专升本资料6( 微分方程)

四川省普通高等学校“专升本”选拔《高等数学》考试大纲（理工类）总体要求考生应理解或了解《高等数学》中函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程以及《线性代数》的行列式、矩阵、向量、方程组的基本概念与基本理论；掌握上述各部分的基本方法。应注意空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确、简捷地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会”、“掌握”、“熟练掌握”三人层次。考试用时：120分钟考试范围及要求二一元函数微分学三一元函数积分学四向量代数与空间解析几何五多元函数积分学六无穷级数七常微分方程（2013年:4+8；2013年:3+8）（一）一阶微分方程微分方程：凡含有未知函数导数（或微分）微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数（或微分）的阶数。微分方程的解：代入微分方程后使其成为恒等式的函数。微分方程的通解：含有任意常数，且其独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，这样的解称通解(或一般解)。微分方程的特解：当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解。问题：会由初始条件和通解求特解例（成都理工大学2014：理科—选择题3分）5．函数yeCx1（C为任意常数）是微分方程yy''(y')2y''的【 】（A）（B）通解（C）是解，但既不是通解也不是特解（D）不是解例2（攀枝花学院201：理科—选择题3分4、函数yCe2x2（C,

是任意常数）是方程yy2y0的（ ）.

1 1 2A、特解. B、是解，但不是通解，也不是特解.C、不是解. D、通解.掌握可分离变量微分方程的解法解法步骤：①分离变量：化方程g(y)dyf(x)dx （使方程两边都只含有一个变量）②两边积分：gydyfx)dx

G(y)F(x)h(C)注: 约定在解微分方程时，积分得是对数时，其真数可以不加绝对值符号。积分常数可以用C函数子代替。1求微分方程exyyex的通解。例2 求微分方程dxxydyy2dxydy满足初始条件y(0)3的特解。掌握一阶线性微分方程的解法。一阶线性非齐次方程yP(xyQ(x的解yeP(x)dxC

Q(x)eP(x)dxdxxPy)xQy的解xeP(y)dyC

Q(y)eP(y)dydy例1 求解初值问题

y

yxlnxx ．y)32y2dxx2xyy2)dy0的通解．例3（成都理工大学201：理科—填空题4分）以yCx2为通解的微分方程是： ；例4（成都理工大学201：理科—解答题8分17．求微分方程xdy

y x1 1 满足初始条件y

0的特解；xe

dx lnx

lnx例5（攀枝花学院201：理科—解答题6分）6、求微分方程yxyx的通解。例6（攀枝花学院201：理科—解答题7分）八、xy2y3x2的通解.（共7分）7.（5分）xyyxex的通解.（二）二阶线性微分方程了解二阶线性微分方程解的结构。线性齐次方程解的叠加原理：若函数y、y 是线性齐次方程ypyqy0的两1 2yCy11

Cy2

也是该方程的解且当y 与y1 2

线性无关时，yCy11

Cy2 2

是该方程的通解．线性非齐次方程解的结构y*ypyqyf(x的某个Yypyqy0的通解,则yy*Y为线性非齐次方程之通解．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy0的通解的步骤：写出微分方程的特征方程r2prq0；求出特征根；根据特征根的情况按下表写出所给微分方程的通解．特征方程的解特征方程的解通解形式两个不等实根rr2yCe Cerxrx11122两个相等实根rr12ry(CCx)erx1 2一对共轭复根一对共轭复根riyeαx(CcosβxC sinβx)1 2例攀枝花学院理科——填空题3分）求方程y5y6y0的通解.例2（攀枝花学院2013：文科——填空题3分）微分方程y7y12y0的通 了解二阶常系数非齐次线性微分方程（f(x)Pn

(x)eaxPn

(x)x的n次多项式，为常数。二阶常系数线性非齐次方程ypyqyPn

ex步骤：ypyqy0的通解Y①写出微分方程的特征方程r2prq0；②求出特征根；*③写出齐次方程ypyqy0的通解．*ypyqyPn

(x)ex的一个特通解y①设出特通解：

y*xkQn

(x)eaxa不是特征方程的根时，取k0；a是其特征方程单根时，取k1；a是其特征方程的重根时，取k2 y*

y*

，并将其代入原方程，求出待定系数的多项式Qn

(x)的系数；ypyqyPn

(x)ex的一个特通解y*yYy*ypyqyPn

ex的通通解例1 求方程y6y9ye3x的通解。例2.（成都理工大学：理科、文科—填空题4分）2求微分方程的通解：y''3y2yex(1e2x)；例3. 求方程4y12y9yxe3x的通解。2八线性代数（一）行列式理解行列式的概念，掌握行列式的性质。会用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。（二）矩阵们的性质。掌握矩阵的线性运算、乘法、转置、方阵乘积的行列式及它们的运算规律。矩阵求矩阵的逆矩阵。掌握矩阵的初等变换用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。（三）向量n理解向量组线性相关或线性无关的定义，掌握判别向量组线性相关的方法。了解有关向量组的极大线性无关