电路原理B：4-正弦交流电路的基本概念

第4章

正弦交流电路基本概念第一节正弦量的三要素第二节正弦量的相量表示第三节电路元件伏安特性和电路定律的相量表示

正弦交流电路，是指电路中含有随时间按正弦函数规律变动的电源，而且电路各部分所产生的电压和电流均按正弦规律变化的电路。正弦交流电路有单相交流电路和三相交流电路之分。

交流发电机在结构和工艺上比直流电机简单，且易于以整流方式获得直流；交流电机性能优于直流电机。传输电能时可应用变压器进行高压输送、低压供电，因此日常生产、生活中广泛采用正弦交流电。第一节正弦量的三要素

随时间按正弦规律变动的变量称为正弦量。在电路中有各种交流电路，但正弦交流电路用的最多。正弦量有正弦电流、正弦电压、正弦电动势等。频率、幅值和初相位三个值被称为确定一个正弦量的三要素。下面以正弦交流电流为例说明正弦量的各个要素及其不同的表示方法。

4.1

正弦量的三要素正弦量：

随时间按正弦规律做周期变化的量。Ru+___iu+_正弦交流电的优越性：

便于传输；易于变换便于运算；有利于电器设备的运行；

.....正半周负半周Ru+_设正弦交流电流：角频率：决定正弦量变化快慢幅值：决定正弦量的大小幅值、角频率、初相角成为正弦量的三要素。初相位：决定正弦量起始位置Im2TiO一、频率（周期）正弦量变化一次所需时间称为周期

T。单位为s（秒）。每秒变化的次数称为频率

f，单位为

Hz（赫兹）。ImtT0i频率与周期互为倒数，即我国电力系统所用的频率是50Hz，称为工频，它的周期是0.02s。

正弦量变化的快慢除用周期和频率表示外，还可用角频率

来表示,单位是rad/s（孤度/秒）。二、幅值（有效值）正弦量在任一瞬时的值称为瞬时值，用小写字母表示。

正弦电流的瞬时值的标准表达式为是瞬时值中的最大值，称为幅值。

因为同期性变量都随时间不断变化，无法测量。因此在工程实际中，常采用一个称为有效值的量来衡量周期变量作用电路时产生的平均效果。

如果一个周期电流和一个直流电流通过阻值相同的电阻，在相同的时间内所产生的热量相等，就把这个直流电流的数值规定为此周期电流的有效值。当周期电流为正弦量时，将瞬时值表达式代入有同理有这样正弦量又可表示为即工程上所说的交流电压、电流都是指有效值，交流仪表上的读数也是有效值。但元器件的耐压值，应按最大值考虑。三、初相位称为正弦量的相位角或相位。称为正弦量的初相位角或初相位。一般取主值，ωtOiωtiOωtiO

在一个正弦交流电路中，电压u和电流

i的频率是相同的，但初相位却可以不同。(a)(b)＞0(c)＜0

两个同频率正弦量的相位角之差或初相位之差，称为相位差，用

表示。电路中定义。

如果

＞

0，我们称电压

u

超前电流i；反过来也可以说电流

i

滞后于电压

u

；如果

=

0，称电压和电流同相位或同相，如果

，称两个正弦量反相。ωtu,iiu|i||u|0u,iiuωt0u0iωtu,i电压和电流同相电压和电流反相比较不同频率正弦量的相位角是没有意义的。第二节正弦量的相量表示

在时间域中进行正弦量的计算、求解含有正弦量的电路方程组和微分方程等是非常费时费力的，为了摆脱正弦函数运算的繁琐及相关计算的困难，利用数学中有关变换的概念，以复数为变换工具，用复平面上的复数相量表示时间域的正弦时间函数，从而将在时间域中求解正弦交流电路的微分方程问题转化为复数域中求解相量的代数方程问题，可以简化正弦交流电路的分析与运算。一、用复数表示正弦量

以横轴为实轴，用+1为单位，纵轴为虚轴，用+j为单位，构成复平面。复数

A

实部为

a，虚部为b，则一个复数可写成jAbθa01.直角坐标式复数的模2.三角函数式利用欧拉公式4.极坐标式

将复数与正弦量相比可知，复数可以表示正弦量，复数的模代表正弦函数的幅值，幅角代表正弦量的初相位，而正弦量的时间可不考虑，为了与一般的复数加以区别，把表示正弦量的复数称为相量，并在相应的表示电路变量的大写字母上打“·”。可表示为（课本中采用的是有效值向量）如注意:相量只是表示正弦量的复数，而不是等于正弦量，因为正弦量是时间域中随时间变化的实数。有3.指数式例3-1

