专项突破五高考解答题平面解析几何

从近三年的高考试题来看,曲线的方程等是高考的热点,题型大多为解答题,难度为中等偏上,主要考查曲线的定义,求曲线轨迹方程的方法,如20422.圆锥曲线的最值问题、范围问题,定点、定值问题,存在性、探索性问题等,考查的知识点多,能力要求高,尤其是运算变形能力,是高区分度较大的题目,如204山东22.预计在2016年高,解析几何中的解答题仍将以直线与圆锥曲线为考向考向【例1】已知△ABP的三个顶点都在抛物线C:x2=4y上,F为抛物线的焦点,MAB的中点,=3(1)若|PF|=3,求点M的坐标(2)求△ABP面积的最大值思维透析(1)由|PF|=3,据抛物线的定义求出P点的坐标,再=3,确定点M的坐标(2)由=3S△ABP=4S△ABF,故只需确定|AB|,以及点F到直线的距离即可,最后据函数的单调性求最大值P(x0,y0).由抛物线定义知|PF|=y0+1,y0=2,P(22,2)或P(-22,2).由=3,M222M222 (2)ABy=kx+m,由𝑦=𝑘𝑥+ 𝑥2=

16260,124,12ABM的坐标为(2k,2k2+m).由=3,得(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-所 𝑥0=-

由

k2=-1m+4 𝑦0=4-6𝑘2-

>0,k20,1m4. 又因为|AB|=41+𝑘2𝑘2+F(0,1)ABd=|𝑚-1|SABP=4SABF=8|m-1|𝑘2=163𝑚3-5𝑚2+m+f(m)=3m3-5m2+m+11<𝑚≤3

43f'(m)=9m2-10m+1=0,m=

f(m)在11上是增函数,在1,1上是减函数,在14数f

9

>f ,ABP9大值为256

(2014山东F1,F2,上顶点为A,在x轴负半 A,B,F2x-3y-3=0相切(1)C的方程(2)F2klCM,N两xP(m,0),m的取值范围.ABAF2,

则 22a,0,B-2a,0RtABCF1a,0,

所以 2a=2,c=1,b=所以所求椭圆的方程为𝑥2+ (2)F2(1,0),ly=k(x-𝑦=𝑘(𝑥-联立方程组4

𝑦2=3

y(3+4k2)x2-8k2x+4k2-

2,12k122=

MN

2

.2 2k=0时,MN为长轴,中点为原点,当0时,MN的垂直平分线方程为

=-122

2

2=3 11

3>0,3+4>4, 综上可得,m的取值范围是0142】已知动圆过定A(4,0),y轴上截得MN的长求动圆圆心的轨迹C的方程已知B(-1,0),设不垂直x轴的直l与轨C交于不同的两PBQb直线过定点由与抛物线方程联立,PBQ k思维透析(1)设动圆圆心O1(x,y),由|O1A|=|O1M|,根据两点间距离公b直线过定点由与抛物线方程联立,PBQ k解:如图,设动圆圆心O1(x,y),由题意O1y轴上时O1O1HMNMN于点H,HMN的中点,故|O1M|=𝑥2又|O1A|=(𝑥-4)2+𝑦2,则(𝑥-4)2+𝑦2=𝑥2+42,y2=8x(x0).O1y轴上时,O1O重合,O1的坐标(0,0)C证明:由题意,ly=kx+b(k0),P(x1,y1),Q(x2,y2),y=kx+by2=8x中,k2x2+(2bk-8)x+b2=0,=-由求根公式得

bbx1x2=2PBQ所以 =- 将①②代入③得2kb2+(k+b)(8->0,ly=k(x-l过定点(2014山东青岛高三第一次统一质量检测改编)C:x2+2y2=12,T满足:=+2+,M,NC上的点,OMON率之积为-1,试说明:F,F,使得|TF

|为定值? 在,求 M,Nx2+2y2=12上, 故

).所以x2+2y2=60,从而可知:T点是椭圆

+𝑦2=1点

,且为椭圆

+𝑦2=1的两个焦点,|TF1|+|TF2|为定值,F1(-30,0),F2(考向考向3】已知椭圆𝑥2+𝑦2=1(a>b>0)的离心率为2,且过点(2, (2)ABCD的顶点在椭圆上,AC,BDO,kAC·kBD=-①求·的最值②求证:ABCD的面积为定值解:(1)

=2,

+2

a2=8,b2=4,椭圆的标准方程为𝑥2+ (2)证明:ABy=kx+m,𝑦=𝑘𝑥+ + =

得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-=(4km)2-4(1+2k2)(2m2-=8(8k2-𝑥1+𝑥2

,1+𝑥1𝑥2

2𝑚2-21+考向考向 2kOAkOB=-2∴∴

=-2yy=-1x

=-1·2𝑚2-8=-𝑚2-41 21

=k22𝑚2-8+km-4𝑘𝑚+m2=𝑚2--𝑚2-

𝑚2-

(m2-4)=m2-4k2+2=m2.①·

=2𝑚2-

−𝑚2-=𝑚2-

4𝑘2+2-

2=2-4·k=0(m2=2满足①式),ABx轴时,·的最小AB的斜率不存在时·所以·②证明:ABd,S△=1|AB|·d=11+𝑘2·|x-

|·

+

)2-4𝑥2

2𝑚2- 2

2 -4 =|𝑚|64𝑘2-16(𝑚2-

=24𝑘2-𝑚2+4=2S四边形ABCD=4SAOB=8ABCD的面积为定值如图,已知抛物线C:x2=4y,过点M(0,2)任作一直线与C相交于A,B两点,过点By轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).证明:动点D在定直线上C的任意一条切线l(不含x轴),与直线y=2相交于点N1,与(1)中的定直线相交于点N2,证明:|MN2|2-|MN1|2为定值,并求此定值.证明:ABy=kx+2,x2=4y,x2=4(kx+2),即则有x1x2=-2AOy=𝑦1x;BDx=x.2𝑥=𝑥2D的坐标为𝑦=𝑦1𝑥21x1x2=-8及11

