解由得解得于是的概率120解由得解得于是的概率密度为解由得解得于是的概率密度为121解由得解得于是的概率密度为其它.完解由得解得于是的概率密度为其它.完122例2设随机变量具有概率密度(2)求的分布函数解的分布函数为例2设随机变量具有概率密度(2)求的分布函数解的分布函数为123解解124解.完解.完125例2设随机变量具有概率密度(3)求解例2设随机变量具有概率密度(3)求解126例2设随机变量具有概率密度(3)求解例2设随机变量具有概率密度(3)求解127例2设随机变量具有概率密度(3)求解或完例2设随机变量具有概率密度(3)求解或完128例3设随机变量的分布函数为求(1)概率(2)的密度函数.解由连续型随机变量分布函数的性质,有(1)(2)的密度函数为例3设随机变量的分布函数为求(1)概率(2)的密度函数.解由129例3设随机变量的分布函数为求(2)的密度函数.解(2)的密度函数为例3设随机变量的分布函数为求(2)的密度函数.解(2)的密度130例3设随机变量的分布函数为求(2)的密度函数.解(2)的密度函数为完例3设随机变量的分布函数为求(2)的密度函数.解(2)的密度131均匀分布定义若连续型随机变量的概率密度为其它易见，记为上服从均匀分布，则称在区间注：在区间上服从均匀分布的随机变量其取值落在中任意等长度的子区间内的概率是相同的，且与子区间的长度成正比.事实上，子区间任取均匀分布定义若连续型随机变量的概率密度为其它易见，记为上服从132均匀分布是相同的，且与子区间的和度成正比.事实上，子区间任取均匀分布是相同的，且与子区间的和度成正比.事实上，子区间任取133均匀分布是相同的，且与子区间的和度成正比.事实上，子区间任取易求得的分布函数完均匀分布是相同的，且与子区间的和度成正比.事实上，子区间任取134例4某公共汽车站从上午7时起,每15分钟来一班车,即7:00,7:15,7:30,7:45等时刻有汽车到达此站,如果乘客到达此站时间是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率.解以7:00为起点0,以分为单位,依题意例4某公共汽车站从上午7时起,每15分钟来一班车,即135解以7:00为起点0,以分为单位,依题意解以7:00为起点0,以分为单位,依题意136解以7:00为起点0,以分为单位,依题意为使候车时间少于5分钟,乘客必须在7:10到7:15之间,或在7:25到7:30之间到达车站,故所求概率为即乘客候车时间少于5分钟的概率是1/3.完解以7:00为起点0,以分为单位,依题意为使候车时间少137指数分布定义若随机变量的概率密度为其中则称服从参数为的指数分布，简记为易见，的几何图形如图.注：指数分布常用来描述对某一事件发生的等待时间，例如，乘客在公交指数分布定义若随机变量的概率密度为其中则称服从参数为的指数分138指数分布注：指数分布常用来描述对某一事件发生的等待时间，例如，乘客在公交指数分布注：指数分布常用来描述对某一事件发生的等待时间，例如139指数分布注：指数分布常用来描述对某一事件发生的等待时间，例如，乘客在公交车站等车的时间，电子元件的寿命等，易求得的分布其它服从指数分布的随机变量具有无记忆性，有因而它在可靠性理论和排队论中有广泛的应用.函数即对任意()*指数分布注：指数分布常用来描述对某一事件发生的等待时间，例如140指数分布服从指数分布的随机变量具有无记忆性，有即对任意()*指数分布服从指数分布的随机变量具有无记忆性，有即对任意(141指数分布服从指数分布的随机变量具有无记忆性，有即对任意()*若表示某一元件的寿命，使用了小时，它总共能使用至少则式表明：()*已知元件指数分布服从指数分布的随机变量具有无记忆性，有即对任意(142指数分布若表示某一元件的寿命，使用了小时，它总共能使用至少则式表明：()*已知元件指数分布若表示某一元件的寿命，使用了小时，它总共能使用至少则143指数分布若表示某一元件的寿命，使用了小时，它总共能使用至少则式表明：()*已知元件概率与从开始使用时算起率相等，一性质是指数分布具有广泛应用的重要原因.即元件对它使用过小时没有记忆,完它至少能使用小时的概具有这小时的条件指数分布若表示某一元件的寿命，使用了小时，它总共能使用至少则144例5某元件的寿命服从指数分布,已知其参数求3个这样的元件使用1000小时,至少已有一个损坏的概率.解由题设知,的分布函数为由此得到各元件的寿命是否超过1000小时是独立的,用表示三个元件中使用1000小时损坏的元件数,例5某元件的寿命服从指数分布,已知其参数求3个这样的元件145例5某元件的寿命服从指数分布,已知其参数求3个这样的元件使用1000小时,至少已有一个损坏的概率.