图示电路中，设 ， ，试求总电流。解：将化成相量形式有则总电流的相量形式为返回到时间域，对应的瞬时值为这比在时间域做正弦量的加法要方便许多，同学可自行计算进行对比。相量形式的基尔霍夫电流定律为(教材74页的例题解答中使用了Im符号，做题时不必如此。)二、相量图

相量图，指按照各相量的幅值大小和初相位关系在复平面上画出的有向图。

相量图

注意：只有相同频率的正弦量的相量才可画在同一张相量图上，不同频率的正弦量放在一起比较是没有意义的。

三、旋转因子

旋转因子在相量图中的意义设从图中可见，＞0，超前于。在相量图中可以看到，乘以后，相当于向前逆时针旋转一个角，故称为旋转因子。特别，当，

因此将称为旋转因子。一个复数乘以，等于该复数在复平面上逆时针旋转，一个复数乘以，等于该复数顺时针旋转。？正误判断1.已知：？有效值？3.已知：复数瞬时值j45•？最大值？？负号2.已知：4.已知：第三节电路元件伏安特性和电路定律的相量表示在时间域中，电阻、电感、电容元件都有着确定的伏安特性关系，都可用精确的数学表达式表示。同样，这些元件的伏安特性关系在复数域中也可用相量表示，各种求解电路的方法和电路定律也可用相量表示。下面介绍电路元件的伏安特性关系和电路定律的相量表示。

一、电阻元件欧姆定律设正弦电流为则比较有或并有相量形式为:

设瞬时功率则

设

，则可知，瞬时功率始终大于零，并以角频率按正弦规律变化，说明电阻元件始终吸收（消耗）功率。iupu,i,pωtφu=φi平均功率（瞬时功率在一个周期内的平均值）注意：这里电阻消耗的平均功率的表达式和直流电路的表达式在形式上一样，但这里的电压和电流值是用有效值表示的。二、电感元件电感元件的伏安特性关系为设电感中通过的正弦电流为通过系数对比有或π/2iu0ωt

在电感元件交流电路中，电压的幅值或有效值与电流的幅值或有效值的比值为

；电压比电流超前π/2。将称为感抗，用表示，单位为Ω。这表明，感抗与频率成正比。电压与电流的幅值或有效值之间的关系为或电感元件伏安特性关系的相量表示设则即

这表明，电感电压的模是电流的模的倍，在相位上超前电流。瞬时功率π/2pOωt

理想电感元件（即内阻为零）从电源吸收的能量一定等于它归还给电源的能量，也就是说电感不消耗电能。即平均功率为

电感的平均功率虽为零，但电感与电源有能量交换。为了表明电感元件与电源之间进行能量交换的大小，通常以电感元件瞬时功率的幅值来衡量，称为无功功率，用

Q

表示。无功功率的单位是乏（

）或千乏（

）。

＞0

时表明电感元件吸收能量；

＜0

时表明电感元件发出能量。三、电容元件设电容二端所加的电压为正弦交流电压电容元件的伏安特性关系为uiOuωti

在电容元件交流电路中，电压的幅值或有效值与电流的幅值或有效值的比值为

；电流比电压超前π/2。将称为容抗，用表示，单位为Ω。这表明，容抗与频率成反比。电压与电流的幅值或有效值之间的关系为或通过系数对比有或设电容元件伏安特性关系的相量表示即

这表明，电容电压的模是电流的模的倍，在相位上滞后电流。

瞬时功率

＞0

时表明电容元件吸收能量；

＜0

时表明电容元件发出能量。

理想电容元件（即内阻为零）从电源吸收的能量一定等于它归还给电源的能量，也就是说电容不消耗电能。即平均功率为

为了同电感元件的无功功率比较，我们也设电容电流

电容元件的无功功率为：单位是乏（

）或千乏（

）。这表明，电感的无功功率是正的，电容的无功功率是负的。4.3.2、基尔霍夫定律的相量形式同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示：上式表明：流入某一结点的所有电流用相量表示时仍满足KCL；而任一回路所有支路电压用用相量表示时仍满足KVL。单一参数