=-8𝑦1=-Dy=-2上(x0).解:依题设,l0,ly=ax+b(a0),x2=4yx2-4ax-=0得(4a)2+16b=0,化简整理得b=-ly=ax-y=2,y=-2N1,N2 21𝑎+a,2,N2-𝑎+a,-22则|MN|2-|MN|2=2-a+42-

𝑎+即|MN2|2-|MN1|2为定值【例4】(2014吉林省重点中学模拟)已知椭圆C:𝑥2+𝑦2=1(a>b>0)过Q-1,2,且离心率e=

求椭圆C的方程已知过点(1,0)的直线l与该椭圆相交于A,B两点,试问:在直线x=2上是否存在点P,ABP是正三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,思维透析(1)根据椭圆的离心率和过Q点,建立a,b,c的方程组,解(2)设直线(2)设直线ABPABPM,|PM|=2.x=2,PAB的中垂线y的一元二次方与椭圆方程联立,消元,AB的中点Mm的考向考向解:(1)

c=2 1𝑎2=解得𝑏2=

𝑎2

2

=C的方程为2(2)l0时,l0时,lx=1+my(m0),代入𝑥2+y2=1,整理得(m2+2)y2+2my-2则y+y=-2𝑚,yy 1

P(2,t)(t0),考向考向则|AB|=(𝑥2-𝑥1)2+(𝑦2-𝑦1=(𝑚2+1)(𝑦2-=𝑚2+1·(𝑦1+𝑦2)2- 𝑚2+1·22·

=2AB则y

ABPABPM,2ABPM即1·𝑦𝑃-𝑦3=- 𝑥𝑃-所以yP-y3=-m(xP-

)2+

-

)2 1+𝑚2·

=1+𝑚2 由|PM|=3|AB|得1+𝑚2·

=3·22m2=1,

y-

-x)得t-

𝑚(2𝑚2+3)=4

P2±425如图,E:𝑥2+𝑦2=1(a>b>0)

,

,

ABF2(1)E的方程(2)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆M?若存在,M的坐标;若不存在,说明理由.4a=8,a=2.2即c=1, b=𝑎2-c2=E的方程是𝑥2+ 𝑦=𝑘𝑥+(2)由4

+3

=

得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-lE0=0,即64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,化简得4k2-

=-4𝑘𝑚=-

+m=3

P4𝑘,3 𝑥=𝑦=𝑘𝑥+

M满足条件,由图形对称性知,Mx轴上.M(x1,0),则·=0对满足(*)m,k恒成立.因为=4𝑘

,3,=(4-

由·得-16𝑘+4𝑘𝑥1-

1 +𝑥2+

整理,得(4x-4)𝑘+𝑥2-4x+ 由于(**)式对满足(*)m,k恒成立所 4𝑥1-4=1𝑥2-4𝑥1+3=1M(1,0),PQ【典例】【典例】xOy中,C:𝑥2+𝑦2=1(a>b>0) 𝑎23,y=xC截得的线段长为425CA,B两点(A,BC的顶点).DC上,AD⊥AB,BDx轴、yM,N两点BD,AMk1,k2,λk1=λk2,②求△OMN面积的最大值【规范审题第(1)离离心率确确定a,b关y=xy=x被椭圆截得线段确确定确确定椭圆椭圆方A,B,DABAB,ADAD的方程并联立方程组,确定确定 BDM②SOMNBDN【规范解答解题流规范解误区警a,b的方程组,解出a,b.a2- 3解:(1)由题意 ,可 a2=4b2.椭圆C的方程可简化x2+4y2=a2.y=x代入可得x=±5a,因52×25a=410,可得a=2.因此b=1,所 2椭圆C的方程为x4“直线y=x被椭为410”易列5式子,导致a求错续解题流规范解误区警A,B,D的坐标,并确定AB,ADA(x1,y1)(x1y10),D(2,y2),B(-x,-y),因为直线AB的斜率 y1,又 AD,所以直线AD的斜率k=-注意A,B两点的对称设法,要用1,1表示AB,第三步:设AD设直线AD的方程为y=kx+m,由题意y=kx+k0,m0. 可+y2=4(1+4k2)x2+8mkx+4m2-续解题流规范解误区警第四步:据定理确定x1+x2,x1x2,y1+y2的值所以x+x=-8mk,因 y+y=k(x+x)+2m=2m x1,y1表示式表示BD第五步:k1的值,求BD的方程,并确定M由题意知x-x,所以 y1+y2=-1 y1.所以直线BD的方程y+y=y1(x+x).y=0,x=3x, 第六步:k2的值,确λ.可得k=-y1.所以k=-1k,λ=-1. 2 此存在常数λ=-1使得结论成立2用x1,y1续解题流规范解误区警第七步:②直线BDy+y=y1(x+x), x=0,y=-3y,N03y4 这里易将S表示9xy,原因在于x81 BD的方N点第八步:OMNS=