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双曲线的简单性质课时作业2一、选择题1.已知椭圆C:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2),双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为()A.eq\f(x2,8)+eq\f(y2,2)=1 B.eq\f(x2,12)+eq\f(y2,6)=1C.eq\f(x2,16)+eq\f(y2,4)=1 D.eq\f(x2,20)+eq\f(y2,5)=1解析:由题知双曲线的渐近线为y=±x,它与椭圆的四个交点是对称的,以这四个交点为顶点的四边形是正方形,其面积为16,可知点(2,2)在椭圆C上,即满足eq\f(4,a2)+eq\f(4,b2)=1又∵e=eq\f(c,a)=eq\f(\r(3),2)故而b2=5,a2=20.∴椭圆的方程为eq\f(x2,20)+eq\f(y2,5)=1.答案:D2.设F1,F2是双曲线eq\f(x2,4)-y2=1的左,右焦点,P在双曲线上,当△F1PF2的面积为1时,eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))的值为()A.0 B.1C.eq\f(1,2) D.2解析:不妨设P在第一象限,eq\f(1,2)·2c·yP=1,∴yP=eq\f(\r(5),5),∴P(eq\f(2\r(30),5),eq\f(\r(5),5)),∴eq\o(PF1,\s\up6(→))=(-eq\r(5)-eq\f(2\r(30),5),-eq\f(\r(5),5)),eq\o(PF2,\s\up6(→))=(eq\r(5)-eq\f(2\r(30),5),-eq\f(\r(5),5)),∴eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))=0,故选A.答案:A3.若实数k满足0<k<9,则曲线eq\f(x2,25)-eq\f(y2,9-k)=1与曲线eq\f(x2,25-k)-eq\f(y2,9)=1的()A.离心率相等 B.虚半轴长相等C.实半轴长相等 D.焦距相等解析:由0<k<9,易知两曲线均为双曲线且焦点都在x轴上,由eq\r(25+9-k)=eq\r(25-k+9),得两双曲线的焦距相等,选D.答案:D4.如右图,已知F1,F2是双曲线eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左,右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABF2是锐角三角形,则双曲线的离心率e的范围是()A.(1+eq\r(2),+∞) B.(1,1+eq\r(2))C.(1,eq\r(3)) D.(eq\r(3),2eq\r(2))解析:令x=-c,可求得点B的纵坐标为eq\f(b2,a),由双曲线的对称性可知△ABF2为等腰三角形,∴△ABF2是锐角三角形⇔∠BF2A为锐角⇔∠BF2F1<45°⇔tan∠BF2F1<1⇔eq\f(b2,2ac)<1,即b2<2ac,∴c2-2ac-a2<0,即e2-2e-1<0,解之得1<e<1+eq\r(2),∴选B.答案:B二、填空题5.椭圆C1:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1与双曲线C2:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)被称为一对“情侣”曲线,设C1,C2的离心率分别为e1,e2,则eeq\o\al(2,1)+eeq\o\al(2,2)=________.解析:∵a>b>0,∴eeq\o\al(2,1)=eq\f(a2-b2,a2),eeq\o\al(2,2)=eq\f(a2+b2,a2),∴eeq\o\al(2,1)+eeq\o\al(2,2)=2.答案:26.设点P在双曲线eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的右支上,双曲线两焦点为F1、F2,|PF1|=4|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为________.解析:∵|PF1|-|PF2|=2a∴|PF2|=eq\f(2,3)a,又∵|PF2|≥c-a,∴eq\f(2,3)a≥c-a,则e=eq\f(c,a)≤eq\f(5,3),又e>1,∴1<e≤eq\f(5,3).答案:(1,eq\f(5,3)]7.P是双曲线eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)上的点,F1,F2是双曲线的焦点,其离心率e=eq\f(5,4),且∠F1PF2=90°,若△F1PF2的面积为9,则a+b=________.解析:e=eq\f(c,a)=eq\f(5,4),设a=4k,c=5k(k>0),则b=3k,由题意得,|PF1|2+|PF2|2=100k2①,eq\f(1,2)|PF1||PF2|=9②,(|PF1|-|PF2|)2=64k2③,由①②③得100k2-36=64k2,解得k=1,∴a+b=7k=7.答案:7三、解答题8.已知双曲线的中心在原点,右顶点为A(1,0),点P在双曲线的右支上,点M(m,0)到直线AP的距离为1.若直线AP的斜率为k,且|k|∈[eq\f(\r(3),3),eq\r(3)],求实数m的取值范围.解:如图,由条件得直线AP的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0.因为点M到直线AP的距离为1,即eq\f(|mk-k|,\r(k2+1))=1,∴|m-1|=eq\f(\r(k2+1),|k|)=eq\r(1+\f(1,k2)).∵|k|∈[eq\f(\r(3),3),eq\r(3)],∴eq\f(2\r(3),3)≤|m-1|≤2,解得eq\f(2\r(3),3)+1≤m≤3或-1≤m≤1-eq\f(2\r(3),3),∴实数m的取值范围是[-1,1-eq\f(2\r(3),3)]∪[1+eq\f(2\r(3),3),3].9.“神舟”六号飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记为A,B,C),A在B的正东方向,相距6千米,C在B的北偏西30°方向,相距4千米,P为航天员着陆点.某一时刻,A接收到P的求救信号,由于B,C两地比A距P远,在此4秒后,B,C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒.求在A处发现P的方位角.解:因为|PC|=|PB|,所以P在线段BC的垂直平分线上,又因为|PB|-|PA|=4,所以P在以A,B为焦点的双曲线的右支上,以线段AB的中点为坐标原点,AB所在直线为x轴,正东方向为x轴正方向建立直角坐标系,如图所示,则A(3,0),B(-3,0),C(-5,2eq\r(3)).所以双
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