解各元件的寿命是否超过1000小时是独立的,用表示三个元件中使用1000小时损坏的元件数,例5某元件的寿命服从指数分布,已知其参数求3个这样的元件146例5某元件的寿命服从指数分布,已知其参数求3个这样的元件使用1000小时,至少已有一个损坏的概率.解各元件的寿命是否超过1000小时是独立的,用表示三个元件中使用1000小时损坏的元件数,所求概率为则完例5某元件的寿命服从指数分布,已知其参数求3个这样的元件147正态分布定义若随机变量的概率密度为其中和都是常数，则称服从参数为和的正态分布，记为易见，又利用泊松积分参见相关知识点①易证，正态分布定义若随机变量的概率密度为其中和都是常数，则称服从参148正态分布易证，正态分布易证，149正态分布易证，注：正态分布是概率论中最重要的连续型分布，在十九世纪前叶由高斯加以推广，故又常称为高斯分布.一般来说，一个随机变量如果受到许多随机因素的影响，而其中每一个因素都不起主导作用，正态分布易证，注：正态分布是概率论中最重要的连续型分布，在十150正态分布一般来说，一个随机变量如果受到许多随机因素的影响，而其中每一个因素都不起主导作用，正态分布一般来说，一个随机变量如果受到许多随机因素的影响，而151正态分布一般来说，一个随机变量如果受到许多随机因素的影响，而其中每一个因素都不起主导作用，则它服从正态分布.例如，产品的质量指标，元件的尺寸，某地区成年男子的身高、体重，测量误差，射击目标的水平或垂直偏差，信号噪声，农作物的产量等等都服从或近似服从正态分布.正态分布的图形特征完正态分布一般来说，一个随机变量如果受到许多随机因素的影响，而152正态分布的图形特征1.密度曲线关于对称；2.曲线当时达到最大值3.曲线在处有拐点且以正态分布的图形特征1.密度曲线关于对称；2.曲线当时达到最大153正态分布的图形特征3.曲线在处有拐点且以正态分布的图形特征3.曲线在处有拐点且以154正态分布的图形特征3.曲线在处有拐点且以轴为渐近线；4.确定了曲线中峰的陡峭程度.的分布函数：完正态分布的图形特征3.曲线在处有拐点且以轴为渐近线；4.确定155标准正态分布正态分布当时称为标准正态分布，此时，其密度函数和分布函数常用和表示：标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.标准正态分布正态分布当时称为标准正态分布，此时，其密度函数和156标准正态分布标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.标准正态分布标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布157标准正态分布标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.定理设则而对标准正态分布的函数人们利用的近似计算方法计算求出其近似值，并编制了标准正态分布表.完标准正态分布标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布158定理设则证明的分布函数为所以证毕.完定理设则证明的分布函数为所以证毕.完159标准正态分布表的使用1.表中给出了时的数值，当时，利用正态分布的对称性(如下图)，易见有2.若则标准正态分布表的使用1.表中给出了时的数值，当时，利用正态分160标准正态分布表的使用2.若则标准正态分布表的使用2.若则161标准正态分布表的使用2.若则3.若则故的分布函数完标准正态分布表的使用2.若则3.若则故的分布函数完162例6设求解这里故查表得0.9772;例6设求解这里故查表得0.9772;163例6设求解£<}6.10{XP;3094.0=例6设求解£<}6.10{XP;3094.0=164例6设求解£<6.10{XP};3094.0=完例6设求解£<6.10{XP};3094.0=完165准则设则同理，如图，尽管正态随机变量的取值范围是准则设则同理，如图，尽管正态随机变量的取值范围是166准则如图，尽管正态随机变量的取值范围是准则如图，尽管正态随机变量的取值范围是167准则如图，尽管正态随机变量的取值范围是但它的值几乎全部集中在范围的可能性仅占不到此为0.3%.这在统计学上称为准则(三倍标准差原则).超出这个完准则如图，尽管正态随机变量的取值范围是但它的值几乎全部集中在168例7设某项竞赛成绩若按参赛人数的10%发奖,问获奖分数线应定为多少?解设获奖分数线为立的即则求使成例7设某项竞赛成绩若按参赛人数的10%发奖,问获奖分数线169例7设某项竞赛成绩若按参赛人数的10%发奖,问获奖分数线应定为多少?解设获奖分数线为立的即则求使成例7设某项竞赛成绩若按参赛人数的10%发奖,问获奖分数线170例7设某项竞赛成绩若按参赛人数的10%发奖,问获奖分数线应定为多少?