初中数学抛物线及几何专题训练及

初中数学抛物线及几何专题训练及初中数学抛物线及几何专题训练及14/14初中数学抛物线及几何专题训练及全国各地中考试题压轴题优选讲座抛物线与几何问题【知识纵横】抛物线的分析式有以下三种形式：1、一般式：(a≠0)；2、极点式：y=a(x—h)2-＋k；3、交点式：y=a(x—x1)(x—x2)，这里x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两个实根。解函数与几何的综合题，擅长求点的坐标，从而求出函数分析式是解题的根基；而充散发挥形的要素，数形互动，把证明与计算相联合是解题的重点。【典型例题】【例1】(浙江杭州)在直角坐标系xOy中，设点A〔0，t〕，点次函数的图象，获得的抛物线F知足两个条件：①极点为Q；②与〔∣OB∣<∣OC∣〕，连结A，B。

Q〔t，b〕。平移二x轴订交于B，C两点1〕能否存在这样的抛物线F，请你作出判断，并说明原因；2〕假如AQ∥BC，且tan∠ABO=，求抛物线F对应的二次函数的分析式。t

【思路点拨】〔1〕由关系式来建立对于t、b的方程；的取值范围，来求抛物线F对应的二次函数的分析式。

(2)

议论【例2】(江苏常州)如图,抛物线与x轴分别订交于点B、O,它的极点为A,连结AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,获得直线l,设P是直线l上一动点.〔1〕求点A的坐标;2〕以点A、B、O、P为极点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特别四边形的极点P的坐标;3〕设以点A、B、O、P为极点的四边形的面积为S,P的横坐标为x,当时,求x的取值范围.【思路点拨】〔3〕可求得直线的函数关系式是y=-2x，所以应议论①当点P在第二象限时，x<0、②当点P在第四象限是，x>0这二种状况。【例3】〔浙江丽水〕如图，在平面直角坐标系中，点坐标为〔2，4〕，直线与轴订交于点，连结，抛物线从点沿方向平移，与直线交于点，极点到点时停止挪动．〔1〕求线段所在直线的函数分析式；y〔2〕设抛物线极点的横坐标为,①用的代数式表示点的坐标；A②当为什么值时，线段最短；P〔3〕当线段最短时，相应的抛物线上能否存在点，使△的面M积与△的面积相等，假定存在，恳求出点的坐标；假定不存在，请说明原因．OB【思路点拨】〔2〕建立对于的二次函数，求此函数的最x小值；〔3〕分当点落在直线的下方时、当点落在直线的上方时x2议论。【例4】〔广东省深圳市〕如图点，与y轴交于C点，与x轴交于OB＝OC，tan∠ACO＝．

1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的极点为A、B两点，A点在原点的左边，B点的坐标为〔

D3，0〕，使以点

〔1〕求这个二次函数的表达式．〔2〕经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上能否存在这样的点F，A、C、E、F为极点的四边形为平行四边形假定存在，恳求出点F的坐标；假定不存在，请说明原因．〔3〕假定平行于

