重庆市南开中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题

2023级高一（下）数学试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）8540请涂写在机读卡上．1．已知a(1,2)，b(2x,且a//b，则x（ ）3

34

C．0 D．34已知复数z满足z(12i)3i，则复数z的虚部为（ ）B．i C．D．1在ABCA所对的边分别为acosBbcosA”是ABC”（）充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件在ABC中，ABa,ACb，M是AB的中点，N是CM的中点，则AN（ ）1a1b B．1a14 2 3 2

C．1a1b2 4

D．1a2b3 3在ABC中，面积Sa2(bc)2，则sinA（ ）15

8

13

1317 17 15 17a,b是空间中两条不相交的直线，那么过直线b且平行于直线a的平面（ ）有且只有一个 B．至多有一个C．至少有一个 D．有无数个7．平面向量a(sin,2)，b(1,cos)，已知abab，则tan（ ）3

4

3

43 4 3如图所示在四边形ABCDABD4的等边三角形，AC213CAtCB2tCDt1)，则OD（ ）52

B．22 C．3 D．13高2023级数学试题 第1页共9页20232023级数学试题第9页共9页4520520分．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确的是( )若ab，则sinAsinB若a4b5c6，则ABC为钝角三角形C．若a4b10A6

，则符合条件的三角形不存在D．若bcosCccosBasinA，则ABC为直角三角形已知直线a,b和平面,，下列说法正确的有( )A．若a//，a， b，则a//bB．若a//b//a//bCa与b为异面直线，且a//a//b//b//，则//D．若a//bb//a//ABCAC10AB6DADCD24，下列说法正确的是（ ）AD+BD的最大值为10 B．BDBA的最大值为6DADBDC0C．ABAD的最大值为24 D．存在D点满12．已知ABC面积为12，DADBDC0若cosB

，则sinA3

sinA的最大值为122 55 5 132 5cb的值可以为9 D．c的值可以为9b c 2 b c 2第Ⅱ卷（非选择题共90）PN2PM，则PN2PM，则已知M(2,7)N(10,2)PMN上的点，且

P点的坐标为 ．x21x21xixi)，则在复数范围内多项式x24x5分解成一次因式乘积的结果为 ．在ABC所对的边分别为cosA3

B

5则ab ．5 13 c如图所示四棱锥PABCDABCDADABAD1CD1,AM2MP，2O在梯形ABCD内（含边界，P∥平面MBD，则O点轨迹长度为 ．MDMDOCA B四、解答题：本大题6个小题，共70分．各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）．17（10分）三棱锥PA，6． P该棱锥的6条棱中，共有多少对异面直线？请一一列出； MPBM，ACN，MN=4BC所成角的C B余弦值． NAab．18（12分）已知|b2|a2,,b夹角为60，(a)(aab．（1）求实数2）求119（12分）如图，棱长为2的正方体1BC11中，P,Q分别是棱DB的中点．1PQC

R1

AR的值；AR1M为线段A1BA1B1PD

上靠近CBM//面PQC．1C1MCA Q B20（12分）Cabc分别为内角，C的对边，且有a2．在下列条件中选择一个条件完成该题目：①cosC(cosB 3sinB)cosA0；②2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC.求A的大小；求2bc的取值范围．21（12分ABC中，=，D，E为DE与C边交于点．ACBCAB长度；AF长度范围．CFEA D FE2212分）l，l成定角120，现要在距离A点1米处的地方钉一粒钉子，然1 2DBC，使得ABC两点分别固定在两边l，l1 2上．若BAD60，求ABC面积的最小值；2 33BC，总能使得ABC2 33A

，求BAD的取值范围．BB1lDC1l22023级高一（下）半期考试答案一、单选题1-4：BDBA 5-8:BCDC二、多选题9.ACD 10.BD 11.ABC 12.AD三、填空题3 2413.(2,4) 14.(x2i)(x2i) 15.23 24四、解答题17.(1)3PCABPBACPABC.(2)ABDNDMPBDAB中点MDPAB中位线，MDPAMD

PMC BN DAPA22同理，ND∥BC且ND1BC3 MDN为异面直线PA与BC所成角或其补角2又MN4MND又MN4

1PA

14

2NDMD 232 418.(1)(2)

((ab)(ab)(ab)(ab)=a2)abb2

1)420 2aab= ab2= a22ab2b2 12422525ab 12244525215

D C1(1)延长CQDANPNAA1

于点RQABAQDCAQ是△CDN中位线，A是DN中点 N1A1B1PMRDCAQB又AR∥PD AR是△PDN1A1B1PMRDCAQB2又PDDAR1

1 1

AR11(2)PMBR

4 1 4 1

AR 311 1AR

AA ，AB24 1 2BR

，PR 1212 22217AR2AB212 222171又M为线段CC上靠近C点的四等分点 CM CC111 4 1 2PM

，BM 1711712 2221712 222BRPM，BMRP 四边形BMPR是平行四边形 BM∥又BM平面PQC，PR平面PQC BM∥平面PQC(1)①cos(AB)(cosB 3sinB)cosAcosAcosBsinAsinBcosAcosB 3sinBcosAsinAsinB 3sinBcos3sinB0 sinA 3cosA0，tanA A33② 2a22b2bc2c2bc即b2c2a2bccosA

b2c2a2

1,Abc 2 34 3a 24 33(2)设△ABC 外接圆半径为R，由正弦定理得2R 3sinA 322bc2R(2sinBsinC)2R(2sinBsin(B))34 33 (2sinB cosB1sinB)3 2 24 334sin(B6

0B 2

△ABC为锐角三角形 0

2B

B6

，B2

(0, 6 3 3 22bc(0,2 3)(1)设ADx，BDACBC2AD2x，AB3xcosACB

AC2BC2AB2

(2x)2(2x)2(3x)2

12ACBC 22x2x 8CD2又 BD2AD，CDCD2

CA1CB3 32 4 2 4 1 2 4 4 1 1CD

CA CACB CB 49 9 9

94x294x2894x2 22x AB322(2)AFAECABADxE为CD中点，AD1AB， AE

1AC1AD

1AC1ABAFAE

3 2 2 2 61AC1AB2 6B、F、C三点共线， 111 32 6 22 3 2 3 1 1 2 9 9 9 45 9AF 4AC2 ACAB AB

x2 x2cos x2 x2 x2cos4 4 16 16 4 4

4 AD2AC2CDAD2AC2CD2cos2ADAC4x2AFx2x2xx

2 22 3

45x162x95x 42244x245x298445x162x95x 42244x245x2984 22 (1)ABACbBAD3

CAD，3S ABCS ABDS ACD

1bcsin1csin1bsin2 3 2 3 2 3bcbcbc2 bc4bc33S ABC1bcsin bc33

(bc2时取等）2 3 4(2)设BAD，CAD23S ABCS ABCSABDSACD1bcsin1csin1bsin() 12sinsin(sinsin()