大三下学期课件-固体电子学第二章晶格振动和晶体热学性质

第二体的热学性§2.1格振动和声运动方用xn表示第n个原子xn1

rnaU

U(na

UU(na)U(na)dU1d2U2dr ffn1,nd2U x nad22na称为恢复力常数，或耦合常数ffn,n1nffnfn1,nfn,n1(xn1xn)(xnxn1(xn1xn12xnmm n(2xnxn1xn1)d2格格点运动方程的解可以xxn i(qnat式中qna表示第n个原子振动的位相因子xm i(qmaxm i(qmati(qnatxn即当第m个原子和第n个原子的距离满足时manaq原子manaq这里的格波显然是平面简谐波qq2n是沿格波传播方向的单位矢色散关把上述解代入运动方程组中，可 2{1cos(qa)}m12qamsin2aaa一维晶格点阵第一布里渊布里渊2

b2

b3

12312x1x1xN1x1x1Ai(qatxN1Ai[q(n1)ateeiqNq=2πl/(Na)q=2πl/(Na)，l为整qaa2lN2 ，所以l限于，由此可qaa2lN2晶晶格振动波矢的数目=晶体原晶格振动量子化声1

T2U2

m2x2

总能量为ETU

1

1

（n=0,1,2…..）2U2

-

nT1m2n2nQ(t)Q(t)mNnqn哈密顿量可以消去交叉项H1(2 22qqq2)qE(q(n1)q2q以上结果说明：N个原子的集体振动可转化为N个q具有能量、动 q例如热电光§2.2学波与光学bABbABa原子平衡位置的间距为b，恢复力常数为β1；两分子间两原子对应的恢复力常数为β2。质量为m的M的原子位于...2n-2，2n，2n+1...各点。若只考虑相邻原子的相互作用，则第2n+1个原ff2n x22n2nx12n2ff2x22n2x122bABa bABad2dt 2x2n2x2n11x2n1x2n 2ndtd2x12n1 x2n22n2n1xAeiq(2n)at22nAeiqnatxB'eiq(2n)aqbt22n1Beiqnatd2dt 2x2n2x2n11x2n1x2n 2ndtd2x12n1 x2n22n2n1xAeiq(2n)at22nAeiqnatxB'eiq(2n)aqbt22n1Beiqnat上式代表角频率为ω的简谐振动。其它各点的位相隔一个晶格常数a的同种原子，位相差为qnM212A12eiqaB12eiqaAm212若A、BM2121iqa2iqa121m22122mMM1mM216mM22 1222 121A2mMmMmM216mM 222122 和2o122mMmM1mM216mM2sin2qa211222q2aqq2aq实际上，当波矢增加2π/a的整数倍时，原子位因为qa介于（-π，π），所以A1122mMmMmM22121 2 2 和o112M mM2 2122 12 显然的最小值

A的最大值还大，即A

o光频支格波，简称为光学波而A

支的格波常称为声频支格波，简称声学波下面讨论复式格子中两支格波的色散关系*波的色散关212A2mMmM1mM2122sin2qa2122122mMmM11122mM22令16mM12mM22122由11y11y1y2281y12momM4mM12mM2sin2qa122*波的色散关2o1122mMmMmM21122sin2qa222122mMmM2mM2sin2qa2112212momM4mM12mM2sin2qa122当q

光学波的频率具有最大值，1212o当q0时，A

这时光学波频率则为最小综合上述的讨论结果，归纳如qqa

时，声学波的频率有最大值，122mMM1mM22121 22当q时，A

，声学波的频率有最小值上述结论表明：声学波的取值可以无限低当q

时，光学波的频率有最大值，121qa当 时，光学波的qa12mMmMmM216mM 1212212*邻两种原子的振幅之关于声学BBA 122A当q0时，A

xx2nx2n1 关于光学波，相邻两种原子振幅之BBA 2eiqa122o2o12mMmM

0即AMAMBm 光学波光学波代表原胞中两个原子的相对振动玻恩—卡门边界条即第j个原子和第tN+j个原子的运动情况相同，由于原子间相互作用是短程的，在有限晶体中xxtNxxtNxxAei(qat1xN1Aei[q(N1)ateeiqNa 显然，只qNaqNa时，上式才成立qaa所以lNl22llN1,,1,0,1,2这说明，描述晶格振动的波矢q只能取一些分立进一步的研究发现：晶格独立振动状态数（波q的数目）等于晶格的自由度数晶格振动波矢的数目＝晶体的原胞数晶格振动频率（模式）的数目=晶体的自由度数§2.3格波与弹性波的关系（长波近似下面主要讨论声学波 2

mM-m2

M

当波长很长时，即q很小时，长声学波的角频率ω波矢q的关系简

长声学波的波速vp2

qa

/

a/ xdxxFx

xdxxcdx dxdx,tdt2

FxFxdx

dx,t