x轴的直线与该抛物线交于

M、N两点，且以

MN为直径的圆与

x轴相切，求该圆半径的长度．4〕如图2，假定点G〔2，y〕是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么地点时，△APG的面积最大求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.【思路点拨】〔2〕可先以A、C、E、F为极点的四边形为平行四边形时，求F点的坐标，再代入抛物线的表达式查验。〔3〕议论①当直线MN在x轴上方时、②当直线MN在x轴下方时二种状况。〔4〕建立S对于x的二次函数，求它的最大值。【例5】〔山东济南〕：抛物线(a≠0)，极点C(1，)，与x轴交于A、B两点，．1〕求这条抛物线的分析式．2〕如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，挨次连结A、D、B、E，点P为线段AB上一个动点(P与A、B两点不重合)，过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，请判断能否为定值假定是，恳求出此定值；假定不是，请说明原因．〔3〕在(2)的条件下，假定点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP，FG分别与边．AE、BE订交于点F、G(F与A、E不重合，G与E、B不重合)，请判断能否成yEM立．假定成立，请给出证明；假定不可立，请说明原因．【思路点拨】〔2〕证△APM∽△ABE，同理:〔3〕证PH=BH且△APM∽△PBH再证△MEP∽△EGF可得。【学力训练】1、〔广东梅州〕以下列图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为轴，过D且垂直于AB的直线为轴成立平面直角坐标系．1〕求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标；2〕求过A、D、C三点的抛物线的分析式及其对称轴L．〔3〕假定P是抛物线的对称轴L上的点，那么使PDB为等腰三角形的点P有几个〔不必求点P的坐标，只要说明原因〕2、〔广东肇庆〕点A〔a，〕、B〔2a，y〕、C〔3a，y〕都在抛物线上.1〕求抛物线与x轴的交点坐标；2〕当a=1时，求△ABC的面积；3〕能否存在含有、y、y，且与a没关的等式假如存在，试给出一个，并加以证明；假如不存在，说明原因.3、〔青海西宁〕如图，半径为1的与轴交于两点，为的切线，切点为，圆心的坐标为，二次函数的图象经过两点．1〕求二次函数的分析式；y〔2〕求切线的函数分析式；M3〕线段上能否存在一点，使得认为极点的三角形与相像．假定存在，恳求出全部切合条件的点的坐标；假定不存OAO1Bx在，请说明原因．4、〔辽宁12市〕如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过三点．1〕求过三点抛物线的分析式并求出极点的坐标；2〕在抛物线上能否存在点，使为直角三角形，假定存在，直接写出点坐标；假定不存在，请说明原因；〔3〕尝试究在直线上能否存在一点，使得的周长最小，假定y存在，求出点的坐标；假定不存在，请说明原因．5、〔四川资阳〕如图，点A的坐标是〔－1，0〕，点B的坐标是〔9，0〕，以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴OBxA于点C，连结AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．C〔1〕求抛物线的分析式；F〔2〕点E是AC延伸线上一点，∠BCE的均分线CD交⊙O′于点D，连结BD，求直线BD的分析式；〔3〕在〔2〕的条件下，抛物线上能否存在点P，使得∠PDB＝∠CBD假如存在，恳求出点P的坐标；假如不存在，请说明理由．6、〔辽宁沈阳〕以下列图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的负半轴上，边在轴的正半轴上，且，，矩形绕点按顺时针方向旋转后获得矩形．点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，抛物线过点．1〕判断点能否在轴上，并说明原因；2〕求抛物线的函数表达式；〔3〕在轴的上方能否存在点，点，使以点为极点的平行四边y形的面积是矩形面积的2倍，且点在抛物线上，假定存在，恳求E出点，点的坐标；假定不存在，请说明原因．AFCD7、〔苏州市〕如图，抛物线y＝a(x＋1)(x－5)与x轴的交BOx点为M、N．直线y＝kx＋b与x轴交于P(－2，0)，与y轴交于C．假定A、B两点在直线ykx＋b上，且AO=BO=，AO⊥BO．D为线段MN的中点，OH为Rt△OPC斜边上的高．OH的长度等于___________；k＝___________，b＝____________；能否存在实数a，使得抛物线y＝a(x＋1)(x－5)上有一点E，知足以D、N、E为极点的三角形与△AOB相像假定不存在，说明原因；假定存在，求全部切合条件的抛物线的分析式，同时研究所求得的抛物线上能否还有切合条件的E点(简要说明原因)；并进一步研究对切合条件的每一个E点，直线NE与直线AB的交点G能否总知足PB·PG＜，写出研究过程．yBCHAPDNx-2MO抛物线与几何问题的参照答案【典型例题】【例1】(浙江杭州)〔1〕∵平移的图象获得的抛物线的极点为,∴抛物线对应的分析式为:.∵抛物线与x轴有两个交点，∴.,得，,)()|,即,所以当时,存在抛物线使得.--2分(2)∵,∴,得:,解得.在中,当时,由,得,当时,由,解得,此时,二次函数分析式为;当时,由,解得,此时，二次函数分析式为++.当时,由,将代,可得,,〔也可由代，代获得〕所以二次函数分析式为+–或.【例2】(江苏常州)〔1〕∵A(-2,-4)2〕四边形ABP1O为菱形时，P1(-2,4)四边形ABOP2为等腰梯形时，P1()四边形ABP3O为直角梯形时，P1()四边形ABOP4为直角梯形时，P1()3〕由条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线的函数关系式是y=-2x①当点P在第二象限时，x<0,POB的面积∵△AOB的面积，∴∵，∴即∴∴x的取值范围是②当点P在第四象限是，x>0,过点A、P分别作x轴的垂线，垂足为A′、P′那么四边形POA′A的面积∵△AA′B的面积∴∵，∴即∴∴x的取值范围是【例3】〔浙江丽水〕〔1〕设所在直线的函数分析式为，∵〔2，4〕，∴,,y∴所在直线的函数分析式为A〔2〕①∵极点M的横坐标为，且在线段上挪动，P∴〔0≤≤2〕.M∴极点的坐标为(,).∴抛物线函数分析式为.