解设获奖分数线为立的即则求使成查表得解得定为78分.故分数线可完例7设某项竞赛成绩若按参赛人数的10%发奖,问获奖分数线171例8将一温度调节器放置在内,调节器设定在℃,液体的温度(以℃计)是一个随机变量,且(1)若90℃,求小于89℃的概率;(2)若要求保持液体的温度于0.99,问至少为多少?解(1)所求概率为0.50.5贮存着某种液体的容器至少为80℃的概率不低例8将一温度调节器放置在内,调节器设定在℃,液体的温度(以172例8将一温度调节器放置在内,调节器设定在℃,液体的温度(以℃计)是一个随机变量,且(2)若要求保持液体的温度于0.99,问至少为多少?解贮存着某种液体的容器至少为80℃的概率不低例8将一温度调节器放置在内,调节器设定在℃,液体的温度(以173例8将一温度调节器放置在内,调节器设定在℃,液体的温度(以℃计)是一个随机变量,且(2)若要求保持液体的温度于0.99,问至少为多少?解贮存着某种液体的容器至少为80℃的概率不低(2)按题意需求满足0.50.50.50.5例8将一温度调节器放置在内,调节器设定在℃,液体的温度(以174解(2)按题意需求满足0.50.50.50.5解(2)按题意需求满足0.50.50.50.5175解(2)按题意需求满足0.50.50.50.5即0.5亦即故需完解(2)按题意需求满足0.50.50.50.5即0.5亦即故176例9格品的概率.已知某台机器生产的螺栓长度(单位:厘米)根据假设记表示螺栓为合格品.则解于是规定螺服从参数的正态分布.内为合格品,栓长度在试求螺栓为合例9格品的概率.已知某台机器生产的螺栓长度(单位:厘米)根177例9格品的概率.已知某台机器生产的螺栓长度(单位:厘米)根据假设记表示螺栓为合格品.则解于是规定螺服从参数的正态分布.内为合格品,栓长度在试求螺栓为合例9格品的概率.已知某台机器生产的螺栓长度(单位:厘米)根178例9格品的概率.已知某台机器生产的螺栓长度(单位:厘米)根据假设记表示螺栓为合格品.则解于是规定螺服从参数的正态分布.内为合格品,栓长度在试求螺栓为合即螺栓为合格品的概率等于0.9544.完例9格品的概率.已知某台机器生产的螺栓长度(单位:厘米)根179课堂练习1.已知求2.某种型号电池的寿命近似服从正态分布已经其寿命在250小时以上的概率和寿命不超过350小时的概念均为92.36%,为使其寿命在和之间的概率不小于0.9,至少为多少?完课堂练习1.已知求2.某种型号电池的寿命近似服从正态分布已经180练习解答1.已知求解练习解答1.已知求解181练习解答1.已知求解练习解答1.已知求解182练习解答1.已知求解练习解答1.已知求解183练习解答1.已知求解练习解答1.已知求解184练习解答1.已知求解完练习解答1.已知求解完185练习解答2.某种型号电池的寿命近似服从正态分布已经其寿命在250小时以上的概率和寿命不超过350小时的概念均为92.36%,为使其寿命在和之间的概率不小于0.9,至少为多少?解由根据密度函数关于对称,有又由查表得于是练习解答2.某种型号电池的寿命近似服从正态分布已经其寿命在2186练习解答解由根据密度函数关于对称,有又由查表得于是练习解答解由根据密度函数关于对称,有又由查表得于是187练习解答解由根据密度函数关于对称,有又由查表得于是故又即查表得于是完练习解答解由根据密度函数关于对称,有又由查表得于是故又即查表188内容小结1.如果对随机变量的分布函数存在非负可积函数使得对于任意实数有则称为连续型随机变量,称为的概率密度函数.连续型随机变量及其概率密度2.常用连续型分布均匀分布指数分布正态分布标准正态分布内容小结1.如果对随机变量的分布函数存在非负可积函数使得对于189内容小结2.常用连续型分布均匀分布指数分布正态分布标准正态分布内容小结2.常用连续型分布均匀分布指数分布正态分布标准正态分190内容小结2.常用连续型分布均匀分布指数分布正态分布标准正态分布其中正态分布应用极为广泛,在本课程中我们一直要和它打交道.在第4章中,还将介绍为什么这么多随机现象完都近似服从正态分布.内容小结2.常用连续型分布均匀分布指数分布正态分布标准正态分191连续型随机变量及其概率密度定义如果对随机变量的分布函数非负可积函数使得对任意实数有则称为连续型随机变量,度函数,简称为概率密度或密度函数.存在称的概率密为基本性质:1.对一个连续型随机变量2.连续型随机变量取任一指定值的概率为0.连续型随机变量及其概率密度定义如果对随机变量的分布函数非负可192连续型随机变量及其概率密度基本性质:1.对一个连续型随机变量2.连续型随机变量取任一指定值的概率为0.连续型随机变量及其概率密度基本性质:1.对一个连续型随机变量193连续型随机变量及其概率密度基本性质: