大一下微积分课件-4复合求导

8.4多元复合函数的求导法链式求导法则一阶全微分形式不变性小结1一、链式求导法回忆一元复合函数求导法 y

(u),u

g( 复合函ydy

dydu 定理

设z=f(u,v)与u=u(x,y),v=v(x,y)链导法构成xy的复合函数z=f[u(x,yv(xy若zf(uv)且u(x,y),v(x,y)对x及对y的偏导数存在则复合函数z=f[u(x,y),v(x,y)]对x及对y的偏导数链导法且有公z

fuu

f

v

z

fuu

f

v将y固定,给x增量Δx,相应地,u和v有增uv

u(xv(x

x,

y)y)

u(v(x,

y),3从而函zf(uv)也有相应的z

f(u

u,v

v)

f(u,v).由于函zf(u,v)在(uv)可微,可微定

z

fu(u)(u)2(v)2

f

o(

(

其中

上式两边同除以Δx,zo(o(o(

fuu

f o(o(

o()uu2xxv24u

u(x

y)u(

vv(x

y)v(x,y)由于已知u(xyv(xy)对xy的偏导数存在,因当

0时,有u

v

0从而

0

z

u

vx0

ux0

x0

fuu

f

v同理可

z

fuu

f

v5z

[u(

y),v(

y)]变量变量树z

f

vu

yf z

f

f 6例设z

sinv,u

xy,vx

求

和z 解x

eu

sinvyeu

cosv exy[ysin(x

y)

cos(x

z

eu

sinv

xeucosvexy[xsin(x

y)

cos(x

设z

三个中间变f(u,v,

两个自变u(

y),

(

y),

(x,y)则z

f[(

y),(

的两个偏导数可用下列公式计

uy uy

z

,u

x2

y2,v

x2

y2u2v2u2v2w

求 x

3

2

(u2v2

w2)

2u2312

v2

w2)

3

21(u22

v2

w2)2

2(x2(x2y2w2

(uxvx

wy)设w

f(x

y

xyz)f

2w 解

uxy

vxwf(u,v)

w

wuwv

fu说f说

(u,

w

(x

y

解

x

yz,

第2变元

则w

f(变元,第2变元

f(u,v)记f1

xx

f

2

xwx

f(x

yz)

f(12yz 12yzf1

记f1

f1

f

2

说对变量关系清楚后，可不再画关说2w

(

f1

y(1f2

ffff(xyz,f1

yz

一样的变元

f(x

y

f(

一样的求导

(f

(x

yz)(f)(wfwfyzf12

2w f

f

yz f2f2(xf2f2(xyz,ff(xyz,

(f

(x

y

(

(

2w于

f11

y(x

xy2zf

考研数学一,填空,4设f(u,v)为二元可微函数z

f(xy

yx则z

yx

考研数学二,三,四,填空,4设f(u,v)为二元可微函数z

f(y

x则xz

yz

2(x

f1

xx考研数学一,填空4设函数f(u,v)具有二阶连续偏导数z

xxy),

2z

xf

f

解2z

zzfyf12

f12

1

y

[f2

例设u

f(x,

的所有二阶偏导把下列表达式转换为极坐标系u

u

2u

2u

x

y

(2)

x2

y2 xrcosy

ru

f(

y)换成极坐

r及

u

(

y)

(r

,rsin

F(r,反之u

f(

y)

uF(r,)x2y2rx2y2

xu

(x,

uF(r,x2y2(1)x2y2(1)x yu2 u2

arctanx

u

urur

u r

u

ruuru r

yux r

ru

u

ru

u

ru2

u2

u2

u2得 x

r

r

(2)

2ux2

2uy2 下面再给出几种常见情形的公式中间变量为一元函数的情z

(u,v),

(t),

(t)z

v2,u

2x,

z

4x2

2xsinx2

x2dz如果

(t)及

(t)在点t可导z

(uv)(u

则复合函数zf[(t),(t)]t可导,且有求导公dzdzuzduzv zvtv 例设w

uvv2,u

2xvsinx2求dw解dw

dwuwv

(2u

v)2(u

2v)(2x

x2(22x

x2)2(2x

x2)(2x

x28x

2sinx2

4x2

x2

2xsin2x2推广中间变量多于两个如z

f(u,v,z

uu(t),

v(t),wt

w(t((又称链导公 zduzdvz 或设

sint，而u

et，v

cost求导数dz解

dz

vetu(sint)cost1et

cos

et

cosz

f(u,

y

(x,y) z

f[(

y),x, 的两个偏导数可用下列公式计算 z

等式左边

是复合后的函

zf[(

y),x,对x的偏导数，y看作常等式右边

是复合前的

z

(u,x,y)对x的偏导数，u及y看作常例z

euln(x

y),而u

x2y,

z,

euln(x

2

eu x2xyex2yln(xy)

ex2y x

euln(x

y)x2

eu xx2ex2yln(x

y)

ex2y x 设z

f(u,

其中u

xey,

f对12变量具有连续的二阶偏导数，求

2zxy解z

f(xey

f

(

f

(

1fey1

2z

[e

ff

]e

f

ey

f

(

f2f2f2f2(u,x,y)ff(u,x,y),uxe2yy1ey1

f

ey

f

(

1ye1y

ey[

(xey

[

(xey

yey

ey(xe

(xe

设u

f

xy,

xyz),求

,

u

2uxz x

u

u

fz

2u

f1

f2yz

xy

xy

)

练习已知f(t)可微,证明z

满足方1zx

1z zy y2

f(x2

y2解引入中间变

令t

x2

y2

z

f(tty为中间变量xy为自变量z0f(t)yf(t)2x

2xyf(t

2(t

f2(t

f(t)

y(2y)

(t)

2y2f(ty

f2(t

f(t f2(t 考研数学三,8f(,v具有二阶连续偏导数,且满2f2f

v2x2y22x2y2

1,又g

y)

f[ ( 2

求x2y2解

yfx,

g

u 2

2 2

2

2故x2

y(

y

v

x(v2

x

y), 22

2

22

2xyuv

v2

v2g

22

2

22 y2

2xyuv

v2

v一元函数y

f

无论u是自变量还是中间变量，都dyf两者形式一样，这称为一阶微分的形式不变

z

(u,v)）设z

f(u,

则有全微dz

zdu

z

f(u,

而u

(

y),

(x,y)

则有全微dz

zdx

zzuu

z

v）dx

(zu

z

vdzzduzdzzduz

f(u,

而u

(

y),

(x,y)dz

zdx

z

zu

z

v

(zu

z

vzudx

udy

z

u

vxdx

dy z

dv.

称为一阶全微分形式不变说说d(u

v)

du

d(Cu)

d(uv)

vdu

d )uvu

vduv

例设

sint，而u

et

cost求全导数dz

利用一阶全微分的形式不变性

sint

vdu

costde

et

cos

coscos

et

et

(sin

cos(et

cos

et

sin

cos

e

(cos

sint)

cost.考研数学考研数学(三四填空4设函f(u)可微且

(0)

1,则z2

f(4x2

y2在点(1,2)处的全

dz(1,2)

全微分形式dz

f(4x2

y2)d(4x2

y2f(4x2

y2)[d(4x2)

dy2f(4x2

y2)(8

2dz(1,2)

f

4dx

例设

eusinv，而u

xy，vxy， 求x和y

利用一阶全微分的形式不变性

sin

sin

eud

sinsin

eudueu

cosexy[sin(x

cos(x

y)d(x

exy[sin(x

ydx

xdy)

cos(x

exy[ysin(x

y)

cos(x

y)]dxexy[xsin(x

y)

cos(x

dz

exy[ysin(xe