BOxx2〔第24题〕∴当时，0≤≤2〕.∴点的坐标是〔2，〕.②∵==，又∵0≤≤2，∴当时，PB最短3〕当线段最短时，此时抛物线的分析式为.假定在抛物线上存在点，使.设点的坐标为〔，〕.①当点落在直线的下方时，过作直线∵点的坐标是〔2，3〕，∴直线的函数解y析式为D.∵，∴点落在直线上.A=.P解得，即点〔2，3〕.M∴点与点重合.E∴此时抛物线上不存在点，使△与△的面积相等.OBx②当点落在直线的上方时，x2C作点对于点的对称称点，过作直线∵，∴点落在直线上.∴=.解得：，.代入，得，.∴此时抛物线上存在点，使△与△的面积相等.综上所述，抛物线上存在点，使△与△的面积相等.【例4】〔广东省深圳市〕〔1〕方法一：由得：C〔0，－3〕，A〔－1，0〕将A、B、C三点的坐标代入得解得：所以这个二次函数的表达式为：〔2〕存在，F点的坐标为〔2，－3〕易得D〔1，－4〕，所以直线CD的分析式为：∴E点的坐标为〔－3，0〕∵以A、C、E、F为极点的四边形为平行四边形∴F点的坐标为〔

2，－3〕或〔―2，―3〕或〔－

4，3〕代入抛物线的表达式查验，只有〔

2，－3〕切合∴存在点

F，坐标为〔

2，－3〕〔3〕如图，①当直线

MN在

x轴上方时，设圆的半径为

R〔R>0〕，那么

N〔R+1，R〕，代入抛物线的表达式，解得②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r〔r>0〕，N〔r+1，－r〕，代入抛物线的表达式，解得∴圆的半径为或．〔4〕过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，易得G〔2，－3〕，直线AG为．设P〔x，〕，那么Q〔x，－x－1〕，PQ．当时，△APG的面积最大此时P点的坐标为，．【例

5】〔山东济南〕(1)设抛物线的分析式为将A(－1，0)代入:∴抛物线的分析式为，即：

∴2〕是定值，AB为直径，∴∠AEB=90°，∵PM⊥AE，∴PM∥BE∴△APM∽△ABE，∴①同理:②①+②:3〕∵直线EC为抛物线对称轴，∴EC垂直均分ABEA=EB∵∠AEB=90°∴△AEB为等腰直角三角形．∴∠=∠=45°7分EABEBA如图，过点P作PH⊥BE于H，由及作法可知，四边形PHEM是矩形，PH=ME且PH∥ME在△APM和△PBH中∵∠AMP=∠PHB=90°，∠EAB=∠BPH=45°PH=BH且△APM∽△PBH∴∴①在△MEP和△EGF中，PE⊥FG，∴∠FGE+∠SEG=90°∵∠MEP+∠SEG=90°∴∠FGE=∠MEP∵∠PME=∠FEG=90°∴△MEP∽△EGF∴②由①、②知：【学力训练】1、〔广东梅州〕1〕DC∥AB，AD=DC=CB，CDB=∠CBD=∠DBA，∠DAB=∠CBA，∠DAB+∠DBA=90，DBA=30，AB=4，

DAB=2∠DBA，DAB=60，DC=AD=2，t，=1，=，RAODOAODA〔-1，0〕，D〔0，〕，C〔2，〕．〔2〕依据抛物线和等腰梯形的对称性知，知足条件的抛物线必过点〔－1，0〕，BA〔3，0〕，故可设所求为=〔+1〕〔-3〕将点〔0，〕的坐标代入上式得，=．D所求抛物线的分析式为=其对称轴L为直线=1．〔3〕为等腰三角形，有以下三种状况：PDB①因直线L与DB不平行，DB的垂直均分线与L仅有一个交点P，PD=PB，111P1DB为等腰三角形；②因为以D为圆心，DB为半径的圆与直线L有两个交点P2、P3，DB=DP2，DB=DP3，P2DB，PDB为等腰三角形；3③与②同理，L上也有两个点4、5，使得=4，=5．PPBDBPBDBP因为以上各点互不重合，所以在直线L上，使PDB为等腰三角形的点P有5个．2、〔广东肇庆〕〔1〕由5=0，〔1分〕得，．∴抛物线与x轴的交点坐标为〔0，0〕、〔，0〕．··········〔3分〕〔2〕当a=1，得A〔1，17〕、B〔2，44〕、C〔3，81〕，分点、、C作x的垂，垂足分、、，有ABDEF=S--=--=5〔个位面〕〔3〕如：．2事上，=45a+36a．3〔〕=3[5×〔2a〕2+12×2a-〔5a2+12a〕]=45a2+36a．∴．3、〔青海西宁〕〔1〕心的坐，半径1，，⋯⋯1分二次函数的象点，可得方程解得：二次函数分析式2〕点作，垂足．是的切，切点，〔的切垂直于切点的半径〕在中，角，，y在中，．M．P1P2点坐OHAFO1切的函数分析式，由意可知，切的函数分析式〔3〕存在．①点作，与交于点．可得〔两角相等两三角形相像〕，②点作，垂足，点作，垂足．可得〔两角相等两三角开相像〕在中，，，在中，，，切合条件的点坐有，4、〔宁12市〕解：〔1〕直与交于点，与交于点．，点都在抛物上，抛物的分析式点2〕存在3〕存在y原因：HAOBCF

．Bx

x解法一：延伸到点，使，连结交直线于点，那么点就是所求的点．过点作于点．点在抛物线上，在中，，，，在中，，，，设直线的分析式为解得解得在直线上存在点，使得的周长最小，此时．5、〔四川资阳〕(1)∵以AB为直径作⊙O′，交∴∠OCA+∠OCB=90°，又∵∠OCB+∠OBC=90°，∴∠OCA=∠OBC，又∵∠AOC=∠COB=90°，∴ΔAOC∽COB，∴．又∵A(–1，0)，B(9，0)，∴，解得OC=3(负值舍去)．C(0，–3)，设抛物线分析式为y=a(x+1)(x–9)，∴–3=a(0+1)(0–9)，解得a=，∴二次函数的分析式为y=(x+1)(x–9)，即y=x2–x–3．

y轴的负半轴于点C，10(2)∵AB为O′的直径，且A(–1，0)，B(9，0)，∴OO′=4，O′(4，0)，∵点E是AC延伸线上一点，∠BCE的均分线CD交⊙O′于点D，∴∠BCD=∠BCE=×90°=45°，连结O′D交BC于点M，那么∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D=AB=5．D(4，–5)．∴设直线BD的分析式为y=kx+b〔k≠0〕∴解得∴直线BD的分析式为y=x–9.(3)假定在抛物线上存在点P，使得∠PDB=∠CBD，设射线DP交⊙O′于点Q，那么．分两种状况(如答案图1所示)：①∵O′(4，0)，D(4，–5)，B(9，0)，C(0，–3)．∴把点C、D绕点O′逆时针旋转90°，使点D与点B重合，那么点C图10答案图1与点Q1重合，所以，点Q1(7，–4)切合，D(4，–5)，Q1(7，–4)，∴用待定系数法可求出直线DQ1分析式为y=x–．解方程组得∴点P1坐标为(，)，[坐标为(，)不切合题意，舍去]．②∵Q1(7，–4)，∴点Q1对于x轴对称的点的坐标为Q2(7，4)也切合．D(4，–5)，Q2(7，4)．∴用待定系数法可求出直线DQ2分析式为y=3x–17．解方程组得∴点P2坐标为(14，25)，[坐标为(3，–8)不切合题意，舍去]．∴切合条件的点P有两个：P1(，)，P2(14，25)．6、〔辽宁沈阳〕〔1〕点在轴上原因以下：连结，以下列图，在中，，，，由题意可知：点在轴上，点在轴上．2〕过点作轴于点，在中，，点在第一象限，点的坐标为由〔1〕知，点在轴的正半轴上点的坐标为点的坐标为抛物线经过点，由题意，将，代入中得解得所求抛物线表达式为：〔3〕存在切合条件的点，点．·············10分原因以下：矩形的面积认为极点的平行四边形面积为．由题意可知为此平行四边形一边，又边上的高为2依题意设点的坐标为点在抛物线上解得，，，认为极点的四边形是平行四边形，，，当点的坐标为时，点的